Cách giải phương trình bậc 3 nghiệm xấu

Trước khi đi vào tìm hiểu và khám phá chi tiết cụ thể về cách giải, tất cả chúng ta cần biết được phương trình bậc 3 là gì ? Thực chất đây là một phương trình có bậc lũy thừa cao nhất là 3. Phương trình bậc ba có dạng chuẩn thường là phương trình có dạng

Nội dung chính

Show

• 2. Cách giải phương trình bậc 3
• 2.1. Giải phương trình bậc 3 tổng quát
• 2.2. Giải phương trình bậc 3 thường gặp
• 2.3. Giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi
• 4. Bài tập áp dụng cách giải phương trình bậc 3
• Video liên quan

(ax^3+ bx^2+ cx +d =0)
Với a khác 0

2. Cách giải phương trình bậc 3

2.1. Giải phương trình bậc 3 tổng quát

So với phương trình bậc hai, phương pháp giải và công thức nghiệm của phương trình bậc 3 phức tạp hơn nhiều .
Bước tiên phong, các bạn hoàn toàn có thể tính qua một đại lượng Delta và vận dụng công thức nghiệm tổng quát. Cách làm này được vận dụng phổ cập trong giải phương trình bậc ba dạng cơ bản, và được sử dụng thoáng đãng trong chương trình học đại trà phổ thông .
Công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tùy thuộc vào giá trị của Dela

2.2. Giải phương trình bậc 3 thường gặp

Trong trường hợp phương trình bậc 3 có a = 1, các bạn hoàn toàn có thể vận dụng giải pháp giải như sau :
Sau khi tìm ra giá trị u, v, bạn hoàn toàn có thể thuận tiện tìm được ẩn x
Công thức nghiệm này phức tạp hơn so với công thức nghiệm của phương trình bậc 3 tổng quát và chỉ được vận dụng khi a = 1. Các bạn cần phải quan tâm để tránh nhầm lẫn .

2.3. Giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi

Các bạn hoàn toàn có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi để ship hàng cho các bài toán trắc nghiệm. Hiện nay, chương trình thi THPT Quốc gia đã được vận dụng hình thức thi trắc nghiệm, phương pháp nhẩm nghiệm này sẽ giúp bạn tìm rất nhanh được nghiệm đúng của phương trình .
Với phương trình có dạng tổng quát như trên, bạn nhần lần lượt các phím mode, 5, 4 rồi lần lượt nhấn giá trị a, b, c, d. Lưu ý sau khi nhập giá trị cần phải nhấn dấu bằng .
Trường những phương trình có nghiệm nguyên, bạn hoàn toàn có thể thuận tiện đưa về phương trình bậc hai và giải quyết và xử lý theo công thức phương trình bậc hai rất đơn thuần và nhanh gọn
Ngoài những cách giải trên, các bạn hoàn toàn có thể vận dụng một số ít giải pháp khác như đặt ẩn phụ, lượng giác hóa phương trình … tùy theo từng dạng bài khác nhau .
3. Phương pháp học cách giải phương trình bậc 3
Phương trình bậc 3 là một trong những dạng phương trình khó và hoàn toàn có thể vận dụng nhiều cách giải linh động. Để học tốt được kiến thức và kỹ năng này, các bạn cần phải tiếp tục rèn luyện và làm bài tập để rèn luyện kiến thức và kỹ năng. Khi đã quen với các dạng bài, các bạn hoàn toàn có thể gỡ nút bài toán rất thuận tiện .
Đặc biệt lúc bấy giờ, các em học viên đều được trang bị rất nhiều máy tính hiện đại để học tập, việc nhẩm nghiệm càng trở nên nhanh gọn hơn, các bài toán giải phương trình nói chung và phương trình bậc ba nói riêng trở nên đơn thuần hơn rất nhiều .
Môn Toán yên cầu các bạn phải liên tục đào sâu tâm lý, tư duy. Bài tập giải phương trình bậc 3 là một trong những dạng bài rèn luyện tư duy khá tốt, rèn luyện tiếp tục sẽ giúp bạn giải quyết và xử lý bài toán một cách nhanh gọn .
Các bạn hoàn toàn có thể tìm hiểu và khám phá một số ít sách nâng cao tương quan đến giải phương trình bậc 3, hoặc tìm kiếm các bài tập qua mạng. Khi đi học phụ đạo, hầu hết các thầy cô cũng cung ứng cho các bạn rất nhiều dạng bài tập để hoàn toàn có thể học phần hành này tốt nhất. Chỉ cần hoàn thành xong tổng thể các bài tập được giao, bạn sẽ trở nên thành thạo và quen thuộc với tổng thể cách giải phương trình bậc 3 .

4. Bài tập áp dụng cách giải phương trình bậc 3

Có rất nhiều dạng bài khác nhau trong khoanh vùng phạm vi kiến thức và kỹ năng phương trình bậc 3 Các bạn hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm tại 1 số ít trang đề thi trực tuyến như Violet hoặc update tài liệu trực tuyến liên tục từ các thầy cô dạy Toán .
Dưới đây là một số ít bài tập mình họa duongleteach.com sưu tầm để các bạn tìm hiểu thêm .
Môn Toán học yên cầu tất cả chúng ta phải thực sự kiên trì và chịu khó nghiên cứu và điều tra, đào sâu yếu tố. Khi mới khởi đầu làm quen với những cách phương trình bậc 3, các bạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn vất vả. Bằng cách rèn luyện thật chịu khó và tập trung chuyên sâu điều tra và nghiên cứu, bạn sẽ sớm chinh phục được mảng kiến thức và kỹ năng này .
Trên đây là một số ít san sẻ của duongleteach.com về cách giải phương trình bậc 3. Hy vọng hoàn toàn có thể mang lại những thông tin có ích cho những bạn đang có nhu yếu điều tra và nghiên cứu về mảng kiến thức và kỹ năng này. ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
>> Xem thêm:

• Định lý pitago và cách áp dụng định lý vào làm bài tập
• Chu vi, diện tích hình bình hành và các kiến thức liên quan

Bài viết hướng dẫn 1 số ít cách giải phương trình bậc 3 tổng quát : nghiên cứu và phân tích nhân tử, giải pháp Cardano, chiêu thức lượng giác hóa – hàm hyperbolic. Tùy vào các phương trình bậc 3 ( phương trình bậc ba ) sẽ có các cách giải tương thích để thu được lời ngắn gọn, dễ hiểu .A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT
1. Phương pháp phân tích nhân tử
Nếu phương trình bậc ba $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có nghiệm $x = r$ thì có nhân tử $(x – r)$, do đó có thể phân tích: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $ = \left( {x – r} \right)\left[ {a{x^2} + \left( {b + ar} \right)x + c + br + a{r^2}} \right].$
Từ đó ta đưa về giải một phương trình bậc hai, có nghiệm là: $\frac{{ – b – ra \pm \sqrt {{b^2} – 4ac – 2abr – 3{a^2}{r^2}} }}{{2a}}.$

2. Phương pháp Cardano
Xét phương trình bậc ba ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ $(1).$
Đặt $x = y – \frac{a}{3}$, phương trình $(1)$ luôn biến đổi được về dạng chính tắc: ${y^3} + py + q = 0$ $(2)$, trong đó: $p = b – \frac{{{a^2}}}{3}$, $q = c + \frac{{2{a^3} – 9ab}}{{27}}.$
Ta chỉ xét $p,q \ne 0$ vì nếu $p=0$ hoặc $q=0$ thì đưa về trường hợp đơn giản.
Đặt $y=u+v$ thay vào phương trình $(2)$, ta được: ${\left( {u + v} \right)^3} + p\left( {u + v} \right) + q = 0$ $ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} + \left( {3uv + p} \right)\left( {u + v} \right) + q = 0$ $(3).$
Chọn $u$, $v$ sao cho $3uv+p=0$ $(4).$
Như vậy, để tìm $u$ và $v$, từ $(3)$ và $(4)$ ta có hệ phương trình: $\left{ \begin{array}{l}
{u^3} + {v^3} = – q\
{u^3}{v^3} = – \frac{{{p^3}}}{{27}}
\end{array} \right.$
Theo định lí Vi-ét, ${u^3}$ và ${v^3}$ là hai nghiệm của phương trình: ${X^2} + qX – \frac{{{p^3}}}{{27}} = 0$ $(5).$
Đặt $\Delta = \frac{{{q^2}}}{4} + \frac{{{p^3}}}{{27}}.$
• Khi $Δ > 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm: ${u^3} = – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta $, ${v^3} = – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta .$
Như vậy phương trình $(2)$ sẽ có nghiệm thực duy nhất là: $y = \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} + \sqrt \Delta }} + \sqrt[3]{{ – \frac{q}{2} – \sqrt \Delta }}.$
• Khi $Δ=0$, phương trình $(5)$ có nghiệm kép: $u = v = – \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$
Khi đó, phương trình $(2)$ có hai nghiệm thực, trong đó một nghiệm kép: ${y_1} = 2\sqrt[3]{{ – \frac{q}{2}}}$, ${y_2} = {y_3} = \sqrt[3]{{\frac{q}{2}}}.$
• Khi $Δ < 0$, phương trình $(5)$ có nghiệm phức.
Gọi $u_0^3$ là một nghiệm phức của $(5)$, $v_0^3$ là giá trị tương ứng sao cho ${u_0}{v_0} = – \frac{p}{3}.$

Khi đó, phương trình USD ( 2 ) USD có ba nghiệm phân biệt : $ { y_1 } = { u_0 } + { v_0 } $, $ { y_2 } = – \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { u_0 } + { v_0 } } \ right ) + i \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } \ left ( { { u_0 } – { v_0 } } \ right ) USD, $ { y_3 } = – \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { u_0 } + { v_0 } } \ right ) – i \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } \ left ( { { u_0 } – { v_0 } } \ right ). $

3. Phương pháp lượng giác hoá
Một phương trình bậc ba, nếu có $3$ nghiệm thực, khi biểu diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan đến số phức. Vì vậy ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số $\cos$ và $\arccos.$
Cụ thể, từ phương trình ${t^3} + pt + q = 0$ $(*)$, ta đặt $t = u\cos \alpha $ và tìm $u$ để có thể đưa  $(*)$ về dạng: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – cos3\alpha = 0.$
Muốn vậy, ta chọn $u = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ và chia $2$ vế của $(*)$ cho $\frac{{{u^3}}}{4}$ để được: $4{\cos ^3}\alpha – 3\cos \alpha – \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3\alpha = \frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} .$
Vậy $3$ nghiệm thực là: ${t_i} = 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} \cos \left[ {\frac{1}{3}\arccos \left( {\frac{{3q}}{{2p}}\sqrt {\frac{{ – 3}}{p}} } \right) – \frac{{2i\pi }}{3}} \right]$ với $i = 0, 1, 2.$
Lưu ý rằng nếu phương trình có $3$ nghiệm thực thì $p < 0$ (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có số phức. [ads] B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình: ${x^3} + {x^2} + x = – \frac{1}{3}.$

Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không hề nghiên cứu và phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình : USD 3 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 = 0. $ Đại lượng USD 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 USD gợi ta đến hằng đẳng thức quen thuộc sau : $ { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 = { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 3 }. $ Do đó phương trình tương tự : $ { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 3 } = – 2 { x ^ 3 } $ $ \ Leftrightarrow x + 1 = – \ sqrt [ 3 ] { 2 } x. $Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất : USD x = \ frac { { – 1 } } { { 1 + \ sqrt [ 3 ] { 2 } } }. $Nhận xét : Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khôn khéo đổi khác đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn thuần như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano :

Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^3} – 3{x^2} + 4x + 11 = 0.$

Đặt USD x = y + 1 USD, thế vào phương trình đầu bài, ta được : $ { y ^ 3 } + 1. y + 13 = 0. $ Tính USD \ Delta = { 13 ^ 2 } + \ frac { 4 } { { 27 } } {. 1 ^ 3 } $ $ = \ frac { { 4567 } } { { 27 } } \ ge 0. $ Áp dụng công thức Cardano suy ra : USD y = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 13 + \ sqrt { \ frac { { 4567 } } { { 27 } } } } } { 2 } } } $ $ + \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 13 – \ sqrt { \ frac { { 4567 } } { { 27 } } } } } { 2 } } }. $Suy ra : USD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 13 + \ sqrt { \ frac { { 4567 } } { { 27 } } } } } { 2 } } } $ $ + \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 13 – \ sqrt { \ frac { { 4567 } } { { 27 } } } } } { 2 } } } + 1. $Nhận xét : Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi học viên giỏi. Vì thế, có lẽ rằng tất cả chúng ta sẽ nỗ lực tìm một con đường “ hợp thức hóa ” các giải thuật trên, đó là giải pháp lượng giác hóa. Đầu tiên xét phương trình dạng USD x ^ 3 + px + q = 0 $ với USD p < 0 $ và có USD 1 $ nghiệm thực :

Ví dụ 3. Giải phương trình: ${x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0.$

Đầu tiên đặt USD x = y-1 USD ta đưa về phương trình $ { y ^ 3 } – y – 1 = 0 $ $ ( 1 ) USD, đến đây ta dùng lượng giác như sau : Nếu $ \ left | y \ right | < \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } } $, suy ra $ \ left | { \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } y } \ right | < 1 USD, do đó sống sót $ \ alpha \ in \ left [ { 0, \ pi } \ right ] $ sao cho $ \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } y = \ cos \ alpha. $ Phương trình tương tự $ \ frac { 8 } { { 3 \ sqrt 3 } } { \ cos ^ 3 } \ alpha – \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } } \ cos \ alpha – 1 = 0 $ $ \ Leftrightarrow \ cos 3 \ alpha = \ frac { { 3 \ sqrt 3 } } { 2 } $ ( vô nghiệm ). Do đó $ \ left | y \ right | \ ge \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } } USD. Như vậy luôn sống sót USD t USD thỏa USD y = \ frac { 1 } { { \ sqrt 3 } } \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) $ $ ( * ). $ Thế vào USD ( 1 ) USD ta được phương trình $ \ frac { { { t ^ 3 } } } { { 3 \ sqrt 3 } } + \ frac { 1 } { { 3 \ sqrt 3 { t ^ 3 } } } – 1 = 0 $, việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc .Ta tìm được nghiệm : USD x = \ frac { 1 } { { \ sqrt 3 } } \ left [ { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { 3 \ sqrt 3 – \ sqrt { 23 } } \ right ) } } + \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { 3 \ sqrt 3 – \ sqrt { 23 } } \ right ) } } } } } \ right ] – 1. $Nhận xét : Câu hỏi đặt ra là : “ Sử dụng giải pháp trên như thế nào ? ”. Muốn vấn đáp, ta cần làm sáng tỏ hai yếu tố : + Vấn đề 1. Có luôn sống sót USD t $ thỏa mãn nhu cầu cách đặt trên ? Đáp án là không. Coi USD ( * ) USD là phương trình bậc hai theo USD t $ ta sẽ tìm được điều kiện kèm theo $ \ left | y \ right | \ ge \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } }. $ Thật ra hoàn toàn có thể tìm nhanh bằng cách dùng bất đẳng thức AM – GM : $ \ left | y \ right | = \ left | { \ frac { 1 } { { \ sqrt 3 } } \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) } \ right | $ $ = \ frac { 1 } { { \ sqrt 3 } } \ left ( { \ left | t \ right | + \ frac { 1 } { { \ left | t \ right | } } } \ right ) \ ge \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } }. $ Vậy trước hết ta phải chứng tỏ USD ( 1 ) USD không có nghiệm $ \ left | y \ right | < \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } }. $ + Vấn đề 2. Vì sao có số $ \ frac { 2 } { { \ sqrt 3 } } $ ? Ý tưởng của ta là từ phương trình USD x ^ 3 + px + q = 0 $ đưa về một phương trình trùng phương theo USD t ^ 3 $ qua cách đặt USD x = k \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ). $ Khai triển và như nhau thông số ta được USD k = \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } }. $Sau đây là phương trình dạng USD x ^ 3 + px + q = 0 $ với USD p < 0 $ và có USD 3 $ nghiệm thực :

Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0.$

Đặt USD y = x – \ frac { 1 } { 3 } $, ta được phương trình : $ { y ^ 3 } – \ frac { 7 } { 3 } y + \ frac { 7 } { { 27 } } = 0 $ $ ( * ). $ Với $ \ left | y \ right | < \ frac { { 2 \ sqrt 7 } } { 3 } $ thì $ \ left | { \ frac { { 3 y } } { { 2 \ sqrt 7 } } } \ right | < 1 USD, do đó sống sót $ \ alpha \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ sao cho $ \ cos \ alpha = \ frac { { 3 y } } { { 2 \ sqrt 7 } } $ hay USD y = \ frac { { 2 \ sqrt 7 \ cos \ alpha } } { 3 }. $ Thế vào USD ( * ) USD, ta được : $ \ cos 3 \ alpha = – \ frac { { \ sqrt 7 } } { { 14 } } $, đây là phương trình lượng giác cơ bản. Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình bắt đầu : $ { x_1 } = \ frac { { 2 \ sqrt 7 } } { 3 } \ cos \ left [ { \ frac { { \ arccos \ left ( { – \ frac { { \ sqrt 7 } } { { 14 } } } \ right ) } } { 3 } } \ right ] + \ frac { 1 } { 3 } $, $ { x_ { 2,3 } } = \ frac { { 2 \ sqrt 7 } } { 3 } \ cos \ left [ { \ frac { { \ pm \ arccos \ left ( { – \ frac { { \ sqrt 7 } } { { 14 } } } \ right ) } } { 3 } + \ frac { { 2 \ pi } } { 3 } } \ right ] + \ frac { 1 } { 3 }. $Do phương trình bậc ba có tối đa USD 3 $ nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp $ \ left | y \ right | \ ge \ frac { { 2 \ sqrt 7 } } { 3 }. $Nhận xét : Ta cũng hoàn toàn có thể chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $ \ left | y \ right | \ ge \ frac { { 2 \ sqrt 7 } } { 3 } $ bằng cách đặt USD y = \ frac { { \ sqrt 7 } } { 3 } \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD giống như ví dụ 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm. Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ $ y = \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } } \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) $ $ ( * ) USD như sau : + Nếu phương trình có USD 1 $ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $ \ left | y \ right | < 2 \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } } $, trường hợp còn lại dùng USD ( * ) USD để đưa về phương trình trùng phương theo USD t. $ + Nếu phương trình có USD 3 $ nghiệm thực, chứng tỏ phương trình vô nghiệm khi $ \ left | y \ right | \ ge 2 \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } } $ bằng phép đặt USD ( * ) USD ( đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo USD t USD ). Khi $ \ left | y \ right | \ le 2 \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } } $ thì đặt $ \ frac { { \ left | y \ right | } } { { 2 \ sqrt { \ frac { { – p } } { 3 } } } } = \ cos \ alpha USD, từ đó tìm USD α USD, suy ra USD 3 $ nghiệm USD y. $Còn khi USD p > 0 $ không khó chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất :

Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^3} + 6x + 4 = 0.$

Ý tưởng : Ta sẽ dùng phép đặt USD x = k \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện kèm theo của USD x USD, vì nó tương tự USD k \ left ( { { t ^ 2 } – 1 } \ right ) – xt = 0. $ Phương trình trên luôn có nghiệm theo USD t USD. Như vậy từ phương trình đầu ta được : $ { k ^ 3 } \ left ( { { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } } \ right ) – 3 { k ^ 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD USD + 6 k \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 4 = 0. $ Cần chọn USD k USD thỏa USD 3 { k ^ 3 } = 6 k $ $ \ Rightarrow k = \ sqrt 2. $ Vậy ta có giải thuật bài toán như sau : Đặt USD x = \ sqrt 2 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD, ta có phương trình : USD 2 \ sqrt 2 \ left ( { { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } } \ right ) + 4 = 0 $ $ \ Leftrightarrow { t ^ 6 } – 1 + \ sqrt 2 { t ^ 3 } = 0 $ $ \ Leftrightarrow { t_ { 1,2 } } = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 3 } } { { \ sqrt 2 } } } }. $Lưu ý rằng $ { t_1 } { t_2 } = – 1 $ theo định lí Vi-ét nên ta chỉ nhận được một giá trị của USD x USD là : USD x = { t_1 } + { t_2 } $ $ = \ sqrt 2 \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 3 } } { { \ sqrt 2 } } } } + \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 – \ sqrt 3 } } { { \ sqrt 2 } } } } } \ right ). $

Ví dụ 6. Giải phương trình $4{x^3} – 3x = m$ với $\left| m \right| > 1.$

Nhận xét rằng khi $ \ left | x \ right | \ le 1 $ thì $ \ left | { VT } \ right | \ le 1 < \ left | m \ right | $ ( sai ) nên $ \ left | x \ right | \ ge 1. $ Vì vậy ta hoàn toàn có thể đặt USD x = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD, ta được phương trình : $ \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { t ^ 3 } + \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } } \ right ) = m. $ Từ đó : USD t = \ sqrt [ 3 ] { { m \ pm \ sqrt { { m ^ 2 } – 1 } } } $ $ \ Rightarrow x = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { m + \ sqrt { { m ^ 2 } – 1 } } } + \ sqrt [ 3 ] { { m – \ sqrt { { m ^ 2 } – 1 } } } } \ right ). $ Ta chứng tỏ đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Giả sử phương trình có nghiệm $ { x_0 } $ thì $ { x_0 } \ notin \ left [ { – 1 ; 1 } \ right ] $ vì $ \ left | { { x_0 } } \ right | > 1. $ Khi đó : USD 4 { x ^ 3 } – 3 x = 4 x_0 ^ 3 – 3 { x_0 } $ $ \ Leftrightarrow \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) \ left ( { 4 { x ^ 2 } + 4 x { x_0 } + 4 x_0 ^ 2 – 3 } \ right ) = 0. $ Xét phương trình : USD 4 { x ^ 2 } + 4 x { x_0 } + 4 x_0 ^ 2 – 3 = 0. $ Ta có : USD \ Delta ‘ = 12 – 12 x_0 ^ 2 < 0 USD nên phương trình bậc hai này vô nghiệm .Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : USD x = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { m + \ sqrt { { m ^ 2 } – 1 } } } + \ sqrt [ 3 ] { { m – \ sqrt { { m ^ 2 } – 1 } } } } \ right ). $

• Kiến thức Phương trình và hệ phương trình

<

p class=”textwidget custom-html-widget”>