Một số phương pháp giải bài toán dựng hình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.58 MB, 55 trang )

MC LC
MC LC ………………………………………………………………………………………………. 1
A. M U …………………………………………………………………………………………….. 3

I. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………………………………. 3
II. Ph-ơng pháp nghiên cứu ……………………………………………………………………….. 4
III. Nội dung chính của đề tài…………………………………………………………………….. 4
B. NI DUNG …………………………………………………………………………………………. 6
CHNG II. CC KIN THC C BN V DNG HèNH ………………………… 6

1. Thế nào là dựng hình …………………………………………………………………………….. 6
2. Các phép dựng hình cơ bản bằng th-ớc và compa: ……………………………………. 6
3. Giải bài toán dựng hình …………………………………………………………………………. 6
4. Mt s bài toán dựng hình cơ bản: ………………………………………………………….. 7
5. Các b-ớc giải một bài toán dựng hình ……………………………………………………… 7
6. p dụng……………………………………………………………………………………………… 17
7. Dựng hình bằng các dựng cụ khác ………………………………………………………… 23
8.Điều kiện để giải đ-ợc bài toán dựng hình (bằng th-ớc và compa) ……….. Error!
Bookmark not defined.
CHNG II.MT S PHNG PHP GII BI TON DNG HèNH ………… 27

1. Ph-ơng pháp qu tớcht-ơng giao …………………………………………………………… 27
1.1. Cơ sở lý thuyết …………………………………………………………………………………. 27
1.2.Cỏc bi toỏn ỏp dng. ……………………………………………………………………….. 27

2. Ph-ơng pháp đại số……………………………………………………………………………… 35
2.1. C s lý thuyt …………………………………………………………………………………. 35
2.2.Cỏc bi toỏn ỏp dng ………………………………………………………………………… 36
3. Ph-ơng pháp biến hình ………………………………………………………………………… 43
3.1. C s lý thuyt: ……………………………………………………………………………….. 43
3.2.Cỏc bi toỏn ỏp dng ………………………………………………………………………… 43

3.2.1. Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh vi phộp tnh tin: ……………….. 43
3.2.2. Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh dựng phộp i xng trc, i
xng tõm: ………………………………………………………………………………………………. 45
1

3.2.3. Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép quay …………………… 46
3.2.4. Dựng hình bằng phương pháp biến hình dùng phép vị tự …………………… 49
4. C¸c ph-¬ng ph¸p kh¸c…………………………………………………………………………. 51
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ……………………………………………………………………….. 53
C. KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………………………………… 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………………………………. 55

2

A. M U
I. Lí do chọn đề tài
bc THCS,b i h c dựng hình u ti n đ-ợc đ-a vào lớp 7. đó khái
niệm về dựng hình ng-ời ta không đ-a ra một cách tổng quát mà thông qua một
bài tập cụ thể. Tiếp đó bài học chính thức thứ hai về dựng hình là bài ” Bài toán

dựng hình 4 b-ớc” đ-ợc đ-a vào ch-ơng I của sách “Hình học 8”. Và ở THCS
ng-ời ta không đ-a ra các ph-ơng pháp dựng hình mà chỉ th-ờng dựng hình trên
những số liệu cụ thể nên nhiều khi dựng hình không có b-ớc biện luận. Vì đ-ợc
đ-a vào ít nh- vậy nên giáo viên và học sinh THCS đa số không coi trọng và
dành nhiều thời gian cho nó. Vì các emh c sinh hiểu dựng hình một cách máy
móc và không vận dụng chúng một cách linh hoạt.
Dựng hình là một dạng bài tập khó đối với học sinh THCS. Thông th-ờng
các em h c sinh ch-a hiểu một cách đầy đủ về kiến thức cơ bản, các suy luận để

giải một bài toán dựng hình. Còn đối với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khó
khăn trong việc h-ớng dẫn, gợi ý giúp học sinh tìm ra yếu tố liên quan để dựng
đ-ợc hình thỏa mãn yêu cầu bài toán.Nhận thức rõ đ-ợc tầm quan trọng của việc
giảng dạy và học tập toán dựng hình ở cấp II nói chung, việc bồi d-ỡng học sinh
giỏi nói riêng nên khi đ-ợc chọn làm đề tài tốt nghiệp thì em đã chọn đề tài “Mt
s ph-ơng pháp giải bài toán dựng hình”. Đây là một đề tài khó nh-ng em
mạnh dạn đi sâu nghiên cứu đề tài này mong rằng phần nào chỉ ra đ-ợc những
-u điểm, sự cần thiết của toán dựng hình cũng nh- những khó khăn, lúng túng
khi học toán dựng hình. Qua đó các em h c sinh biết cách giải toán dựng hình
một cách nhanh chóng, có ph-ơng pháp và yêu thích, say mê học loại toán này.
Ngoài ra khi làm đề tài này em cũng hy vọng tích luỹ đ-ợc cho mình thêm kiến
thức để sử dụng nó khi ra tr-ờng. Em thực hiện đề tài này với cả sự cố gắng tìm tòi,
đ-ợc sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Ths. Trần Mạnh Hùng và tham khảo các tliệu có liên quan. Đồng thời có trình bày thêm những quan điểm nhận xét riờng của
mình.
Vì kinh nghiệm, khả năng và kiến thức còn có hạn nên đề tài của em
không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các anh
3

chị, các bạn nghiên cứu đóng góp ý kiến để em hoàn chỉnh, khắc phục khuyết
điểm và lấy nó làm kinh nghiệm cho việc dạy học sau khi ra tr-ờng.
II. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Để làm đề tài này em đã dùng ph-ơng pháp sau:
– S-u tầm tài liệu và chọn lọc các tài liệu có liên quan đến đề tài.
– Đọc và nghiên cứu tài liệu, từ đó tổng hợp và khái quát nên rút ra những
kết luận khoa học đ-a vào trong đề tài.
III. Nội dung chính của đề tài
Đề tài này hệ thống lại các kiến thức cơ bản về dựng hình, ph-ơng pháp
giải các bài tập dựng hình bằng ph-ơng pháp t-ơng giao, ph-ơng pháp đại số và
ph-ơng pháp biến hình. sau mi bài tập em có đ-a ra những bài tập mở rộng

giúp sinh viên s- phạm khi đi thực tập và bắt đầu b-ớc vào nghề có thể l-u ý hơn
trong cách dạy, rèn luyện t- duy cho học sinh. Đồng thời giúp cho học sinh tránh
đ-ợc những khó khăn sai lầm trong quá trình làm bài tập dựng hình.
– Đề tài gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng I: Các kiến thức cơ bản về dựng hình.
Ch-ơng II: Mt s phng phỏp gii b i toỏn dng hỡnh.
– Kết quả nghiên cứu:
Kiến thức về dựng hình ở cấp THCS không đ-ợc sách giáo khoa đi sâu về
lý thuyết và bài tập. Đây là dạng bài tập khó. Sách giáo khoa đã đứa ra một số
bài tập cơ bản, đơn giản. B-ớc đầu cho các em

c sinh làm quen với dựng hình.

Các bài tập về dựng hình có tác dụng tốt trong việc phát triển khả năng phân
tích, suy luận, dự đoán các khả năng xảy ra và rè

a

học sinh. Vì vậy trong đề tài này, em xin trình bày rõ ràng, chi tiết các kiến thức
cơ bản về dựng hình:
1. Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình đ-ợc dựng.
2. Các phép dựng hình cơ bản bằng th-ớc và compa (5 tiên đề về dựng
hình).
3. Giải bài toán dựng hình.
4. Các bài toán dựng hình cơ bản.
4

5. Các b-ớc giải và dạy bài toán dựng hình (th-ờng gồm 4 b-ớc).
6. Dựng hình bằng các dụng cụ khác (eke, th-ớc đo độ).

7. iu kin gii c b i toỏn dựng hình bằng th-ớc và compa.
8.

Ph-ơng pháp t-ơng giao và một số ví dụ cụ thể vcó b i tp mở rộng.

9. Ph-ơng pháp đại số và một số ví dụ cụ thểv có b i tpmở rộng.
10. Ph-ơng pháp s dng phộp bin hình và một số ví dụ cụ thểvcú b i tp
mở rộng.
11. Các ph-ơng pháp khác
Những ví dụ và bà tập mà em lựa chọn trình bày, đều mang tính chất chủ
quan, nó ch-a đặc tr-ng hết những gì mà em muốn nói. Em nghĩ rằng ng-ời đọc
có thể tìm thêm những cách giải khác tốt hơn hay hơn. Dù vậy, với lòng mong
mỏi đ-ợc tập d-ợt nghiên cứu. Em mạnh dạn thực hiện đề tài này. Do lần đầu
thực hiện công việc nghiên cứu, chắc chắn không thể tránh khỏi những nhận xét
chủ quan. Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý.
Xin chân thành cảm ơn.

5

B. NI DUNG
CHNG 1. CC KIN THC C BN V DNG HèNH
1. Thế nào là dựng hình:
Cho b dng c dng hỡnh B
Dng hỡnh H

c trng bi cỏc phộp dng c bn ().

tha món cỏc iu kin T

n o ú ó cho l lit k dóy hu

hn cỏc phộp dng c bn trong () c n thc hin c hỡnh H.

Chú ý: Ta cần phân biệt đ-ợc việc vẽ hình mà chúng ta th-ờng thực hiện tr-ớc
đây với dựng hình vừa mới nêu trên.
– Vẽ hình là ta có thể dùng bất kì một dụng cụ nào (th-ớc kẻ, eke,compa, th-ớc
đo góc) để vẽ hình ấy lên giấy.
– Dựng hình là ta phải nêu đ-ợc một dãy thứ tự các phép dựng hình cơ bản để tạo
ra hình ấy chỉ với hai dụng cụ là th-ớc kẻ và compa
2. Các phép dựng hình cơ bản(bằng th-ớc và compa):
Có 5 phép dựng hình cơ bản:
– Dựng những hình đã cho tr-ớc.
– Dựng đ-ờng thẳng đi qua hai điểm
– Dựng đ-ờng tròn có tâm và bán kính cho tr-ớc
– Dựng giao điểm (nếu có) của hai hình đã biết.
– Dựng điểm tuỳ ý trên mặt phẳng (thuộc hay không thuộc hình đã
dựng)
Mọi phép dựng khác đều phải quy về 5 phép dựng cơ bản trên.
3. Giải bài toán dựng hình
Là ta đi tìm các nghiệm của bài toán.
Nghiệm của bài toán dựng hình là hình dựng đ-ợc thoả mãn điều kiện của
bài toán. Đi tìm nghiệm của bài toán nghĩa là chúng ta phải:
– Xác lập một số hữu hạn tr-ờng hợp bao hàm tất cả những khả năng có
thể xảy ra đối với việc lựa chọn những cái đã cho.
– Đối với mỗi tr-ờng hợp trả lời câu hỏi bài toán có nghiệm hay không và
nếu có thì bao nhiêu nghiệm.
6

– Đối với mỗi tr-ờng hợp mà bài toán có nghiệm, chỉ ra một số hữu hạn
các phép dựng hình cơ bản cần tiến hành theo một thứ tự nào đó để có thể dựng
đ-ợc nó bằng th-ớc và compa.
Nếu những hình không yêu cầu về vị trí thì những hình đó bài toán yêu
cầu dựng coi nh- một nghiệm. Nếu có yêu cầu về vị trí thì những vị trí khác
nhau cho ta những hình khác nhau.
Để cho đơn giản trong thực hành, trình bày lời giải ng-ời ta thêm các bài
toán dựng hình cơ bản ngoài những phép dựng hình cơ bản.
4. Mt s bài toán dựng hình cơ bản:

Bài toán 1: Dựng đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trc.
Cách dựng:
– Dựng đoạn thẳng AB
– Dùng Compa dựng đng tròn tâm B, bán kính AB
– Qua AB ta dựng một đng thẳng d cắt đng tròn (B, AB) tại C.
Vậy đoạn thẳng BC là đoạn thẳng cần dựng.

A

B

C

Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trc.
Cách dựng:
Cho trc gúc

v tia

dng ng thng qua A hp vi

mt

gúc bng , ta l m nh sau:
– Ly trờn tia

mt im B.

– Dng ng trũn tõm O bỏn kớnh bng AB ct Ox v Oy ti D v C.
– Dng ng trũn tõm A bỏn kớnh AB, v ng trũn tõm B bỏn kớnh CD
hai ng trũn n y ct nhau ti E v F.
7

Hai góc ̂ và ̂ = ̂ .

E
D

x

l

A

B
O

C

y

F
Bµi to¸n 3: Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a, hoÆc hai
gãc vµ mét c¹nh.
1 – Dựng ABC, biết ba cạnh BC = a, AB = b, AC = c.
– Vẽ đoạn thẳng BC = a.
– Vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng b.
– Vẽ cung tròn tâm C, bán kính bằng c.
– Lấy một giao điểm của hai cung tr n, g i giao điểm đó l A.
– Vẽ đoạn thẳng AB, AC. Ta có tam giác ABC l tam giác c n dựng.

A
b

c

a

C

B
2 – Dựng ABC, biết AB = a, BC = b, ̂
– Dựng góc ̂

.

(thước đo độ).

– Trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB = a.

8

– Trờn tia By ly im C sao cho BC = b.
– Dng on thng AC, ta c ABC .

x
A
a

B

b
C

3 Dng ABC, bit BC = a,

,

y

.

– V on thng BC = a.
– Trờn cựng mt na mt phng b BC, dng cỏc tia Bxv

Hai tia tr n ct nhau ti A. Ta c ABC .

y

B

,

x

a

C

Bài toán 4: Dựng trung trực của một đoạn thẳng. Dựng trung điểm của một
đoạn thẳng.
Cách dựng:
– Dựng đoạn thẳng AB
– Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn

1
AB
2

– Sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính đó sao cho hai cung
tròn này cắt nhau ti hai điểm M và N.
– Dựng đoạn thẳng MN. Giao điểm của MN và AB chính là trung điểm của A
9

d
M

A

I

B

N

Bµi to¸n 5: Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng vuông góc với một đƣờng thẳng
cho trƣớc.
Cách dựng:
– Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A.
– Lấy A l m tâm dựng một đường tròn cắt đường thẳng l tại hai điểm B, C.
– Dựng đường trung trực của BC. Đây chính l đường thẳng đi qua A v
vuông góc với l.

Bài toán 6: Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng song song với một điểm đã cho.
Cách dựng:
– Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A.
10

– Dựng đường thẳng t đi qua A v vuông góc với l.
– Dựng đường thẳng u đi qua A cuông góc với t.
Đường thẳng u chính l đường thẳng đi qua A v song song với đường
thẳng l.

t

u

A

l

Bài toán 7: Dựng đƣờng phân giác của một góc.
Cách dựng:
–

Cho trước góc ̂ .

–

Lấy O l m tâm dựng một đường tròn cắt Ox, Oy tại A, B.

–

Dựng đường trung trực của AB, đây chính l đường phân giác của góc
̂ .

x
A
O

B
y

Bài toán 8: Dựng tiếp tuyến đƣờng tròn đi qua một điểm cho trƣớc.
Cách dựng:
– Cho trước một đường tròn tâm O v một điểm A nằm ngo i đường tròn.
11

– Dựng trung điểm B của OA.
– Lấy B l m tâm, dựng đường tròn bán kính AB. Đường tròn n y cắt (O) tại
hai điểm C v D.
– Hai đường thẳng AC v AD chính l tiếp tuyến của trường tròn (O).
C

A

B

O

D

Bài toán 9: Dựng tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn cho trƣớc.
Cách dựng:
Dựng sẵn hai đường tròn (O);(O’).
*Tiếp tuyến chung ngoài:
– Dựng bán kính OM bất kì.
– Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’.
– A l giao điểm của MM’ v OO’.
– Dựng đường tròn đường kính O’A cắt (O’) tại B v C.
Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung ngo i của (O); (O’).

M

B
M’
A
O’

O
C

12

*Tiếp tuyến chung trong:
– Dựng bán kính OM bất kì.
– Dựng đường thẳng đi qua O’ v song song với OM cắt (O’) tại M’.
– A l giao điểm của MM’ v OO’.
– Dựng đường tròn đường kính OA cắt (O) tại B v C.
– Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung trong của (O); (O’).
M

B

O’
A

O

M’
C

Bài toán 10: Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trƣớc.
Ví dụ: Dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x 2  ab )
Cách dựng:
–

E

Dựng đoạn thẳng AC = a v BC = b.
Trong đó A, B, C thẳng h ng.

– Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB l

x

O.
– Dựng đường tròn (O, OB).

C

O

A
a

13

b

B

– Dựng đường thẳng qua C v vuông góc với AB. Đường thẳng n y cắt (O,
OB) tại E.
Cách 1

– Dựng đường thẳng CE.
Suy ra CE l đoạn thẳng c n dựng.
 Chứng minh:
Vì C  (O, OB) : OA  OB  OE 

AB
2

E

Mặt khác, vì AEB có đường trung
tuyến OE ứng với cạnh huyền AB v
bằng

x

1
AB nên tam giác AEB vuông
2

C

A

tại E.

O

a

Do đó theo hệ thức về đường cao v

B
b

Cách 2

hình chiếu của hai cạnh góc vuông tr n cạnh huyền: Trong một tam giác vuông,
đường cao ứng với cạnh huyền l trung
bình nhân của hai đoạn thẳng m nó định ra tr n cạnh huyền.
Bài toán 11: Dựng cung chứa góc

có hai điểm mút A và B.

– Dựng đoạn thẳng AB.
– Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
– Dựng tia Ax tạo với AB một góc  .
– Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax.
– G i O là giao điểm của Ay với d.



– Vẽ cung tròn AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung n y nằm ở nửa
mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.



– Cung AmB được dựng như tr n l một cung chứa góc
A và B.

14

có hai điểm mút

m

y

d

O

A



B

x

m
B

A

O
d

x

y

5. C¸c b-íc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh
Dạng toán: “Dựng hình H có tính chất  ”.
Phương pháp giải toán: Để giải b i toán dựng hình ta thực hiện 4 bước.

B-íc 1: Ph©n tÝch
Xét xem yếu tố n o dựng được ngay.
–

Đoạn thẳng (khi biết độ d i).

–

Góc (khi biết số đo góc).

–

Tam giác (khi đủ b i toán yếu tố c.g.c, g.c.g, c.c.c).

–

Đường tròn (khi biết tâm v bán kính).

Xét xem yếu tố n o c n dựng.
15

Ph n phõn tớch chớnh l ph n lý gii ti sao cú cỏch dng bc 2. Ph n
phõn tớch bt u bng cỏch gi s hỡnh H ó dng c. T ú suy ra mun
dng c hỡnh H phi dng c hỡnh H, ri trc khi dng c H li phi
dng c H, c nh th ta i git lựi cú th tỡm ra hỡnh phi dng u
ti n. Nu ph n phõn tớch ca ta l ỳng thỡ cỏch dng chng qua l quỏ trỡnh
ngc li ca ph n phõn tớch.

Chú ý: Phân tích là b-ớc quan trọng nhất vì nó cho ta biết phải dựng nhthế nào để đ-ợc hình theo yêu cầu của đề bài.

B-ớc 2: Cách dựng
– Trỡnh b y cỏch dng theo th t cỏc bc phõn tớch.
– Minh ho bng hỡnh v (cú nột thc v compa lu li trờn hỡnh).

Chú ý:
– Các b-ớc dựng phải là các phép dựng cơ bản hay các bài toán dựng hình
cơ bản.
– Mỗi b-ớc dựng nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựng đ-ợc các
phép dựng ấy.
– Các b-ớc dựng phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn.
– Số các b-ớc dựng phải hữu hạn.

B-ớc 3: Chứng minh
Sau khi dng c hỡnh H, ta c n chng minh rng hỡnh H cú tớnh cht ,
tho món iu kin v hỡnh dng v kớch thc theo y u c u b i toỏn.
Để thực hiện b-ớc này ta dựa vào các b-ớc dựng và các định lý đã học mà

chứng minh. Điều kiện dễ chứng minh tr-ớc, điều kiện khó chứng minh sau.

Chú ý: Cần chứng minh hình dựng đ-ợc thoả mãn đề bài cả về định l-ợng
cũng nh- định tính.

B-ớc 4: Biện luận
Là b-ớc xem khi nào bài toán có nghiệm và nếu có thì có bao nhiêu
nghiệm. Hay là để xét xem những yếu tố nào đã cho phải thoả mãn điều kiện nào
để có thể dựng đ-ợc hình phải tìm, nếu dựng đ-ợc thì có bao nhiêu nghiệm hình.

16

– Biện luận theo cách dựng là ở mỗi b-ớc dựng đó xét xem phải thoả mãn
điều kiện gì thì b-ớc dựng này thực hiện đ-ợc và nếu dựng đ-ợc thì có bao nhiêu
nghiệm.

Chú ý::
– Phân chia các tr-ờng hợp tránh lộn xộn dẫn đến sót hoặc trùng lặp các
tr-ờng hợp.
– Nếu hình phải dựng không áp dụng đ-ợc cách dựng tổng quát trong phần
dựng hình thì phải trình bày cách dựng t-ơng ứng cho từng tr-ờng hợp cụ thể này.
– Số nghiệm bài toán dựng hình ta quy -ớc nh- sau:
Nếu bài toán không quy định vị trí của hình phải tìm đối với mỗi hình đã
cho t-ơng ứng thì những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn điều
kiện đầu bài đã đ-ợc xem là một nghiệm.
Biện luận là một b-ớc góp phần rèn luyện t- duy đầy đủ cho học sinh
(biện luận đủ), t- duy khái quát cho học sinh.
Chỳ ý: Nu cỏc bc dng hỡnh ó rừ r ng thỡ khụng c n l m bc phõn tớch.
Lời giải đầy đủ của bài toán dựng hình bao gồm 4 b-ớc trên, cốt yếu là

b-ớc dựng, quan trọng là b-ơc phân tích, nh-ng trong khi dạy, ng-ời dạy nên sử
dụng linh hoạt các b-ớc giải của một bài toán dựng hình. Tùy theo từng bài tập
cụ thể, ng-ời dạy có thể h-ớng dẫn học sinh rút gọn bớt hoặc thêm một số b-ớc
khác nh- giả thiết, kết luận để gúp học sinh nắm rõ đề bài cần dựng cái gì và cáI
gì đã cho để dựng đ-ợc hình.
Tóm lại, khi làm một bài toán dựng hình chúng ta không đ-ợc bỏ một b-ớc
nào trong 4 b-ớc trên. Nếu bỏ b-ớc phân tích hoặc phân tích không rõ ràng tổng
quát có thể dẫn đến sót nghiệm. Nếu bỏ b-ớc chứng minh có thể dẫn đến thừa
nghiệm vì không phải tất cả kết quả của các b-ớc dựng đều là hình phải tìm.

6. p dụng
Bài toán 1:
Dựng ABC biết cạnh BC = a, đ-ờng cao AH = h, trung tuyến AM = m
17

Bài giải:
Bc 1. Phân tích
Giả sử ta dựng đ-ợc ABC thoả mãn:
Cạnh BC = a, đ-ờng cao AH = h, trung tuyến AM = m. Ta phải xác định
đỉnh A thoả mãn 2 điều kiện:
– A cách BC một khoảng bằng h, suy ra A đ-ờng thẳng p // BC và cách
BC một khoảng h.
– A cách điểm M là trung điểm của BC một khoảng m.
Bc 2. Cách dựng
– DựngBC bằng a.
– Dựng đ-ờng thẳng p // BC và cách BC một khoảng bằng h.
– Dựng đ-ờng tròn tâm M bán kính m cắt p tại A.
ABC là tam giác cần dựng.

Bc 3. Chứng minh
ABC có BC = a
Đ-ờng cao AH = h
Trung tuyến AM = m
ABC là tam giác cần dựng.
Bc 4. Biện luận
– m > h bài toán có 4 nghiệm (4 điểm A)
– m = h bài toán có 2 nghiệm (2 điểm A)
18

– m < h bài toán vô nghiệm (không có điểm A)
Bài toán 2:
Cho đ-ờng thẳng m song song với đ-ờng thẳng n và điểm A không thuộc 2
đ-ờng thẳng đó. Dựng điểm Bm, C n sao cho ABC là tam giác đều.

Bài giải:
Bc 1. Phân tích
Giả sử đã dựng đ-ợc điểm B m, điểm C n để ABC đều.
Dựng hình chiếu vuông góc của A trờn m là E
Dựng tam giác đều AEF. Xét AEB và AFC ta có:
AE = AF (ABF đều)

AB = AC (ABC đều)

AEB = AFC (c.g.c)

(vì AE BE)

Bc 2. Cách dựng
Từ A hạ AE m tại E
– Dựng đều AEF
– Từ F dựng đ-ờng vuông góc với AF cắt n tại C
– Nối A với C, dựng đ-ờng tròn tâm A bán kính AC cắt m tại B.
– Nối A với B, B với C ta đ-ợc ABC cần dựng

19

Bc 3. Chứng minh
Xét vuông AEB và vuông AFC có:
AB = AC

vuông ABF = vuông ACF (c.g.c)

AE = AF

Mà

Và

ABC có AB = AC và

ABC đều

Bc 4. Biện luận
Bài toán có 2 nghiệm vì ta có thể dựng đ-ợc 2 đều
Bài toán 3:
Dựng ABC biết BC = a; AB + AC = d;

Bài giải:
Bc 1. Phân tích
Giả sử ta đã dựng đ-ợc ABC thoả mãn các điều kiện của đầu bài. Kéo
dài BA và trên đ-ờng kéo dài lấy điểm D sao cho AD = AC.
Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d
20

DAC cân A = BD đ-ờng trung trực của CD
Bc 2.Cách dựng

– Dựng đoạn BC = a
– Dựng tia Bx sao cho =
– Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d
– Nối D với C
– Dựng điểm A là giao của BD và đ-ờng trung trực của CD
– Nối A với C ta đ-ợc ABC cần dựng
Bc 3. Chứng minh
=
BC = a
A đ-ờng trung trực của DC AD = AC
A, D Bx; BD = d
BD = AB + AD = AB + AC = d
ABC là cần dựng
Bc 4.Biện luận
– d < a bài toán vô nghiệm
– d > a Bài toán có một nghiệm

21

Bài toán 4:
Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đ-ờng cao CH = h

Bài giải
Bc 1. Phân tích
Giả sử đã dựng đ-ợc ABC thoả mãn điều kiện của đầu bài
A đ-ờng tròn tâm M bán kính m.

H đ-ờng tròn đ-ờng kính BC
CH = h; B, H, A thẳng hàng
Bc 2. Cách dựng
– Dựng BC = a, trung điểm M của BC
– Dựng đ-ờng tròn (M, m)
– Dựng đ-ờng tròn đ-ờng kính BC
– Dựng điểm H đ-ờng tròn đ-ờng kính BC sao cho HC = h
– Dựng điểm A là giao điểm của BH và (M, m)
A

H

m

B

M

h

A’

Bc 3. Chứng minh
BC = a
CH = h

(cách dựng)

A (M, m) AM = m
ABC là tam giác cần dựng

Bc 4.Biện luận
22

C

h BC a
2 m h

Bài toán có nghiệm khi

Bài toán có hai nghiệm do BH cắt (M, m) tại hai điểm là A và A’
7. Dng hỡnh bng cỏc dng c khỏc
Ngoài hai dụng cụ th-ớc và compa (ở đây là th-ơc thẳng, một lề không
chia khoảng) ta còn có các dụng cụ khác trong dựng hình nh-: eke, th-ớc đo
góc, th-ớc thẳng một lề chia khoảng, th-ớc thẳng hai lề chia khoảng và một số
dụng cụ vẽ kỹ thuật khác.
Với eke thì vuông góc xem nh- dựng đ-ợc.
Với th-ớc đo góc thì góc có số đo cho tr-ớc xem nh- dựng đ-ợc.
Với th-ớc thẳng một lề có chia khoảng thì đoạn thẳng có độ dài cho tr-ớc
xem nh- dựng đ-ợc.

Ví dụ: Dựng một tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông dài 4cm và
cạnh huyền dài 7cm. (Dựng eke, thc chia khong dng)

Giải:
– Dựng góc vuông đỉnh A (dùng eke).
– Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4cm (dùng th-ớc thẳng chia
khoảng).
– Dựng đ-ờng tròn tâm B bán kính 7cm (dùng th-ớc có chia khoảng và phép

dựng cơ bản 3).
– Dựng giao điểm C của đ-ờng tròn (B, 7cm) và cạnh góc vuông kia.
– Dựng đoạn thẳng BC (phép dựng cơ bản 2).
ABC là tam vuông cần dựng.

C

4cm
A

23

B

Nhận xét: Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nh-ng để giảm
đến mức thấp nhất những sai sót và có đ-ợc hình t-ơng đối hoàn thiện ta nên hạn
chế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng th-ớc thẳng và compa.
Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là phải
dựng hình bằng th-ớc thẳng và compa.
8. Điều kiện để giải đ-ợc bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa.
Không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể dựng đ-ợc bằng th-ớc và
compa (mặc dù có thể dựng bằng các dụng cụ khác).
Tr-ớc hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều quy về việc dựng một số
đoạn thẳng mà độ dài biểu thị bằng các đoạn thẳng đã cho. Định lý sau cho thấy
phạm vi giải đ-ợc của bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đoạn thẳng dựng đ-ợc bằng th-ớc và
compa là độ dài của nó biểu thị đ-ợc qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ một
số hữu hạn các phép tính : cộng, trừ, nhân, chia hoặc căn bậc hai (khi phép tính
đó có nghĩa).

(Để hiểu rõ cách chứng minh định lý này mời các bạn đọc thêm sách hình
học 3 – giáo trình đào tạo giáo viên THCS hệ cao đẳng s- phạm).
Ví dụ: Dựng tam giác ABC biết hai cạnh BC = a, AB = c và đng phân giác
của góc A là AD = d.
Ta đã biết sự liên hệ giữa phân giác d với ba cạnh của tam giác ABC.
bc(b2 + c2 – a2) = d2(b2 + c2 + 2bc) – 2b2c2

(1)

Đặt b = x, (1) trở thành phng trình bậc ba đối với x:
cx3 + (2c2 – d2)x2 + (c3 – a2c – 2cd2)x – d2c2 = 0 (2)
Để dựng đc tam giác ABC ta cần

A

dựng c cạnh b là nghiệm của
phngtrình (2), nhng (2) là một phng
c

trình bậc ba cho nên bài toán nói chung

b

d

không giải đc bằng thc và compa.
a
B

24

D

C

Không phải chỉ dùng thước thẳng v compa m vẽ được m i đa giác đều.
Hỏi vậy, khi n o thì một đa giác đều có thể vẽ được chỉ bằng thước v compa?
Năm 1976, nh toán h c Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác
đều có 17 cạnh bằng thước thẳng v compa, bằng cách xem trước các đỉnh của
đa giác tr n vòng tròn như l nghiệm của phương trình số phức zn – 1 = 0.
Năm năm sau ông đã khai triển được lý thuyết g i l “Chu kỳ Gauss”
(Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cố số
h c). Lý thuyết n y giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều có thể
vé được bằng thước v compa. Điều kiện đó như sau:
“Một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ đƣợc chỉ bằng thƣớc và compa khi
n bằng tích số của một lũy thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat
nguyên tố khác nhau.”
Nếu g i F1, F2,… l các số Fermat nguy n tố khác nhau, thì điều kiện đó có
thể viết như sau:
Đa giác đều n cạnh vẽ được khi
Gauss cũng cho l điều kiện đó cũng l điều kiện c n nhưng không chứng
minh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh được điều kiện của Gauss
cũng l điều kiện đủ. Do đó, kết quả tìm được bởi Gauss v chứng minh đ y đủ
bởi Wantzel được g i l :
Định lý Gauss – Wantzel:
“Điều kiện ắt có v đủ để một đa giác đều có n cạnh có thể vẽ được bằng
thước thẳng v compa l n bằng tích số của một lũy thừa của 2 với một số bất kỳ
các số Fermay nguy n tố khác nhau.”

với k là một số nguyên.

Số Fermat: là số có dạng

Cho đến hiện nay, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là:
F1 = 21 + 1 = 3,

F1 = 22 + 1 = 5,

F4 = 28 + 1 = 257,

F5= 216 + 1 = 65537

F3 = 24 + 1 = 17

Theo điều kiện của Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây có thể vẽ
đƣợc chỉ bằng thước thẳng v compa:
25

3.2.1. Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh vi phộp tnh tin : ……………….. 433.2.2. Dng hỡnh bng phng phỏp bin hỡnh dựng phộp i xng trc, ixng tõm : ………………………………………………………………………………………………. 453.2.3. Dựng hình bằng giải pháp biến hình dùng phép quay …………………… 463.2.4. Dựng hình bằng giải pháp biến hình dùng phép vị tự …………………… 494. C ¸ c ph – ¬ ng ph ¸ p kh ¸ c …………………………………………………………………………. 51K ẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ……………………………………………………………………….. 53C. KẾT LUẬN CHUNG. ………………………………………………………………………….. 54T ÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………………………………………. 55A. M UI. Lí do chọn đề tàibc trung học cơ sở, b i h c dựng hình u ti n đ-ợc đ-a vào lớp 7. đó kháiniệm về dựng hình ng-ời ta không đ-a ra một cách tổng quát mà trải qua mộtbài tập đơn cử. Tiếp đó bài học kinh nghiệm chính thức thứ hai về dựng hình là bài ” Bài toándựng hình 4 b-ớc ” đ-ợc đ-a vào ch-ơng I của sách ” Hình học 8 “. Và ở THCSng-ời ta không đ-a ra các ph-ơng pháp dựng hình mà chỉ th-ờng dựng hình trênnhững số liệu đơn cử nên nhiều khi dựng hình không có b-ớc biện luận. Vì đ-ợcđ-a vào ít nh – vậy nên giáo viên và học viên trung học cơ sở hầu hết không coi trọng vàdành nhiều thời hạn cho nó. Vì các emh c sinh hiểu dựng hình một cách máymóc và không vận dụng chúng một cách linh động. Dựng hình là một dạng bài tập khó so với học viên THCS. Thông th-ờngcác em h c sinh ch-a hiểu một cách khá đầy đủ về kỹ năng và kiến thức cơ bản, các suy luận đểgiải một bài toán dựng hình. Còn so với sinh viên sắp vào nghề cũng gặp khókhăn trong việc h-ớng dẫn, gợi ý giúp học viên tìm ra yếu tố tương quan để dựngđ-ợc hình thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán. Nhận thức rõ đ-ợc tầm quan trọng của việcgiảng dạy và học tập toán dựng hình ở cấp II nói chung, việc bồi d-ỡng học sinhgiỏi nói riêng nên khi đ-ợc chọn làm đề tài tốt nghiệp thì em đã chọn đề tài ” Mts ph-ơng pháp giải bài toán dựng hình “. Đây là một đề tài khó nh-ng emmạnh dạn đi sâu điều tra và nghiên cứu đề tài này mong rằng phần nào chỉ ra đ-ợc những-u điểm, sự thiết yếu của toán dựng hình cũng nh – những khó khăn vất vả, lúng túngkhi học toán dựng hình. Qua đó các em h c sinh biết cách giải toán dựng hìnhmột cách nhanh gọn, có ph-ơng pháp và yêu dấu, mê hồn học loại toán này. Ngoài ra khi làm đề tài này em cũng kỳ vọng tích góp đ-ợc cho mình thêm kiếnthức để sử dụng nó khi ra tr-ờng. Em thực thi đề tài này với cả sự cố gắng tìm tòi, đ-ợc sự trợ giúp nhiệt tình của thầy giáo Ths. Trần Mạnh Hùng và tìm hiểu thêm các tliệu có tương quan. Đồng thời có trình diễn thêm những quan điểm nhận xét riờng củamình. Vì kinh nghiệm tay nghề, năng lực và kỹ năng và kiến thức còn có hạn nên đề tài của emkhông tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, mong các thầy cô cùng các anhchị, các bạn điều tra và nghiên cứu góp phần quan điểm để em hoàn hảo, khắc phục khuyếtđiểm và lấy nó làm kinh nghiệm tay nghề cho việc dạy học sau khi ra tr-ờng. II. Ph-ơng pháp nghiên cứuĐể làm đề tài này em đã dùng ph-ơng pháp sau : – S-u tầm tài liệu và tinh lọc các tài liệu có tương quan đến đề tài. – Đọc và điều tra và nghiên cứu tài liệu, từ đó tổng hợp và khái quát nên rút ra nhữngkết luận khoa học đ-a vào trong đề tài. III. Nội dung chính của đề tàiĐề tài này mạng lưới hệ thống lại các kỹ năng và kiến thức cơ bản về dựng hình, ph-ơng phápgiải các bài tập dựng hình bằng ph-ơng pháp t-ơng giao, ph-ơng pháp đại số vàph-ơng pháp biến hình. sau mi bài tập em có đ-a ra những bài tập mở rộnggiúp sinh viên s – phạm khi đi thực tập và khởi đầu b-ớc vào nghề hoàn toàn có thể l-u ý hơntrong cách dạy, rèn luyện t – duy cho học viên. Đồng thời giúp cho học viên tránhđ-ợc những khó khăn vất vả sai lầm đáng tiếc trong quy trình làm bài tập dựng hình. – Đề tài gồm hai ch-ơng : Ch-ơng I : Các kiến thức và kỹ năng cơ bản về dựng hình. Ch-ơng II : Mt s phng phỏp gii b i toỏn dng hỡnh. – Kết quả nghiên cứu và điều tra : Kiến thức về dựng hình ở cấp trung học cơ sở không đ-ợc sách giáo khoa đi sâu vềlý thuyết và bài tập. Đây là dạng bài tập khó. Sách giáo khoa đã đứa ra một sốbài tập cơ bản, đơn thuần. B-ớc đầu cho các emc sinh làm quen với dựng hình. Các bài tập về dựng hình có tính năng tốt trong việc tăng trưởng năng lực phântích, suy luận, Dự kiến các năng lực xảy ra và rèhọc sinh. Vì vậy trong đề tài này, em xin trình diễn rõ ràng, chi tiết cụ thể các kiến thứccơ bản về dựng hình : 1. Thế nào là dựng một hình, thế nào là một hình đ-ợc dựng. 2. Các phép dựng hình cơ bản bằng th-ớc và compa ( 5 tiên đề về dựnghình ). 3. Giải bài toán dựng hình. 4. Các bài toán dựng hình cơ bản. 5. Các b-ớc giải và dạy bài toán dựng hình ( th-ờng gồm 4 b-ớc ). 6. Dựng hình bằng các dụng cụ khác ( eke, th-ớc đo độ ). 7. iu kin gii c b i toỏn dựng hình bằng th-ớc và compa. 8. Ph-ơng pháp t-ơng giao và 1 số ít ví dụ đơn cử vcó b i tp lan rộng ra. 9. Ph-ơng pháp đại số và một số ít ví dụ cụ thểv có b i tpmở rộng. 10. Ph-ơng pháp s dng phộp bin hình và một số ít ví dụ cụ thểvcú b i tpmở rộng. 11. Các ph-ơng pháp khácNhững ví dụ và bà tập mà em lựa chọn trình diễn, đều mang đặc thù chủquan, nó ch-a đặc tr-ng hết những gì mà em muốn nói. Em nghĩ rằng ng-ời đọccó thể tìm thêm những cách giải khác tốt hơn hay hơn. Dù vậy, với lòng mongmỏi đ-ợc tập d-ợt điều tra và nghiên cứu. Em mạnh dạn thực thi đề tài này. Do lần đầuthực hiện việc làm nghiên cứu và điều tra, chắc như đinh không hề tránh khỏi những nhận xétchủ quan. Kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý. Xin chân thành cảm ơn. B. NI DUNGCHNG 1. CC KIN THC C BN V DNG HèNH1. Thế nào là dựng hình : Cho b dng c dng hỡnh BDng hỡnh Hc trng bi cỏc phộp dng c bn ( ). tha món cỏc iu kin Tn o ú ó cho l lit k dóy huhn cỏc phộp dng c bn trong ( ) c n thc hin c hỡnh H.Chú ý : Ta cần phân biệt đ-ợc việc vẽ hình mà tất cả chúng ta th-ờng thực thi tr-ớcđây với dựng hình vừa mới nêu trên. – Vẽ hình là ta hoàn toàn có thể dùng bất kể một dụng cụ nào ( th-ớc kẻ, eke, compa, th-ớcđo góc ) để vẽ hình ấy lên giấy. – Dựng hình là ta phải nêu đ-ợc một dãy thứ tự các phép dựng hình cơ bản để tạora hình ấy chỉ với hai dụng cụ là th-ớc kẻ và compa2. Các phép dựng hình cơ bản ( bằng th-ớc và compa ) : Có 5 phép dựng hình cơ bản : – Dựng những hình đã cho tr-ớc. – Dựng đ-ờng thẳng đi qua hai điểm – Dựng đ-ờng tròn có tâm và nửa đường kính cho tr-ớc – Dựng giao điểm ( nếu có ) của hai hình đã biết. – Dựng điểm tùy ý trên mặt phẳng ( thuộc hay không thuộc hình đãdựng ) Mọi phép dựng khác đều phải quy về 5 phép dựng cơ bản trên. 3. Giải bài toán dựng hìnhLà ta đi tìm các nghiệm của bài toán. Nghiệm của bài toán dựng hình là hình dựng đ-ợc thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo củabài toán. Đi tìm nghiệm của bài toán nghĩa là tất cả chúng ta phải : – Xác lập một số ít hữu hạn tr-ờng hợp bao hàm tổng thể những năng lực cóthể xảy ra so với việc lựa chọn những cái đã cho. – Đối với mỗi tr-ờng hợp vấn đáp câu hỏi bài toán có nghiệm hay không vànếu có thì bao nhiêu nghiệm. – Đối với mỗi tr-ờng hợp mà bài toán có nghiệm, chỉ ra một số ít hữu hạncác phép dựng hình cơ bản cần triển khai theo một thứ tự nào đó để hoàn toàn có thể dựngđ-ợc nó bằng th-ớc và compa. Nếu những hình không nhu yếu về vị trí thì những hình đó bài toán yêucầu dựng coi nh – một nghiệm. Nếu có nhu yếu về vị trí thì những vị trí khácnhau cho ta những hình khác nhau. Để cho đơn thuần trong thực hành thực tế, trình diễn giải thuật ng-ời ta thêm các bàitoán dựng hình cơ bản ngoài những phép dựng hình cơ bản. 4. Mt s bài toán dựng hình cơ bản : Bài toán 1 : Dựng đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trc. Cách dựng : – Dựng đoạn thẳng AB – Dùng Compa dựng đng tròn tâm B, nửa đường kính AB – Qua AB ta dựng một đng thẳng d cắt đng tròn ( B, AB ) tại C.Vậy đoạn thẳng BC là đoạn thẳng cần dựng. Bài toán 2 : Dựng một góc bằng một góc cho trc. Cách dựng : Cho trc gúcv tiadng ng thng qua A hp vimtgúc bng, ta l m nh sau : – Ly trờn tiamt im B. – Dng ng trũn tõm O bỏn kớnh bng AB ct Ox v Oy ti D v C. – Dng ng trũn tõm A bỏn kớnh AB, v ng trũn tõm B bỏn kớnh CDhai ng trũn n y ct nhau ti E v F.Hai góc ̂ và ̂ = ̂. Bµi to ¸ n 3 : Dùng tam gi ¸ c biÕt ba c¹nh, hoÆc hai c¹nh vµ gãc xen gi ÷ a, hoÆc haigãc vµ mét c¹nh. 1 – Dựng  ABC, biết ba cạnh BC = a, AB = b, AC = c. – Vẽ đoạn thẳng BC = a. – Vẽ cung tròn tâm B, nửa đường kính bằng b. – Vẽ cung tròn tâm C, nửa đường kính bằng c. – Lấy một giao điểm của hai cung tr n, g i giao điểm đó l A. – Vẽ đoạn thẳng AB, AC. Ta có tam giác ABC l tam giác c n dựng. 2 – Dựng  ABC, biết AB = a, BC = b, ̂ – Dựng góc ̂ ( thước đo độ ). – Trên tia Bx lấy điểm A sao cho AB = a. – Trờn tia By ly im C sao cho BC = b. – Dng on thng AC, ta c ABC. 3 Dng ABC, bit BC = a, – V on thng BC = a. – Trờn cựng mt na mt phng b BC, dng cỏc tia BxvHai tia tr n ct nhau ti A. Ta c ABC. Bài toán 4 : Dựng trung trực của một đoạn thẳng. Dựng trung điểm của mộtđoạn thẳng. Cách dựng : – Dựng đoạn thẳng AB – Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn có nửa đường kính lớn hơnAB – Sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng nửa đường kính đó sao cho hai cungtròn này cắt nhau ti hai điểm M và N. – Dựng đoạn thẳng MN. Giao điểm của MN và AB chính là trung điểm của ABµi to ¸ n 5 : Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng vuông góc với một đƣờng thẳngcho trƣớc. Cách dựng : – Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A. – Lấy A l m tâm dựng một đường tròn cắt đường thẳng l tại hai điểm B, C. – Dựng đường trung trực của BC. Đây chính l đường thẳng đi qua A vvuông góc với l. Bài toán 6 : Qua một điểm, dựng đƣờng thẳng song song với một điểm đã cho. Cách dựng : – Cho trước một đoạn thẳng l v một điểm A. 10 – Dựng đường thẳng t đi qua A v vuông góc với l. – Dựng đường thẳng u đi qua A cuông góc với t. Đường thẳng u chính l đường thẳng đi qua A v song song với đườngthẳng l. Bài toán 7 : Dựng đƣờng phân giác của một góc. Cách dựng : Cho trước góc ̂. Lấy O l m tâm dựng một đường tròn cắt Ox, Oy tại A, B.Dựng đường trung trực của AB, đây chính l đường phân giác của góĉ. Bài toán 8 : Dựng tiếp tuyến đƣờng tròn đi qua một điểm cho trƣớc. Cách dựng : – Cho trước một đường tròn tâm O v một điểm A nằm ngo i đường tròn. 11 – Dựng trung điểm B của OA. – Lấy B l m tâm, dựng đường tròn nửa đường kính AB. Đường tròn n y cắt ( O ) tạihai điểm C v D. – Hai đường thẳng AC v AD chính l tiếp tuyến của trường tròn ( O ). Bài toán 9 : Dựng tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn cho trƣớc. Cách dựng : Dựng sẵn hai đường tròn ( O ) ; ( O ’ ). * Tiếp tuyến chung ngoài : – Dựng nửa đường kính OM bất kể. – Dựng đường thẳng đi qua O ’ v song song với OM cắt ( O ’ ) tại M ’. – A l giao điểm của MM ’ v OO ’. – Dựng đường tròn đường kính O’A cắt ( O ’ ) tại B v C.Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung ngo i của ( O ) ; ( O ’ ). M’O ‘ 12 * Tiếp tuyến chung trong : – Dựng nửa đường kính OM bất kỳ. – Dựng đường thẳng đi qua O ’ v song song với OM cắt ( O ’ ) tại M ’. – A l giao điểm của MM ’ v OO ’. – Dựng đường tròn đường kính OA cắt ( O ) tại B v C. – Hai tia AB v AC chính l hai tiếp tuyến chung trong của ( O ) ; ( O ’ ). O’M ‘ Bài toán 10 : Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trƣớc. Ví dụ : Dựng đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b ( tức là x 2  ab ) Cách dựng : Dựng đoạn thẳng AC = a v BC = b. Trong đó A, B, C thẳng h ng. – Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB lO. – Dựng đường tròn ( O, OB ). 13 – Dựng đường thẳng qua C v vuông góc với AB. Đường thẳng n y cắt ( O, OB ) tại E.Cách 1 – Dựng đường thẳng CE.Suy ra CE l đoạn thẳng c n dựng.  Chứng minh : Vì C  ( O, OB ) : OA  OB  OE  ABMặt khác, vì  AEB có đường trungtuyến OE ứng với cạnh huyền AB vbằngAB nên tam giác  AEB vuôngtại E.Do đó theo hệ thức về đường cao vCách 2 hình chiếu của hai cạnh góc vuông tr n cạnh huyền : Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền l trungbình nhân của hai đoạn thẳng m nó định ra tr n cạnh huyền. Bài toán 11 : Dựng cung chứa góccó hai điểm mút A và B. – Dựng đoạn thẳng AB. – Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB. – Dựng tia Ax tạo với AB một góc . – Dựng đường thẳng Ay vuông góc với Ax. – G i O là giao điểm của Ay với d. – Vẽ cung tròn AmB, tâm O, nửa đường kính OA sao cho cung n y nằm ở nửamặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. – Cung AmB được dựng như tr n l một cung chứa gócA và B. 14 có hai điểm mút5. C ¸ c b-íc gi ¶ i mét bµi to ¸ n dùng h × nhDạng toán : “ Dựng hình H có đặc thù  ”. Phương pháp giải toán : Để giải b i toán dựng hình ta triển khai 4 bước. B-íc 1 : Ph © n tÝchXét xem yếu tố n o dựng được ngay. Đoạn thẳng ( khi biết độ d i ). Góc ( khi biết số đo góc ). Tam giác ( khi đủ b i toán yếu tố c. g. c, g. c. g, c. c. c ). Đường tròn ( khi biết tâm v nửa đường kính ). Xét xem yếu tố n o c n dựng. 15P h n phõn tớch chớnh l ph n lý gii ti sao cú cỏch dng bc 2. Ph nphõn tớch bt u bng cỏch gi s hỡnh H ó dng c. T ú suy ra mundng c hỡnh H phi dng c hỡnh H, ri trc khi dng c H li phidng c H, c nh th ta i git lựi cú th tỡm ra hỡnh phi dng uti n. Nu ph n phõn tớch ca ta l ỳng thỡ cỏch dng chng qua l quỏ trỡnhngc li ca ph n phõn tớch. Chú ý : Phân tích là b-ớc quan trọng nhất vì nó cho ta biết phải dựng nhthế nào để đ-ợc hình theo nhu yếu của đề bài. B-ớc 2 : Cách dựng – Trỡnh b y cỏch dng theo th t cỏc bc phõn tớch. – Minh ho bng hỡnh v ( cú nột thc v compa lu li trờn hỡnh ). Chú ý : – Các b-ớc dựng phải là các phép dựng cơ bản hay các bài toán dựng hìnhcơ bản. – Mỗi b-ớc dựng nếu cần hoàn toàn có thể viết thêm điều kiện kèm theo hoàn toàn có thể dựng đ-ợc cácphép dựng ấy. – Các b-ớc dựng phải theo một thứ tự xác lập, tránh lộn xộn. – Số các b-ớc dựng phải hữu hạn. B-ớc 3 : Chứng minhSau khi dng c hỡnh H, ta c n chng minh rng hỡnh H cú tớnh cht, tho món iu kin v hỡnh dng v kớch thc theo y u c u b i toỏn. Để thực thi b-ớc này ta dựa vào các b-ớc dựng và các định lý đã học màchứng minh. Điều kiện dễ chứng tỏ tr-ớc, điều kiện kèm theo khó chứng tỏ sau. Chú ý : Cần chứng tỏ hình dựng đ-ợc thỏa mãn nhu cầu đề bài cả về định l-ợngcũng nh – định tính. B-ớc 4 : Biện luậnLà b-ớc xem khi nào bài toán có nghiệm và nếu có thì có bao nhiêunghiệm. Hay là để xét xem những yếu tố nào đã cho phải thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo nàođể hoàn toàn có thể dựng đ-ợc hình phải tìm, nếu dựng đ-ợc thì có bao nhiêu nghiệm hình. 16 – Biện luận theo cách dựng là ở mỗi b-ớc dựng đó xét xem phải thỏa mãnđiều kiện gì thì b-ớc dựng này thực thi đ-ợc và nếu dựng đ-ợc thì có bao nhiêunghiệm. Chú ý :: – Phân chia các tr-ờng hợp tránh lộn xộn dẫn đến sót hoặc trùng lặp cáctr-ờng hợp. – Nếu hình phải dựng không vận dụng đ-ợc cách dựng tổng quát trong phầndựng hình thì phải trình diễn cách dựng t-ơng ứng cho từng tr-ờng hợp đơn cử này. – Số nghiệm bài toán dựng hình ta quy – ớc nh – sau : Nếu bài toán không pháp luật vị trí của hình phải tìm so với mỗi hình đãcho t-ơng ứng thì những hình bằng nhau ( chỉ khác nhau về vị trí ) thỏa mãn nhu cầu điềukiện đầu bài đã đ-ợc xem là một nghiệm. Biện luận là một b-ớc góp thêm phần rèn luyện t – duy rất đầy đủ cho học viên ( biện luận đủ ), t – duy khái quát cho học viên. Chỳ ý : Nu cỏc bc dng hỡnh ó rừ r ng thỡ khụng c n l m bc phõn tớch. Lời giải không thiếu của bài toán dựng hình gồm có 4 b-ớc trên, cốt yếu làb-ớc dựng, quan trọng là b-ơc nghiên cứu và phân tích, nh-ng trong khi dạy, ng-ời dạy nên sửdụng linh động các b-ớc giải của một bài toán dựng hình. Tùy theo từng bài tậpcụ thể, ng-ời dạy hoàn toàn có thể h-ớng dẫn học viên rút gọn bớt hoặc thêm 1 số ít b-ớckhác nh – giả thiết, Tóm lại để gúp học viên nắm rõ đề bài cần dựng cái gì và cáIgì đã cho để dựng đ-ợc hình. Tóm lại, khi làm một bài toán dựng hình tất cả chúng ta không đ-ợc bỏ một b-ớcnào trong 4 b-ớc trên. Nếu bỏ b-ớc nghiên cứu và phân tích hoặc nghiên cứu và phân tích không rõ ràng tổngquát hoàn toàn có thể dẫn đến sót nghiệm. Nếu bỏ b-ớc chứng tỏ hoàn toàn có thể dẫn đến thừanghiệm vì không phải tổng thể tác dụng của các b-ớc dựng đều là hình phải tìm. 6. p dụngBài toán 1 : Dựng ABC biết cạnh BC = a, đ-ờng cao AH = h, trung tuyến AM = m17Bài giải : Bc 1. Phân tíchGiả sử ta dựng đ-ợc ABC thỏa mãn nhu cầu : Cạnh BC = a, đ-ờng cao AH = h, trung tuyến AM = m. Ta phải xác địnhđỉnh A thỏa mãn nhu cầu 2 điều kiện kèm theo : – A cách BC một khoảng chừng bằng h, suy ra A đ-ờng thẳng p / / BC và cáchBC một khoảng chừng h. – A cách điểm M là trung điểm của BC một khoảng chừng m. Bc 2. Cách dựng – DựngBC bằng a. – Dựng đ-ờng thẳng p / / BC và cách BC một khoảng chừng bằng h. – Dựng đ-ờng tròn tâm M nửa đường kính m cắt p tại A.ABC là tam giác cần dựng. Bc 3. Chứng minhABC có BC = aĐ-ờng cao AH = hTrung tuyến AM = mABC là tam giác cần dựng. Bc 4. Biện luận – m > h bài toán có 4 nghiệm ( 4 điểm A ) – m = h bài toán có 2 nghiệm ( 2 điểm A ) 18 – m < h bài toán vô nghiệm ( không có điểm A ) Bài toán 2 : Cho đ-ờng thẳng m song song với đ-ờng thẳng n và điểm A không thuộc 2 đ - ờng thẳng đó. Dựng điểm Bm, C n sao cho ABC là tam giác đều. Bài giải : Bc 1. Phân tíchGiả sử đã dựng đ-ợc điểm B m, điểm C n để ABC đều. Dựng hình chiếu vuông góc của A trờn m là EDựng tam giác đều AEF. Xét AEB và AFC ta có : AE = AF ( ABF đều ) AB = AC ( ABC đều ) AEB = AFC ( c. g. c ) ( vì AE BE ) Bc 2. Cách dựngTừ A hạ AE m tại E - Dựng đều AEF - Từ F dựng đ-ờng vuông góc với AF cắt n tại C - Nối A với C, dựng đ-ờng tròn tâm A bán kính AC cắt m tại B. - Nối A với B, B với C ta đ-ợc ABC cần dựng19Bc 3. Chứng minhXét vuông AEB và vuông AFC có : AB = ACvuông ABF = vuông ACF ( c. g. c ) AE = AFMàVàABC có AB = AC vàABC đềuBc 4. Biện luậnBài toán có 2 nghiệm vì ta hoàn toàn có thể dựng đ-ợc 2 đềuBài toán 3 : Dựng ABC biết BC = a ; AB + AC = d ; Bài giải : Bc 1. Phân tíchGiả sử ta đã dựng đ-ợc ABC thỏa mãn nhu cầu các điều kiện kèm theo của đầu bài. Kéodài BA và trên đ-ờng lê dài lấy điểm D sao cho AD = AC.Suy ra : BD = AB + AD = AB + AC = d20DAC cân A = BD đ-ờng trung trực của CDBc 2. Cách dựng - Dựng đoạn BC = a - Dựng tia Bx sao cho = - Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d - Nối D với C - Dựng điểm A là giao của BD và đ-ờng trung trực của CD - Nối A với C ta đ-ợc ABC cần dựngBc 3. Chứng minhBC = aA đ-ờng trung trực của DC AD = ACA, D Bx ; BD = dBD = AB + AD = AB + AC = dABC là cần dựngBc 4. Biện luận - d < a bài toán vô nghiệm - d > a Bài toán có một nghiệm21Bài toán 4 : Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đ-ờng cao CH = hBài giảiBc 1. Phân tíchGiả sử đã dựng đ-ợc ABC thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo của đầu bàiA đ-ờng tròn tâm M nửa đường kính m. H đ-ờng tròn đ-ờng kính BCCH = h ; B, H, A thẳng hàngBc 2. Cách dựng – Dựng BC = a, trung điểm M của BC – Dựng đ-ờng tròn ( M, m ) – Dựng đ-ờng tròn đ-ờng kính BC – Dựng điểm H đ-ờng tròn đ-ờng kính BC sao cho HC = h – Dựng điểm A là giao điểm của Bảo hành và ( M, m ) A’Bc 3. Chứng minhBC = aCH = h ( cách dựng ) A ( M, m ) AM = mABC là tam giác cần dựngBc 4. Biện luận22h BC a2 m hBài toán có nghiệm khiBài toán có hai nghiệm do bh cắt ( M, m ) tại hai điểm là A và A ‘ 7. Dng hỡnh bng cỏc dng c khỏcNgoài hai dụng cụ th-ớc và compa ( ở đây là th-ơc thẳng, một lề khôngchia khoảng chừng ) ta còn có các dụng cụ khác trong dựng hình nh – : eke, th-ớc đogóc, th-ớc thẳng một lề chia khoảng chừng, th-ớc thẳng hai lề chia khoảng chừng và một sốdụng cụ vẽ kỹ thuật khác. Với eke thì vuông góc xem nh – dựng đ-ợc. Với th-ớc đo góc thì góc có số đo cho tr-ớc xem nh – dựng đ-ợc. Với th-ớc thẳng một lề có chia khoảng chừng thì đoạn thẳng có độ dài cho tr-ớcxem nh – dựng đ-ợc. Ví dụ : Dựng một tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông dài 4 cm vàcạnh huyền dài 7 cm. ( Dựng eke, thc chia khong dng ) Giải : – Dựng góc vuông đỉnh A ( dùng eke ). – Trên một cạnh góc vuông dựng AB = 4 cm ( dùng th-ớc thẳng chiakhoảng ). – Dựng đ-ờng tròn tâm B nửa đường kính 7 cm ( dùng th-ớc có chia khoảng chừng và phépdựng cơ bản 3 ). – Dựng giao điểm C của đ-ờng tròn ( B, 7 cm ) và cạnh góc vuông kia. – Dựng đoạn thẳng BC ( phép dựng cơ bản 2 ). ABC là tam vuông cần dựng. 4 cm23Nhận xét : Tuy có nhiều dụng cụ dựng hình trong hình học nh-ng để giảmđến mức thấp nhất những sai sót và có đ-ợc hình t-ơng đối triển khai xong ta nên hạnchế việc sử dụng nhiều công cụ dựng hình, chỉ nên dùng th-ớc thẳng và compa. Sau này khi nói đến dựng hình mà không nói đến dụng cụ thì ta hiểu là phảidựng hình bằng th-ớc thẳng và compa. 8. Điều kiện để giải đ-ợc bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa. Không phải mọi bài toán dựng hình đều hoàn toàn có thể dựng đ-ợc bằng th-ớc vàcompa ( mặc dầu hoàn toàn có thể dựng bằng các dụng cụ khác ). Tr-ớc hết ta thấy rằng một bài toán dựng hình đều quy về việc dựng một sốđoạn thẳng mà độ dài bộc lộ bằng các đoạn thẳng đã cho. Định lý sau cho thấyphạm vi giải đ-ợc của bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa. Định lý : Điều kiện cần và đủ để một đoạn thẳng dựng đ-ợc bằng th-ớc vàcompa là độ dài của nó biểu lộ đ-ợc qua các độ dài đoạn thẳng đã cho nhờ mộtsố hữu hạn các phép tính : cộng, trừ, nhân, chia hoặc căn bậc hai ( khi phép tínhđó có nghĩa ). ( Để hiểu rõ cách chứng minh định lý này mời các bạn đọc thêm sách hìnhhọc 3 – giáo trình đào tạo và giảng dạy giáo viên THCS hệ cao đẳng s – phạm ). Ví dụ : Dựng tam giác ABC biết hai cạnh BC = a, AB = c và đng phân giáccủa góc A là AD = d. Ta đã biết sự liên hệ giữa phân giác d với ba cạnh của tam giác ABC.bc ( b2 + c2 – a2 ) = d2 ( b2 + c2 + 2 bc ) – 2 b2c2 ( 1 ) Đặt b = x, ( 1 ) trở thành phng trình bậc ba so với x : cx3 + ( 2 c2 – d2 ) x2 + ( c3 – a2c – 2 cd2 ) x – d2c2 = 0 ( 2 ) Để dựng đc tam giác ABC ta cầndựng c cạnh b là nghiệm củaphngtrình ( 2 ), nhng ( 2 ) là một phngtrình bậc ba vì vậy bài toán nói chungkhông giải đc bằng thc và compa. 24K hông phải chỉ dùng thước thẳng v compa m vẽ được m i đa giác đều. Hỏi vậy, khi n o thì một đa giác đều hoàn toàn có thể vẽ được chỉ bằng thước v compa ? Năm 1976, nh toán h c Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giácđều có 17 cạnh bằng thước thẳng v compa, bằng cách xem trước các đỉnh củađa giác tr n vòng tròn như l nghiệm của phương trình số phức zn – 1 = 0. Năm năm sau ông đã khai triển được triết lý g i l “ Chu kỳ Gauss ” ( Gaussian periods ) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae ( Khảo cố sốh c ). Lý thuyết n y giúp ông tìm được điều kiện kèm theo đủ để một đa giác đều có thểvé được bằng thước v compa. Điều kiện đó như sau : “ Một đa giác đều có n cạnh hoàn toàn có thể vẽ đƣợc chỉ bằng thƣớc và compa khin bằng tích số của một lũy thừa của 2 với một số ít bất kể các số Fermatnguyên tố khác nhau. ” Nếu g i F1, F2, … l các số Fermat nguy n tố khác nhau, thì điều kiện kèm theo đó cóthể viết như sau : Đa giác đều n cạnh vẽ được khiGauss cũng cho l điều kiện kèm theo đó cũng l điều kiện kèm theo c n nhưng không chứngminh. Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng tỏ được điều kiện kèm theo của Gausscũng l điều kiện kèm theo đủ. Do đó, hiệu quả tìm được bởi Gauss v chứng tỏ đ y đủbởi Wantzel được g i l : Định lý Gauss – Wantzel : “ Điều kiện ắt có v đủ để một đa giác đều có n cạnh hoàn toàn có thể vẽ được bằngthước thẳng v compa l n bằng tích số của một lũy thừa của 2 với 1 số ít bất kỳcác số Fermay nguy n tố khác nhau. ” với k là một số nguyên. Số Fermat : là số có dạngCho đến lúc bấy giờ, người ta chỉ biết có 5 số Fermat nguyên tố là : F1 = 21 + 1 = 3, F1 = 22 + 1 = 5, F4 = 28 + 1 = 257, F5 = 216 + 1 = 65537F3 = 24 + 1 = 17T heo điều kiện kèm theo của Gauss, thì các đa giác đều có n cạnh sau đây hoàn toàn có thể vẽđƣợc chỉ bằng thước thẳng v compa : 25

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập