Giao của hai tập xác lập của các hàm số f ( x ) và g ( x ) thì được gọi là tập xác lập của bất phương trình .
Cách giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b < 0
2.1 Cách giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b < 0* Trường hợp a # 0 :Ta hoàn toàn có thể sử dụng bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất– Nếu a < 0, tập nghiệm là :– Nếu a > 0, tập nghiệm là :Điều kiện của a và b sẽ tác động ảnh hưởng đến hiệu quả của nghiệm ở đầu cuối thu được .
Theo như bảng trên, diễn đạt bằng lời :
– Nếu b > 0, Phương trình vô số nghiệm .
– Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm .
2.2 Giải bất phương trình tích
P ( x ). Q ( x ) > 0
Trong đó, cả P ( x ) và Q. ( x ) đều là những nhị thức bậc nhất .
2.3 Giải bất phương trình có ẩn ở mẫu
Trong đó, P ( x ) và Q. ( x ) là những nhị thức bậc nhất .
Cách giải : Các em hãy lập bảng xét dấu của của P ( x ) / Q. ( x ). Rồi sau đó suy ra được tập nghiệm của bất phương trình. Để bảo vệ tính đúng mực của phép chia, các em không nên quy đồng và khử mẫu .
2.4 Giải bất phương trình có chứa tham số
Giải bất phương trình chứa tham số ( m + a ) x + b > 0 tức là xem xét rằng với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình sẽ vô nghiệm hoặc có nghiệm và tìm ra các nghiệm đó .
Cách giải : Tùy theo nhu yếu đề, lập bảng xét dấu, biện luận tìm tham số m tương thích và tìm nghiệm ( nếu có ) .
3. Cách giải bất phương trình bậc 2 một ẩn
Là BPT dạng : a. x2 + b. x + c > 0 với a # 0
Đặt Δ = b2 − 4. a. c. Ta có các trường hợp sau :
- Nếu Δ < 0:
– a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là : ∅ . – a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là : R .
- Nếu Δ = 0:
– a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là : ∅ .
– a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là :
- Nếu Δ > 0, gọi x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c = 0 với
Khi đó :
– Nếu a > 0 thì tập nghiệm là : ( − ∞ ; x1 ) ∪ ( x2 ; + ∞ )
– Nếu a < 0 thì tập nghiệm là : ( x1 ; x2 )
Có thể lập bảng xét dấu cho dễ tưởng tượng như sau :
Bảng xét dấu
Nhận xét :
4. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ta vận dụng định nghĩa và đặc thù của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối của bất phương trình :
Dạng 1 :
Dạng 2 :
5. Giải bất phương trình chứa căn thức
Để hoàn toàn có thể khử căn thức và giải được dạng bài tập này, các em cần tích hợp phép nâng lũy thừa hoặc hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ .
6. Bài tập về bất phương trình
Bài 1 / BPT bậc nhất
1.1. Giải các bất phương trình sau :
1.2. Giải các bất phương trình sau :
1.3. Giải các bất phương trình sau :
Bài 2 / BPT quy về bậc nhất
Giải các bất phương trình sau :
Bài 3 / BPT bậc hai
Bài 4 / BPT quy về bậc hai có chứa dấu GTTĐ
Giải các bất phương trình sau :
Bài 5 / BPT quy về bậc hai có chứa căn thức
Giải các phương trình sau :
7. Bài tập bất phương trình có lời giải
7.1 Bài tập có giải thuật bất phương trình bậc nhất
Bài 1 :
Giải bất phương trình – 4 x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số .
Gợi ý giải
- 4 x – 8 < 0 ⇔ - 4 x < 8
⇔ - 4 x : ( - 4 ) > 8 : ( – 4 ) ⇔ x > – 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 4 x – 8 < 0 là { x | x > – 2 }
Biểu diễn trên trục số
Bài 2 : Giải bất phương trình – 0,2 x – 0,2 > 0,4 x – 2 .
Gợi ý giải
– 0,2 x – 0,2 > 0,4 x – 2
⇔ 0,4 x – 2 < - 0,2 x – 0,2
⇔ 0,4 x + 0,2 x < - 0,2 + 2
⇔ 0,6 x < 1,8
⇔ 0,6 x : 0,6 < 1,8 : 0,6
⇔ x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình - 0,2 x – 0,2 > 0,4 x – 2 là { x | x < 3 }
Bài 3 : Giải các bất phương trình ( theo quy tắc chuyển vế ) :
a ) x – 5 > 3
b ) x – 2 x < - 2 x + 4
c ) - 3 x > – 4 x + 2
d ) 8 x + 2 < 7 x – 1
Gợi ý giải :
( Áp dụng quy tắc : chuyển vế – đổi dấu )
a ) x – 5 > 3
⇔ x > 3 + 5 ( chuyển – 5 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành 5 )
⇔ x > 8 .
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8 .
b ) x – 2 x < - 2 x + 4
⇔ x – 2 x + 2 x < 4
⇔ x < 4
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4 .
c ) - 3 x > – 4 x + 2
⇔ – 3 x + 4 x > 2
⇔ x > 2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2 .
d ) 8 x + 2 < 7 x – 1
⇔ 8 x – 7 x < - 1 – 2
⇔ x < -3
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < - 3 .
7.2 Bài tập có giải thuật bất phương trình bậc 2
Dạng 1 : Xét dấu của tam thức bậc 2
* Ví dụ 1 ( Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10 ) : Xét dấu các tam thức bậc hai :
a ) 5 × 2 – 3 x + 1
b ) – 2 × 2 + 3 x + 5
c ) x2 + 12 x + 36
d ) ( 2 x – 3 ) ( x + 5 )
Lời giải ví dụ 1 ( Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10 ) :
a ) 5 × 2 – 3 x + 1
– Xét tam thức f ( x ) = 5 × 2 – 3 x + 1
– Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 9 – 20 = – 11 < 0 nên f ( x ) cùng dấu với thông số a .
– Mà a = 5 > 0 ⇒ f ( x ) > 0 với ∀ x ∈ R .
b ) – 2 × 2 + 3 x + 5
– Xét tam thức f ( x ) = – 2 × 2 + 3 x + 5
– Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 9 + 40 = 49 > 0 .
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 ; x2 = 5/2, thông số a = – 2 < 0
– Ta có bảng xét dấu :
f ( x ) > 0 khi x ∈ ( – 1 ; 5/2 ) – Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) = 0 khi x = – 1 ; x = 5/2
f ( x ) < 0 khi x ∈ ( – ∞ ; – 1 ) ∪ ( 5/2 ; + ∞ )
c ) x2 + 12 x + 36
– Xét tam thức f ( x ) = x2 + 12 x + 36
– Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 144 – 144 = 0 .
– Tam thức có nghiệm kép x = – 6, thông số a = 1 > 0 .
– Ta có bảng xét dấu :
– Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 với ∀ x ≠ – 6
f ( x ) = 0 khi x = – 6
d ) ( 2 x – 3 ) ( x + 5 )
– Xét tam thức f ( x ) = 2 × 2 + 7 x – 15
– Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 49 + 120 = 169 > 0 .
– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2 ; x2 = – 5, thông số a = 2 > 0 .
– Ta có bảng xét dấu :
– Từ bảng xét dấu ta có :
f ( x ) > 0 khi x ∈ ( – ∞ ; – 5 ) ∪ ( 3/2 ; + ∞ )
f ( x ) = 0 khi x = – 5 ; x = 3/2
f ( x ) < 0 khi x ∈ ( – 5 ; 3/2 )
Dạng 2 : Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn
* Ví dụ 1 ( Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 ) : Giải các bất phương trình sau
a ) 4 × 2 – x + 1 < 0
b ) - 3 × 2 + x + 4 ≥ 0
d ) x2 – x – 6 ≤ 0
° Lời giải ví dụ 1 ( bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 ) :
a ) 4 × 2 – x + 1 < 0
– Xét tam thức f ( x ) = 4 × 2 – x + 1
– Ta có : Δ = - 15 < 0 ; a = 4 > 0 nên f ( x ) > 0 ∀ x ∈ R
⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm .
b ) – 3 × 2 + x + 4 ≥ 0
– Xét tam thức f ( x ) = – 3 × 2 + x + 4
– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = – 1 và x = 4/3, thông số a = – 3 < 0 .
⇒ f ( x ) ≥ 0 khi - 1 ≤ x ≤ 4/3. ( Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a )
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]
– Điều kiện xác lập : x2 – 4 ≠ 0 và 3 × 2 + x – 4 ≠ 0
⇔ x ≠ ± 2 và x ≠ 1 ; x ≠ 4/3 .
– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được :
– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = – 8
– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = – 2, thông số a = 1 > 0
⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < - 2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi – 2 < x < 2 .
– Tam thức 3 × 2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = - 4/3, thông số a = 3 > 0 .
⇒ 3 × 2 + x – 4 mang dấu + khi x < - 4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi – 4/3 < x < 1 .
– Ta có bảng xét dấu như sau :
– Từ bảng xét dấu ta có :
( * ) < 0 ⇔ x ∈ ( – ∞ ; – 8 ) ∪ ( - 2 ; - 4/3 ) ∪ ( 1 ; 2 )
d ) x2 – x – 6 ≤ 0
– Xét tam thức f ( x ) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = - 2 và x = 3, thông số a = 1 > 0
⇒ f ( x ) ≤ 0 khi – 2 ≤ x ≤ 3 .
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là : S = [ – 2 ; 3 ] .
Dạng 3 : Xác định tham số m thỏa điều kiện kèm theo phương trình
* Ví dụ 1 ( Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10 ) : Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
a ) ( m – 2 ) x2 + 2 ( 2 m – 3 ) x + 5 m – 6 = 0
b ) ( 3 – m ) x2 – 2 ( m + 3 ) x + m + 2 = 0
° Lời giải ví dụ 1 ( bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10 ) :
a ) ( m – 2 ) x2 + 2 ( 2 m – 3 ) x + 5 m – 6 = 0 ( * )
• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình ( * ) trở thành :
2 x + 4 = 0 ⇔ x = – 2 hay phương trình ( * ) có một nghiệm
⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm .
• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có :
Δ ’ = b ’ 2 – ac = ( 2 m – 3 ) 2 – ( m – 2 ) ( 5 m – 6 )
= 4 mét vuông – 12 m + 9 – 5 mét vuông + 6 m + 10 m – 12
= – mét vuông + 4 m – 3 = ( – m + 3 ) ( m – 1 )
– Ta thấy ( * ) vô nghiệm ⇔ Δ ’ < 0 ⇔ ( - m + 3 ) ( m – 1 ) < 0 ⇔ m ∈ ( - ∞ ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )
– Vậy với m ∈ ( - ∞ ; 1 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) thì phương trình vô nghiệm .
b ) ( 3 – m ) x2 – 2 ( m + 3 ) x + m + 2 = 0 ( * )
• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó ( * ) trở thành - 6 x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6
⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm .
• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có :
Δ ’ = b ’ – ac = ( m + 3 ) 2 – ( 3 – m ) ( m + 2 )
= m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m
= 2 mét vuông + 5 m + 3 = ( m + 1 ) ( 2 m + 3 )
– Ta thấy ( * ) vô nghiệm ⇔ Δ ’ < 0 ⇔ ( m + 1 ) ( 2 m + 3 ) < 0 ⇔ m ∈ ( - 3/2 ; - 1 )
– Vậy với m ∈ ( - 3/2 ; - 1 ) thì phương trình vô nghiệm .
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours