Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti | Maths 4 Physics & more…

advietsofavn
Estimated read time 6 min read
Shortlink : http://wp.me/P8gtr-MY
1. Định nghĩa:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng :
y' = -p(x).y+q(x) (1) (hay y'+p(x).y=q(x) )

trong đó p ( x ), q ( x ) là những hàm số liên tục, cho trước .
Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

2. Cách giải:

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số e^{\int p(x) \, dx }

Ta được :
y'.e^{\int p(x) \, dx} + p(x).e^{\int p(x) \, dx}.y=q(x)e^{\int p(x) \, dx} (*)

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số y.e^{\int p(x) \, dx} . Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

\left( y.e^{\int p(x) \, dx} \right)^{'} = q(x).e^{\int p(x) \, dx}
Lấy tích phân hai vế ta được :
y.e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 1 ) có dạng :
y=e^{-{\int p(x) \, dx}}. \left[ \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right]

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.

Ví dụ: Giải phương trình y' + 2x.y = 4x

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2} .

Ta đươc: y'.e^{x^2} + 2xe^{x^2}.y = 4x.e^{x^2}
Hay :
{ \dfrac{d}{dx}} \left( y.e^{x^2} \right) = 4x.e^{x^2}
Lấy tích phân 2 vế ta được :
y.e^{x^2} = 4{\int x.e^{x^2} \, dx} + C = 2e^{x^2} + C

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = 2 + C.e^{-x^2}

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: y = u(x).v(x)

Ta có: y' = u'.v + v'.u

Thế vào phương trình ta có: (u'.v+v'.u)+p(x).(u.v) = q(x)

Hay: (u'+p(x).u)v + v'.u = q(x) (*)
Phương trình ( * ) có tới 4 thông số kỹ thuật chưa biết là u, v, u ’, v ’ nên không hề giải tìm u, v bất kể. Để tìm u, v thỏa mãn nhu cầu phương trình ( * ), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết .
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho u' + p(x).u = 0 (**)
Ta thuận tiện tìm được hàm u ( x ) thỏa ( * * ) vì ( * * ) chính là phương trình tách biến. Khi đó :
{ \dfrac{du}{u}}=-p(x)dx \Rightarrow u(x)=C.e^{- \int p(x) \, dx}

Chọn C = 1 ta có: u(x) = e^{- \int p(x) \, dx}

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

v' = { \dfrac{q(x)}{u(x)}} = q(x).e^{\int p(x) \, dx} \Rightarrow v = \int q(x).e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C_1
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình ( 1 ) là :
y = e^{- \int p(x) \, dx} \left[ \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} + C_1 \right]

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: u(x) = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: y =e^{- \int p(x) \, dx}.v(x) chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v ( x ) sẽ giải được bài toán. Vậy :
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

y' + p(x).y = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng :
y = C.e^{- \int p(x) \, dx}

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

y = v(x).e^{- \int p(x) \, dx}

Ta có: y' = v'.e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx}
Thế vào phương trình ta có :
v'e^{- \int p(x) \, dx} - v.p(x).e^{- \int p(x) \, dx} + p(x).v.e^{- \int p(x) \, dx}= q(x)

Suy ra: v' = q(x).e^{\int p(x) \, dx} . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v ( x ), ta luôn luôn khử được những gì tương quan đến v ( x ) và chỉ còn lại v ‘ ( x ). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v ( x ) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn thuận tiện kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót .
Advertisement

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thích bài này:

Thích

Đang tải …

Trang: 1 2

Avatar for advietsofavn
advietsofavn https://vietsofa.vn

You May Also Like

More From Author

+ There are no comments

Add yours