Giới hạn của hàm hai biến số

advietsofavn
Estimated read time 4 min read
1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm M_n(x_n, y_n) dần đến điểm M_0(x_0,y_0) và viết M_n \to M_0 , nếu dãy khoảng cách d(M_n, M_0) dần đến 0 khi n \to \infty .

Nhận xét:

Vì d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}

nên : \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \ {y_n} \to {y_0} \ \end{array} \right.

Ví dụ 1:

\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right) ; \left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm (a; b) \in {\mathbb{R}}^2 là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy \{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b) sao cho (x_n ; y_n) \to (a; b)

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M_0(x_0, y_0), (có thể trừ điểm M_0 ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến khi và chỉ khi: với mọi dãy M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0) dần tiến đến ta đều có: \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L

Khi đó, ta viết: \lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L hay \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi x \to x_0, y \to y_0 (hay là M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0) nếu:

\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến (x_0; y_0) theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến, nên càng khó tồn tại giới hạn.
2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc tất cả chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số .
3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy \left(x_n^1;y_n^1 \right) , \left( x_n^2;y_n^2 \right) cùng dần tiến về \left( x_0;y_0 \right) nhưng : f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}} .
4. Các đặc thù giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến trọn vẹn tựa như với đặc thù của hàm 1 biến
Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi .

2. Định lý:

Cho \lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b thì:

1. \lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b

2. \lim cf(x;y) = c.a (c là hằng số hữu hạn)

3. \lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b

4. \lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)

3. Định lý giới hạn kẹp:
Giả sử f ( x ; y ), g ( x ; y ) và h ( x ; y ) cùng xác lập trên D, và :
h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D

Hơn nữa: \lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0

Khi đó: \lim f(x;y) = 0

4. Các ví dụ:

a.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0

b. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Cách 1: Ta xét hai dãy \left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)

Ta có: f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} .

Và: f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}

nhưng f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn .
Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}
Do đó, giới hạn hàm số nhờ vào theo thông số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau .
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn .
c. \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ta có: 0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)

Mà: \underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0

Vậy: \lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị y \ne y_0 , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)

Nếu tồn tại giới hạn: \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi x \to x_0, y \to y_0 và viết:\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)
Advertisement

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thích bài này:

Thích

Đang tải …

Trang: 1 2

Avatar for advietsofavn
advietsofavn https://vietsofa.vn

You May Also Like

More From Author

+ There are no comments

Add yours