Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Công thức nhị thức Niu-tơn
Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta có :

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton ( viết tắt là Nhị thức Newton ) .Quy ước : a0 = b0 = 1Chú ý :
Trong biểu thức ở vế phải của công thức ( 1 )
+ Số các hạng tử là n + 1 .
+ Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n .
+ Các thông số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau .
Hệ quả :

Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton

2. Tam giác Pascal.

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau :

– Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1 .- ¬ Nếu biết hàng thứ n ( n ≥ 1 ) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tục của hàng thứ n rồi viết hiệu quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng .
Nhận xét :

3. Mở rộng của khai triển nhị thức Niu- tơn
Bước 1 : Viết tam giác Pascal đến dòng thứ nđể có được thông số của nhị thức Niuton ( b + c ) n
Bước 2 : Ở các đầu dòng ta viết các đơn thức là khai triển nhị thức Newton
Bước 3 : Nhân lần lượt các đơn thức ở đầu dòng mỗi cột với các đơn thức còn lại trên mỗi dòng đó rồi cộng các tác dụng lại, ta thu được tác dụng khai triển .

Quảng cáo

Cụ thể ta có ở dưới đây

Chú ý 1:

Chú ý 2:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính hệ số x10y8 trong khai triển ( x + y)18?
A. 43758 B. 23145 C. 45 D. 12458
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Theo công thức nhị thức Niu- tơn; hệ số chứa x10.y8 là:

Ví dụ 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển ( 2x- 5)7
A. 175000 B. – 70000 C. 70000 D. – 175000
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Ta có : ( 2 x – 5 ) 7 = [ ( 2 x + ( – 5 ) ] 7
Theo công thức nhị thức Niu-tơn; số hạng chứa x4 là:

Do đó hệ số của x4 là:

Quảng cáo

Ví dụ 3: Trong khai triển nhị thức (x + 1)n+9. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 10 B. 17 C. 9 D. 12
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Chú ý : Số các số hạng của khai triển mũ n là n + 1 .
Vậy khai triển ( x + 1 ) n + 9 có tổng thể 17 số hạng suy ra n + 9 = 17 + 1 .
⇔ n + 9 = 18 nên n = 9
Ví dụ 4: Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển
( 1 + x ) 9 + ( 1 + x ) 10 + ( 1 + x ) 11 + ( 1 + x ) 12 + ( 1 + x ) 13 + ( 1 + x ) 14 + ( 1 + x ) 15
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Trong khai triển (1+x)9 thì số hạng chứa x9 là:
+ Tương tự thông số chứa x9 trong các khai triển ( 1 + x ) 10 ; ( 1 + x ) 11 ; ( 1 + x ) 12 ; … ; ( 1 + x ) 15 là

Do đó ; thông số chứa x9 cần tìm là :
.

Ví dụ 5: Trong khai triển , hai số hạng cuối là:
.
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Ta có :
là hai số hạng cuối cùng của khai triển

Ví dụ 6: Trong khai triển (2∛x+3√x )10,(x>0) số hạng chứa x4 sau khi khai triển là
A. 1808640 B. 1088640×4 C. 1808460×4 D. 207360
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B

Ví dụ 7: Hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển (4/3-3×3)15 là

Hướng dẫn giải :
Đáp án : D

Ví dụ 8: Trong khai triển (1+ 3x)20 với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là:

Hướng dẫn giải :
Đáp án : D

Ví dụ 9: Nếu bốn số hạng đầu của một hàng trong tam giác Pascal được ghi lại là:
1 16 120 560
A. 1 32 360 1680
B. 1 18 123 564
C. 1 17 137 697
D. 1 17 136 680
Khi đó 4 số hạng đầu của hàng sau đó là :
Hướng dẫn giải :
Đáp án : D
4 số hạng tiếp theo của tam giác Pascal là :
1 1 + 16 = 17 16 + 120 = 126 120 + 560 = 680
Ví dụ 10: Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển (5a-1)5 và số hạng thứ 5 trong khai triển (2a- 3)6 là:
A. 4160 a2 B. – 4160 a2 C. 4610 a2 D. 4620 a2
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C

Ví dụ 11: Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển P(x)=(3×2 + x + 1)10 là :

A.1695    B.1485    C.405    D.360

Hướng dẫn giải :
Đáp án : A

Ví dụ 12: Tìm số hạng chứa x13 trong khai triển thành các đa thức của (x + x2 + x3 )10 là :
A. 180 B. 210 C. 210×13 D. 180×3
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Với 0 ≤ q ≤ p ≤ 10 thì số hạng tổng quát của khai triển ( x + x2 + x3 ) 10 là :

Ví dụ 13: Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển (1+ x+ x2 + x3)5
A. 98 B. 84 C. 101 D. 121
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có :

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số hạng không chứa x trong khai triển là


Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Ta có số hạng thứ k + 1 là :

Số hạng không chứa x tương ứng với : ( 60-5 k ) / 6 = 0
⇔ 60 – 5 k = 0 ⇔ k = 12 .
Do vậy số hạng cần tìm là:

Câu 2: Trong khai triển ( x – y)11, hệ số của số hạng chứa x8y3 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : A

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các khẳng định sau:
I. Gồm có 7 số hạng .
II. Số hạng thứ 3 là 16 x .
III. Hệ số của x5 là 12 .
Trong các khẳng định chắc chắn trên
A. Chỉ I và III đúng
B. Chỉ II và III đúng
C. Chỉ I và II đúng
D. Cả ba đúng
Hiển thị đáp án
Đáp án : A

Câu 4: Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển .
A. 37 B. 38 C. 36 D. 39
Hiển thị đáp án
Đáp án : B

⇒ k = 8 t ( với t nguyên )
Lại có : 0 ≤ k ≤ 300 nên 0 ≤ 8 t ≤ 300
⇔ 0 ≤ t ≤ 37,5. Mà t nguyên nên t ∈ { 0,1,2,3 …, 37 } .
Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn nhu cầu. Suy ra có 38 giá trị của k thỏa mãn nhu cầu .
⇒ Có 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đã cho .
Câu 5: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = ( x+1)6 +(x+ 1)7 + ( x+ 1)8 + ..+ (x+ 1)12 .
A. 1711 B. 1287 C. 1716 D. 1715
Hiển thị đáp án
Đáp án : D

Câu 6: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển ( 3x+ x2)10
A. 145654 B. 298645 C. 295245 D.Đáp án khác
Hiển thị đáp án
Đáp án :
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có số hạng thứ k + 1 trong khai triển là :

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x – 1)2003 ta được :
P. ( x ) = a2003. x2003 + a2002. x2002 + … + a1x + a0 .
Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Hiển thị đáp án
Đáp án : C

Câu 8: Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển (2x+ 1/2x)10
A. 1960 B. 1920 C. 1864 D. 1680
Hiển thị đáp án
Đáp án : B

Câu 9: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: ( xy2- 1/xy)8
A. 70 y4 B. 25 y4 C. 50 y5 D. 80 y4
Hiển thị đáp án
Đáp án :
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có :

Số hạng không chứa x ứng với : 8 – 2 k = 0 ⇔ k = 4⇒ số hạng cần tìm

Câu 10: Tìm số hạng đứng vị trí chính giữa trong khai triển: ( x2+ xy)20

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có :

Câu 11: Khai triển đa thức: P(x)= ( 2 x- 1)1000 ta được:
P. ( x ) = a1000x1000 + a999x999 + …. + a1x + a0. Tính a1000 + a999 + … + a1 + a0 ?
A. – 1 B. 0 C. 2 D. 1
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Ta có : ( x ) = a1000x1000 + a999x999 + …. + a1x + a0
Cho x = 1 ta được P. ( 1 ) = a1000 + a999 + a998 + … + a1 + a0 ( 1 )
Mặt khác : P. ( x ) = ( 2 x – 1 ) 1000 nên P. ( 1 ) = ( 2.1 – 1 ) 1000 = 1 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : a1000 + a999 + a998 + … + a1 + a0 = 1
Câu 12: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = x.(2+ x)5 + x2( 1 + x )10
A. 110 B. 120 C. 130 D. 140
Hiển thị đáp án
Đáp án : C

Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển (x2 + 1/x – 1)10 là
A. 1951 B. 1950 C. 3150 D. – 360
Hiển thị đáp án
Đáp án : A

Câu 14: Số hạng chứa x8 trong khai triển (x3 – x2 -1)8 là
A. 168×8 B. 168 C. 238×8 D. 238
Hiển thị đáp án
Đáp án : D

Câu 15: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)2 + …+ 8(1+x)8
A. 487 B. 636 C. 742 D. 568
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2 ( 1 + x ) 2 ; 3 ( 1 + x ) 3 ; 4 ( 1 + x ) 4 không chứa số hạng chứa x5Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 5(1+x)5 là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(1+x)6 là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(1+x)7 là

Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(1+ x)8 là
Vậy thông số của x5 trong khai triển P. ( x ) là :

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
to-hop-xac-suat.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập