HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx 570MS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1016.96 KB, 57 trang )

I. HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx 570MS
1. Mầu phím:
• Phím Trắng: Bấm trực tiếp.
• Phím Xanh: Bấm trực tiếp
• Phím vàng: Bấm qua phím Shift
• Chữa mầu đỏ: Bấm qua phím ALPHA
2. Bật, tắt máy
• ON: Mở máy.
• Shift + OFF: Tắt máy.
• AC: Xoá mang hình, thực hiện phép tính mới.
3. Phím chức năng:
• CLS: Xoá.
• DEL: Xoá số vừa đánh.
• INS: Chèn.
• RCL: Gọi số ghi trong ô nhớ.
• STO: Gán vào ô nhớ.
• DRG: Chuyển Độ – Radial – Grad
• RND: Làm tròn.
• ENG: Chuyển dạng a.10^n với n giảm.
• ENG: Chuyển dạng a.10^n với n tăng.
• A, B, C, D, E, F, X, Y, M: Các ô nhớ.
• M+: Cộng thêm vào ô nhớ M.
• M-: Trừ bớt ô nhớ M.
• EXP: Luỹ thừa 10.
• O,,,: Nhập đọc Độ, Phút, Giây.
• O,,,: Đọc Độ, Phút, Giây.
• SHIFT + CLR: Xoá nhớ
o Chọn 1: Mcl: Xoá các biến nhớ.
o Chọn 2: Mode: Xoá kiểu, trạng thái, loại hình tính toán
o Chọn 3: ALL: Xoá tất cả
4. Hàm, tính toán, và chuyển đổi:

• SIN, COS, TAN: Sin, Cosin, tan
• Sin-1, COS-1, TAN-1: Hàm ngược Sin, Cosin, Tan.
• ex, 10x: Hàm mũ cơ số e, cơ số 10.
• x2, x3: Bình phương, lập phương.
• x-1: Hàm nghịch đảo.
• x!: Giai thừa.
• %: Phần trăm.
• ab/c: Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, số phập phân và ngược lại
• d/c: Đổi hỗn số ra phân số.
• RAN#: Hiện số ngẫu nhiên
• DEC, HEX, BIN, OCT: Cơ số 10,16, 2, 8.
• COSNT: Gọi hằng số.
1

• CONV: Chuyển đổi đơn vị.
• SOLVE: Giải phương trình.
• CALC: Tính toán
,3, x
•
: Căn bậc 2, bậc 3, bậc x.
• ANS: Gọi kết quả.
• Arg: Argumen
• Abs: Giá trị tuyệt đối.
• (-): Dấu âm.
• +, -, *, /, ^: Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ.
•
<-, ->, á, â: Di chuyển dữ liệu.
•. : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân
•, : Ngăn cách các giá trị trong hàm.

• ( : Mở ngoặc đơn.
• ) : Đóng ngoặc đơn.
• п : Số PI.
5. Sử dụng MODE:
• MODE 1:
o Chọn 1: COMP: Chữ D hiển thị ở góc trên bên phải, là trạng thái tính toán cơ
bản.
o Chọn 2: CMPLX: Trạng thái tính toán được cả với số phức
• MODE 2:
o Chọn 1: SD: Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến.
o Chọn 2: REG: Thống kê 2 biến
 Chọn 1: LIN: Tuyến tính
 Chọn 2: LOG:Logarit
 Chọn 3: Exp:Mũ
Chọn ->
 Chọn 1: Pwr: Luỹ thừa
 Chọn 2: Inv: Nghịch đảo
 Chọn 3: Quad: Bậc 2
o Chọn 3: BASE: Chọn và làm việc với các hệ đếm
• MODE 3:
o Chọn 1: EQN: Giải phương trình, hệ phương trình.
 Chọn 1:UNKNOWNS: Hệ phương trình.
• Chọn 2: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
• Chọn 3: Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn
 Chọn 2: DEGREE: Phương trình bậc 2, bậc 3.
• Chọn 2: Phương trình bậc 2.
• Chọn 3: Phương trình bậc 3.
o Chọn 2: MAT: Ma trận.
o Chọn 3: VCT: Véc tơ.
• MODE 4:

o Chọn 1: Deg: Chuyển chế độ là Độ.
o Chọn 2: Rag: Chuyển chế độ Radial.
o Chọn 3: Gra: Chuyển chế độ Graph
2

MODE 5:
o Chn 1: Fix:n nh s thp phõn (0-9).
o Chn 2: Sci: n nh s cú ngha (0-9) ca s a ghi di dng ax10n.
o Chn 3: Norm: Chn 1 hoc 2 ghi kt qu tớnh toỏn dng khoa hc a x
10n.

MODE 6:
o Chn 1: DISP: Chn kiu hin th
Chn 1: EngON: Hin s dng k thut.
Chon 2: EngOFF: Khụng hin s dng k thut.
o Chn ->
Chn 1: ab/c: Kt qu dng hn s.
Chn 2: d/c: Kt qu dng phõn s.
o Chn ->
Chn 1: DOT: Du chm ngn cỏch phn thp phõn.
Chn 2: COMMA: Du phy ngn cỏch phn thp phõn.

II. CC DNG TON
I S
1. Tớnh toỏn thụng thngcú s dng bin nh v gii phng trỡnh bc nht:
Lp 6,7
Ví dụ:1. Tính giá trị của biẻu thức:
4
5

5
2 2
(1 3,6) 4 : ( + 1 ) 2
1 (1 + 2)
7
8
a) M = 5
b) N = 3 3
8 2
2
(60000 56 )
3 1
9
3
3
2
3 4 6 7
9
1
+ 21 ữ : 3 ữ. + 1 ữ
3
4 5 7 8 11
c) A =
2 8
8 11 12
5
+ 3 ữ. + 4 ữ: ữ
5 13
9 12 15
6

HD: a)

Kết quả: M =
b)
=

N=

c)
A 2.526141499
Lp 8, 9
Ví dụ:2 Tính giá trị của A Với x = 3,545 và y = 1,479, bit
A= (

x 2 + xy
1
2 xy
):(
3
)
3
2
2
3
2
x y x x y + xy 2 y 3
x + x y + xy + y

A 2,431752178

HD: Ta gán 3,545 X và 1,479 Y sau đó tính giá trị của A
Ví dụ:3 Tớnh giỏ tr ca biu thc ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõn
3

N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975

Kết quả: N = 567,87

HD: Chú ý ta phải sử dụng dấu ngoặc sau mỗi dấu căn (cho các biểu thức trong căn)
VÝ dô:4 Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030′, β = 57o30’

M= ( 1+tgα2 ) 1+cotg
β2 )+ 1-sin
(
( α2 ) 1-cos
( β2 ) . 1-sin
( 2α ) 1-cos
( β2

)

HD: Để máy ở chế độ tính Deg (độ, phút, giây)

Kết quả M =
2. Sử lý số lớn:
Lớp 6, 7
Sử dụng phương pháp chia nhỏ và kết hợp giữa máy và cộng trên giấy.
VÝ dô:1: Tính chính xác A = 7684352 x 4325319

HD:
(768.104+ 4352)(432.104+5319)
= 331776.108+4084992.104+1880064.104+23148288
= 33237273708288
VÝ dô:2: Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau :
P = 13032006 x 13032007
Q = 3333355555 x 3333377777
Kết quả:

P = 169833193416042
Q = 11111333329876501235
VÝ dô:3: Tính 321

HD : 321 = 310+11 =310 .311 = 59049. 311= (59.103 + 49).311 = 59. .311 103 + 49.311
= 10451673000 + 8680203 = 10460353203
Lớp 8, 9
VÝ dô:4: Tính chính xác B = 3752142 + 2158433
HD:
=(375.103+214)2+(251.103+843)3
=140625.106+160500.103+45796+9938375.109
+16903025.106+ 45836605.103+599077107
=10055877778236903
3. Cách kiểm tra xem số a có là số nguyên tố hay không ?
|a| |shift| |sto| |A| {gán a vào biến A trong máy}
|1| |shift| |sto| |B|
Nhập vào máy B=B+2 : A/B
CALC = = = ….
nếu là số nguyên thì B là 1 ước của A
Kiểm tra cho đến khi kết quả hạ xuống dưới căn A thì ngưng
{chú ý: với cách này xem A có chia hết cho 2 không?}

VÝ dô: H·y kiÓm tra sè F =11237 cã ph¶i lµ sè nguyªn tè kh«ng.
Nªu qui tr×nh bÊm phÝm ®Ó biÕt sè F lµ sè nguyªn tå hay kh«ng.
HD:
F lµ sè lÎ, nªn íc sè cña nã kh«ng thÓ lµ sè ch½n. F lµ sè nguyªn tè nÕu nã kh«ng cã
íc sè nµo nhá h¬n F = 106.0047169 .
4

gán 1 shift, STO D, thực hiện các thao tác:
ALPHA, D, ALPHA =, ALPHA, D + 2, ALPHA :, 11237 ữALPHA D, bấm = liên tiếp
(máy 570ES thì bấm CALC sau đó mới bấm =). Nếu từ 3 cho đến 105 phép chia không
chẵn, thì kết luận F là số nguyên tố.
4. Phõn tớch mt s ra tha s nguyờn t
Phõn tớch s a ra tha s nguyờn t, ta s dng du hiu chia ht kt hp vi mỏy
tớnh. Ta ly s a chia ln lt cho cỏc s nguyờn t p vi p < a
Ví dụ:1: Phõn tớch s 20226600 ra tha s nguyờn t
Ta s dng du hiu chia ht kt hp vi mỏy tớnh l
Kt qu: 23.32.52.11237
Ví dụ:2: Phõn tớch s 186089 ra tha s nguyờn t.
Kt qu: 7.113.133.
5. Tỡm s d:
Lp 6, 7
* Dng 1: Thụng thng.
Mod (a, b) = a b.[a, b]
Ví dụ:1. Tỡm s d ca 567891 v 54321

S: 24681
Ví dụ:2. Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 l th 7. Theo cỏch tớnh dng lch t in
trờn mng wikipedia mt nm cú 365,2425 ngy .
Vy da vo cỏch tớnh trờn thỡ n ngy 7 thỏng 7 nm 7777 s l th my ? (ta ch

tớnh theo lớ thuyt cũn thc t cú th cú iu chnh khỏc ).
P S : Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 l th 2
Li gii :
Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 – Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 = 5770 nm
5770 ì 365,2425 = 2107449,225 ngy
2107449,225 ữ 7 = 301064,175 tun
0,175 ì 7 = 1,225 ngy
So vi ngy 7 thỏng 7 nm 7777 tớnh tng lờn 2 ngy
Suy ra : Th 2 ngy 7 thỏng 7 nm 7777
Ví dụ:3. Biết rằng ngày 01/01/1992 là ngày Thứ T trong tuần. Cho biết ngày
01/01/2055 là ngày thứ mấy trong tuần ? (Cho biết năm 2000 là năm nhuận).
Khoảng cách giữa hai năm: 2055 1992 = 63, trong 63 năm đó có 16 năm nhuận (366 ngày)
Khoảng cách ngày giữa hai năm là:
16 ì 366 + (63 16) ì 365 = 23011 ngày
23011 chia 7 d đợc 2.
Vy ngày 01/01/2055 là ngày thứ Sỏu
* Dng 2: S ch s ln hn 10 ch s: Ta dựng phng phỏp chia tr
– Ct ra thnh nhúm u 9 ch s (k t bờn trỏi) tỡm s d ca s ny vi s b
chia.
– Vit liờn tip sau s d cỏc s cũn li ca s chia ti a 9 ch s, ri tỡm s d
ln 2.
– Tip tc nh vy n ht.
Ví dụ: 1. Tỡm s d: 506507508506507508 : 2006
HD:
Thực hiện Tìm số d : 5065075086 : 2006 d : 1313
Thực hiện Tìm số d : 1313065075 : 2006 d : 1667
Thực hiện Tìm số d : 166708 : 2006
d : 210
5

⇒ §©y còng lµ sè d cña bµi

VÝ dô: 2. Tìm số dư 103200610320061032006 : 2010
ĐS: 396
* Dạng 3: Tìm số dư của một luỹ thừa bậc cao cho một sô.
VÝ dô: 1. Tìm số dư 200915 cho 109
HD: Xét số mũ ta thấy 15 = 4.3+3
20093 ≡ 55 (mode 109)
20093.4 ≡ 554 ≡ 75(mode 109)
200915 =20094.3+3 =20094.3. 20093 ≡ 55.75 ≡ 92(mode 109)
Hay 200915 chia cho 109 dư 92.
VÝ dô:2. Tìm số dư 92009 cho 33.
Ta có: 91 ≡ 9 (mod 33)
96 ≡ 9 (mod 33)
92 ≡ 15 (mod 33)
97 ≡ 15 (mod 33)
93 ≡ 3 (mod 33)
98 ≡ 3 (mod 33)
94 ≡ 27 (mod 33)
99 ≡ 27 (mod 33)
95 ≡ 12 (mod 33)
910 ≡ 12 (mod 33)
9 5k ≡ 12 (mod 33)
 5k +1
≡ 9 (mod 33)
9
 5k + 2
⇒ 9
≡ 15 (mod 33)

9 5k +3 ≡ 3 (mod 33)

9 5k + 4 ≡ 27 (mod 33)

2009
Vậy: 9 =95.401+4 ≡ 27 (mod 33). Hay 92009 chia cho 33 dư 27.

VÝ dô:3. Tìm số dư 92009 cho 12.
a ≡ m(mod p ) a.b ≡ m.n(mod p )
⇒ α
b ≡ n(mod p )
a ≡ mα (mod p )
Ta có: 91 ≡ 9 (mod 12); 92 ≡ 9 (mod 12);
93 ≡ 9 (mod 12)
⇒ 99 ≡ 9 (mod 12) ⇒ 910 ≡ 9 (mod 12)

Áp dụng 

( Dùng máy để kiểm tra)
⇒ 9100=(910)10 ≡ 910 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
⇒ 91000=(9100)10 ≡ 9100 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
⇒ 92000=(91000)2 ≡ 92 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
Vậy: 92009=92000.99 ≡ 92 (mod 12) ≡ 9 (mod 12)
Hay 92009 chia cho 12 dư 9.
VÝ dô: 4. Tìm số dư 2004376 cho 1975
HD: Xét số mũ ta thấy 376 = 6. 62 +4
2 ≡
2004 841 (mode 1975)
20044 ≡ 4812 ≡ 231(mode 1975)
200412 ≡ 2313 ≡ 416(mode 1975)

200448 ≡ 4164 ≡ 536(mode 1975)
200460 ≡ 536 x 416 ≡ 1776(mode 1975) 200462 ≡ 1776 x 841 ≡ 516(mode 1975)
200462 x3 ≡ 5163 ≡ 1171(mode 1975)
200462 x 6 ≡ 11712 ≡ 591(mode 1975)
200462 x 6 + 4 ≡ 591 x 231 ≡ 246(mode 1975)
Lớp 8,9
6. Tìm số chữ số cuối.
*Dạng 1. Tìm chữ số tận cùng của một tích
VÝ dô: Tìm 4 chữ số tận cùng của tích
123456787989.87554879903
HD: 123456787989.87554879903 = (12345678.104 +7989)( 875548. 104 +9903)
Do đó 4 chữ số tân cùng của tích trên cũng là 4 chữ số tận cùng của tích
6

7989. 9903 = 79115067
ĐS: 5067
*Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa
Để tìm n chữ số cuối của số A, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 10 n.
Để tìm số dư khi A chia cho 10n, thực chất là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 2n và 5n.
VÝ dô:1. Tìm 4 chữ số tận cùng của 321
HD : 321 = 310+11 =310 .311 = 59049. 311= (5.104 + 9049).311
Do đó 4 chữ số tân cùng phải tìm là 4 chữ số tận cùng của tích 9049.311
ĐS: 3203
VÝ dô: 2. Cho A = 22004.
a. Tìm 2 số tận cùng của A.
b. Tìm 3 số tận cùng của A.
HD:
a. Tìm 2 số tận cùng của A, thực chất là tìm số dư của A khi chia cho 100.
Ta có 100 = 4.25

Trước hết ta tìm số dư của A khi chia cho 25.
210=1024 ≡ -1 (mod 25)
Do đó A = 24.(210)100 ≡ 16 (mod 25)
Hay A có thể viết dưới dạng: A = 25k + 16
Mặt khác: A chia hết cho 4 nên k chia hết cho 4 hay k =4m
Từ đó A = 25k + 16 = 25.4m + 16 = 100m + 16 ≡ 16 (mod 100)
Vậy 2 số tận cùng của A là 16.
b. Tương tự ta tìm số dư của A khi chia cho 1000 = 8. 125
250=(210)5=(1024)5 ≡ -1 (mod 125)
A=16.(250)4 ≡ 16 (mod 125) do đó A = 125 k + 16
Mặt khác A chia hết cho 8 nên k = 8m
Vậy A = 1000m + 16 hay 3 số cuối của A là 016.
VÝ dô:3. Tìm chữ số cuối của 72005.
HD:
71= 7
72= 49
73 = 343
74= 2401
75 = 16807
76 = 117649
77=823543
78=5764801
79 = 40353607
Ta thấy các số cuối lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ là 4.
Mặt khác: 2005 = 4. 501 + 1
Nên 72005 có số cuối là 7.
VÝ dô:4.
2. Tìm chữ số hàng chục của số 232005
HD: Ta có
231 ≡ 23 (mode 100)

232 ≡ 29 (mode 100)
233 ≡ 67 (mode 100)
234 ≡ 41 (mode 100)
2320 = (234)5 ≡ 415 ≡ 1 (mode 100)
232000 ≡ 1100 ≡ 1 (mode 100)
232005 ≡ 231.234.232000 ≡ 23.41.1 ≡ 43 (mode 100)
Vậy số hàng chục là 4.
VÝ dô:5. Tìm 2 chữ số cuối của: A= 2 2000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 +
22007
HD: A = 22000(1+2+4+8+16+32+64+128)
= (220)100 x 255
20
mµ 2 = (210)2 =10242 = 1048576
7

Ta nhận thấy bất kỳ một số có đuôi là 76 thì lũy thừa luôn luôn có đuôi là 76 (dùng
máy để kiểm tra)
Do đó: A = 255 x (76) = .. 80. Vậy 2 số cuối của A có giá tr l 80
Ví dụ:6. Tớnh
2
P = 7 + 77 + 777 + … + 77
……
77 293972367
17 sụ ‘7

S : 526837050
Li gii chi tit :
Lp quy trỡnh n phớm nh sau :
Gỏn 1 cho A n 1 SHIFT STO A

Gỏn 7 cho B n 7 SHIFT STO B
Gỏn 7 cho C n 7 SHIFT STO C
Ghi vo mn hỡnh : A = A +1:B = 10B + 7 : C = C + B
n = cho n khi mn hỡnh hin A = 17 v n = hai ln
C = 8,641975309 ì1016
n tip ALPHA C – 293972367 2 = Kt qu : 526800000
P = 526800000 ,ta tỡm thờm 5 s cui v nghi ng rng s 8 cú th ó c lm trũn .
( Lu ý thớ sinh nờn cn thn : vỡ mỏy fx -570MS cú tớnh toỏn bờn trong n 12 ch s vi
s cú m 2, m 3, cũn m ln hn 3 hoc s nguyờn thỡ tớnh toỏn bờn trong l 10 ch
s, chc chn cỏc bn nờn tớnh thờm trờn mỏy ES cú tớnh toỏn bờn trong cao hn ).
Tớnh tip tc : Vỡ cn tỡm 5 s cui ca tng P nờn ta ch ly tng n 5 ch s 7 trong
77……77
cỏc s t 77777 n
17 sụ ‘7

Vy ta cú : C = 7 + 77 + 777 + 7777 + 77777 ì13 .Kt qu : 1019739
V tớnh 72367 2 = 5236982689 (sỏu s cui ca s 293972367 2 )
Nm s cui ca P l :
P = 1019739 – 82689 = 37050
Ta thy kt qu P = 526837050 ( chc chn s 8 ó khụng b lm trũn vỡ sau s 8 l s 3
nờn s 8 khụng th lm trũn
* Mo nh:
+) tỡm 1 ch s tn cựng ca an.
– Nu ch s tn cựng ca a l 0, 1, 5, 6 thỡ an ln lt cú s tn cựng l 0, 1, 5, v 6
– Nu a cú s tn cựng l 2, 3, 7 thỡ:
24k 6 (mod 10)
34k 1 (mod 10)
74k 1 (mod 10).
Do ú tỡm 1 s tn cựng ca a n vi a tn cựng l 2, 3, 7 ta ly n chia cho 4, c
n=4k+r.

Nu a 2 (mod 10) thỡ a2 2n (mod 10) 2(4k+r) (mod 10) 6.2r (mod 10)
Nu a 3 (mod 10) thỡ an a(4k+r) (mod 10) ar (mod 10)
VD: S tn cựng ca tớch 23156.45632. 2345987
HD: S tn cựng ca tớch 23156.45632. 2345987 l s tn cựng ca tớch 1.6.5 l 0
+) tỡm 2 ch s tm cựng ca an.
Ta cú:
220 76 (mod 100)
320 01 (mod 100)
65 76 (mod 100)
8

74 ≡ 01(mod 100)
Mà 76n ≡ 76 (mod 100) với n>=1.
Và 5n ≡ 25 (mod 100) với n>=2
Từ đó:
– a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a đồng dư 0 (mod 10)
– a20k ≡ 01 (mod 100) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)
– a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
– a20k ≡ 76 (mod 100) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
+) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của an.
– a100k ≡ 000 (mod 1000) nếu a đồng dư 0 (mod 10)
– a100k ≡ 001 (mod 1000) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 (mod 10)
– a100k ≡ 625 (mod 1000) nếu a đồng dư 5 (mod 10)
– a100k ≡ 376 (mod 1000) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 (mod 10)
VD: Tìm 3 số cuối
≡ 001 (mod 1000)
1) 13100
200
≡ 001 (mod 1000)

2) 167
100 ≡
3) (17 x 19)
001 (mod 1000)
100 ≡
4) 18
376 (mod 1000)
200 ≡
5) 15
625 (mod 1000)
300 ≡
6) 20
000 (mod 1000)
* * Khi kn ≤ 2 thì Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a, b, …,
k, n thì:

m ab…kn ≡ m kn (mod1000)
Khi m chứa thừa số 2 thì:

m ab…kn ≡ 376m kn (mod 1000)
Khi m chứa thừa số 5 thì:

m ab…kn ≡ 625m kn (mod 1000)
VD:

1) 72311 ≡ 711 ≡ 743 (mod 1000)
2) 22001 ≡ 376. 201 ≡ 752 (mod 1000)
3) 23100 ≡ 376.200 ≡ 376 (mod 1000)
4) 15402 ≡ 625.152 ≡ 625 (mod 1000)
* Khi kn > 2 thì m ab…kn ≡ m kn (mod1000) đúng với mọi số nguyên m

VD: 1) 22003 ≡ 23 ≡ 008 (mod 1000)
2) 31004 ≡ 34 ≡ 081 (mod 1000)
3) 51003 ≡ 53 ≡ 125 (mod 1000)
4) 65011 ≡ 611 ≡ 056 (mod 1000)
5) 211306 ≡ 2106 ≡ 121 (mod 1000)
6) 271209 ≡ 279 ≡ 987 (mod 1000)
7. Tìm số các chữ số:
* Dạng an: Phương pháp: Số các chữ số cảu ax là [x.lga]+1.
VÝ dô: 1.Tìm số chữ số của 222425.
HD: [22425.lg2] + 1= [22425.0,30103] +1 = [6750,597] + 1 = 6751.
VÝ dô: 2. Tìm số chữ số của 46526.
9

ĐS: 70.
VÝ dô: 3. Tìm số chữ số của 123!
[Lg123!]+1= [lg(1.2.3….123)]+1 = [lg1+lg2+….+lg123] + 1=…
Gán 1 cho A ấn 1 SHIFT STO A
Ghi vào màn hình : A = A +1: B = logA : C = C + B
Ấn = cho đến khi màn hình hiện A = 123 và ấn = hai lần
Lấy phần nguyên công với 1
KQ: 206
246
BT: Dùng bao nhiêu chữ số để viết số: 453, 209237
ĐS: 657, 550
8. Tìm USCLN và BSCNN
* Tìm USCLN:
– Dạng 1: Số không quá lớn
a = m.x
a x

a b
⇒ = ⇒m= =
b y
x y
b = m. y

USCLN(a, b) = m ⇒ 

VÝ dô:1 .Tìm USCLN (3456; 234)
HD: Bấm 3456/234 (a/b)=192/13)(x/y)
Vây: USCLN (3456; 234) = 3456/192 = 18.
– Dạng 2: Số quá lớn:
USCLN(a – b, b) voi a > b
USCLN(a, b – a) voi a < b C1. USCLN(a, b)=  Cứ tiếp tục đến khi a = b đó là m
USCLN(Mod(a, b), b) voi a > b
USCLN(a, Mod(b, a)) voi a < b C2. USCLN(a, b)=  Cú tiếp tục đến khi số dư bằng không thì b = m.
* Tìm BSCNN
a.b

BSCNN(a, b) = USCLN(a, b)
VÝ dô:1. Cho a= 1408884 vµ b = 7401274. T×m USCLN(a;b), BSCNN(a, b)
7401274 = 5 x 1408884 + 356854

1408884 = 3 x 356854 + 338322
356854 = 1 x 338322 + 18532
338322 = 18 x 18532 + 4746
18532 = 3 x 4746 + 4294
4294 = 1 x 4294 + 452
4294 = 9 x 452 + 226
452 = 226 x 2 + 0
Vậy USCLN(a;b) = 226
a.b

1048884×7401274

BSCNN(a, b) = USCLN (a; b) =
226
= 6234 x 7401274
= 6234 x(7401×103 + 274)
= 46137834 x 103 + 1708116
= 46139542116.
VÝ dô:2. Cho ba sè: A = 1193984; B = 157993 vµ C = 38743.
T×m íc sè chung lín nhÊt cña ba sè A, B, C.
T×m béi sè chung nhá nhÊt cña ba sè A, B, C víi kÕt qu¶ ®óng chÝnh x¸c.
a) ¦CLN (A, B, C) .
b) BCNN (A, B, C ) .
Giải
D = ¦CLN(A, B) = 583
10

¦CLN(A, B, C) = ¦CLN(D, C) = 53
E = BCNN ( A, B ) =

A× B
= 323569664
UCLN ( A, B )

BCNN(A, B, C) = BCNN(E, C) = 236.529.424.384
9. Dãy số:
9.1 Dẫy số Fibonaci:
u1 = 1; u 2 = 1
; (n > 2)

u n+ 2 = u n + u n+1

A= u1; B = u2 Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả
9.2 Dẫy số Lucus:
u1 = a; u 2 = b
; (n > 2)

u n+ 2 = u n + u n+1

Cách làm: A= u1; B = u2 Nhập: C=A+B:A=C+B:B=A+C
Ấn dấu bằng liên tiếp để có kết quả
VD: u1=3; u2=5; un+1=un+un-1. Tính u46. ĐS 7778742049
9.3 Dẫy số Fibonaci suy rộng
u1 = a; u 2 = b
; (n > 2)
u n+ 2 = Au n + Bu n+1

Dạng 1: 

VD: u1=2; u2=3; un+1=2un+3un-1. Tính u19.
HD: A= 2; B = 3
Nhập: C=2A+3B:A=2B+3C:B=2C+3A
Ấn dấu bằng liên tiếp 17 lần để có kết quả
ĐS: 8501763049
u1 = a; u 2 = b

Dạng 2: 

2
2
u n+ 2 = u n + u n−1

; (n > 2)

9.4 Dẫy số Fibonaci bậc 3:

u1 = a; u 2 = b; u3 = c
; (n > 3)

u n+3 = Au n + Bu n +1 + Cu n+ 2
u1 = 1; u 2 = 2; u3 = 3
; (n > 3). Tính u15
u n+3 = 3u n + 4u n +1 − 5u n+2

VD: 
HD:

A=1; B=2;C=3;

Nhập: D=3A+4B-5C:A=3B+4C-5D:B=3C+4D-5A:C=3D+4A-5B
Ấn dấu bằng liên tiếp 19 lần để có kết quả.
-6245363930;
9.5 Quy về các dãy số trên:

VÝ dô:1. Cho d·y sè U n =

(4 + 3 ) n − (4 − 3 ) n
4 3

1) TÝnh U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5.
U1= 0,5
U2 = 4
U3 = 25,5
U4 = 152
U5 = 884,5
2) LËp c«ng thøc tÝnh Un+2 theo Un vµ Un+1:
11

; (n = 0,1,2,….)

n
n
Đặt: a n = (4 + 3 ) ; bn = (4 3 ) U n = a n + bn

U n +1

4 3
4 3

= (4 + 3 )a n (4 3 )bn

U n + 2 = (4 + 3 ) 2 a n ( 4 3 ) 2 bn = (19 + 8 3 )a n (19 8 3 )bn
= 8[(4 + 3 )a n (4 3 )bn ] 13(a n bn )
= 8U n +1 13U n

Ví dụ:2. Cho dãy số U n =

(5 + 3 ) n (5 3 ) n
2 3

; (n = 0,1,2,….)

a) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un+1 và Un.
b) Tính U5 và U12
HD: a)
U n = a n bn

U n +1 = (5 + 3 )a n (5 3 )bn
U n + 2 = (5 + 3 ) 2 a n (5 3 ) 2 bn = (28 + 10 3 ) a n (28 10 3 )bn
= ((50 + 10 3 ) a n (50 10 3 )bn ) 22(a n bn ) = 10U n +1 22U n

b)

ấn: 10 Shift Sto A X 10 22 X 1 Shift Sto B
Lặp lại:
X 10 – 22 ALPHA A Shift Sto A
X 10 – 22 ALPHA B Shift Sto B

10. Phng trỡnh bc I

Ví dụ:1. Tìm giá trị của x, y viết dới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phơng trình
sau:
5+

a)

c)

3+

2x
4
5+

=
6

7+

8
9

x
1+

y

2
3+

4
5+

b) 1 +

5
8+

7
9

4

2 ữ
4
2
+
x 1 +

ữ
4
1

1+ ữ
2+

7
5

1+

8

HD: a)

Vậy ta có :

5+

+

1

2+ 1
ữ
1
3+
ữ
4
ữ
ữ
ữ
ữ

2x x
5 AB
= x=
A B
2B A

=4+

4+

1
6

y
3+

=2

1
5+

1
7

2
1+

Kết quả a) x =
12

+

1

8
9

4752095
95630
= 45
103477
103477

70847109 1389159
=
64004388 1254988
2+ 3
1 6
3 7 15 11
)x (
)( x
)=
Ví dụ:2. Gii phng trỡnh (
3 5
3+ 2
4 3
2 3 5

b) y =

7130
3139
=1
3991
3991

c) x =

( thi chn HSG TP HCM nm 2004)
S: x = 1, 4492.

1
1
1

=
+ x 4 +
3
2
Ví dụ:3. 2 +
1+ 1
3+

5
3

1
4+
5+
1+

7
4

2
6+
7+
8
9
15
5
3+
5685
Ví dụ:4. Gii phng trỡnh a + 2 =
1342
6
7+
5

S: x =

301
16714

S: a=9

Ví dụ:5.Tìm giá trị gần đúng của x và y (chính xác đến 9 chữ số thập phân):
28

1)

=

3

2x +

4

5+

7+

12
5x

3+

7+

5
9

4

2)

4
6+

5
8

S:

x 13,86687956
Ví dụ:6.Tỡm x bit :

8

3
3
8

8

8

8

5
7
7+
9

2+

2y
4
2
6+
3

=

1+

y 0,91335986

3
8

3+

+

8

3
3

8

3
3

381978
382007

3
3

8 1 1x

HD:
381978 ữ 382007 = 0.999924085
n liờn tip x 1 ì 3 – 8 v n 9 ln phớm = .
1

Ta cú 1 + x = Ans ti p tc n x 1 – 1
KQ : x = – 1.11963298
11. Phng trỡnh bc II.
Ví dụ:1. gii phơng trình:
1,23785 x2 + 4,35816 x 6,98753 = 0
HD: Chn ch gii phng trỡnh

=

nhp s 2
13

3y
2
3+

3
3+

3
5

Nhập 1,23785 ,=, 4,35816, =, – 6,98753 = =
KQ:
VÝ dô:2. Giải pt: sin(

2Π
+ 3) x 2 − 7 2 + 7 3 x −
7

2− 3 =0

Kết quả : x1 =387,0481917 ; x2 =- 0,019675319
VÝ dô:3 Giải pt: sin

Π 2
x − 25 9 2, 73 x − 2,54 = 0
5

12. Phương trình bậc III.
VD: 385 x3+261×2-157x-105=0
HD: HD: Chọn chế độ giải phương trình
nhập số 3
Nhập 385 ,=, 261, =, – 157, = – 105, = ,=,=
ĐS: -5/7; -3/5; 7/11

13. Phương trình vô tỉ.
VÝ dô:1. 1) Giải phương trình: a + b 1 − x = 1 + a − b 1 − x theo a, b
(trích đề thi KV THCS 2004)
HD: Đặt 1 − x = t ;Bình phương hai vế ta có
a + bt = (1 + a − bt ) 2 ⇒ 2bt − 1 = 2 a − bt ⇒ (2bt − 1) 2 = 4( a − bt ) ⇒ t 2 =

4a + 1
4b 2

4b 2 − 4a + 1
Suy ra x=
4b 2

2) Tính với a = 250204; b=260204
ĐS: 0,999996304
VÝ dô:2. Giải phương trình: 130307 + 140307 1 + x = 1 + 130307 − 140307 1 + x
(trích đề thi KV THCS 2007)
ĐS: -0,99999338
14. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE
14.1 Phương trình bậc nhất:

VÝ dô: T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó:

3+

15
5
x+

2

7+

=

5685
.
1342

c

5 ))) ALPHA = 5685

6
5

Cách làm: Nhập
15 : ( 3 + 5 : (ALPHA A+ 2 : ( 7 +6

ab

tục ấn SHIFT, CALC, SHIFT, CALC

ab

c

1342,Tiếp

Kết quả:

14.2. Phương trình bậc cao.
VÝ dô:1. Tìm 1 nghiệm pt: x9-2×7+x4+5×3+x-12=0
HD: Nhập công thức: Shifs Solve; X? nhập 1, = ; Shift Solve
ĐS: 1,26857 (45,85566667)
VÝ dô:2. Tìm 1 nghiệm pt: x60+x20-x12+8×9+4x-15=0
ĐS: Dò với x = 1: 1,011458; Dò với x = 10: -1.05918
VÝ dô:3. Giải phương trình:
x + 178408256 − 26614 x + 1332007 + x + 178381643 − 26612 x + 1332007 = 1

14

(trích đề thi KV THCS 2007)
ĐS: x1=175744242; x2=175717629
VÝ dơ:4. Tìm nghiệm thực của phương trình :
1
1
1
1
4448
+
+
+
=
x x + 1 x + 2 x + 3 6435
HD: Ghi vào màn hình :
1
1
1
1

4448
+
+
+
=
x x + 1 x + 2 x + 3 6435
n SHIFT SOLVE
Máy hỏi X ? ấn 3 =
n SHIFT SOLVE. Kết quả : x = 4,5
Làm tương tự như trên và thay đổi giá trò đầu
( ví dụ -1, -1.5, -2.5 ) ta được ba nghiệm còn lại .
ĐS : 4,5 ; – 0,4566 ; – 1,5761 ; – 2,6804
( Nếu chọn giá trò đầu không thích hợp thì không tìm đủ 4 nghiệm trên )
15. Giải phương trình bằng phương pháp lặp
a) x + 1 =

3
⇒x=
x −1

3
x +1

+1

Nhập 2 = nhập tiếp 3: ( (Ans + 1)) + 1 =,=,=…. ĐS: x ≈ 2,584543981
16. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.
2 x + 3 y = 8
7 x − y = 5

VÝ dơ:1. Giải hệ 

HD.Chọn chế độ giải hệ phương trình
chon số 2
VÝ dơ:2. Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b Đi qua điểm A ( 1;5) và B ( -6; -3)
HD: Ta có 5 = a + b và -3 = -6a + b
Giải hệ phương trình này ta được a = 1 và b = 3
17. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn.
Giải hệ phương trình
2 x + 3 y + 4 z = 20

− x + 3 y − z = 2
9 x − y − 3 z = −2


HD: Chọn chế độ giải hệ phương trình
Nhập 2,=,3,=,4,=20,=,-1,=,3,=-1,=2,=9,-1,-3,-2,=,=,=
18. Hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn.
Giải hệ phương trình

chon số 3
ĐS: x=1, y= 2, z = 3

2 x + 3 y + 4 z + t = 24
− x + 3 y − z + 2t = 10


9 x − y − 3 z − 3t = −14
2 x − 3 y − 4 z + t = −12

HD: Chọn chế độ giải hệ phương trình
15

chon số 4

Nhập 2,=,3,=,4,=,1,=,24,=,-1,=,3,=-1,=2,=10,=,9,=,-1,=,-3,=,-3,=,14,=,2,=,-3,=
-4,=,1,=,-12=,=,=,=
ĐS: x=1, y= 2, z = 3, t=4
19. Bài toán về đa thức:
Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+ a0.
* Dạng 1: Tìm hệ số an, an-1, … khi biết các cặp (xi ; yi)
VÝ dô:1. Cho P(x) = x3 +ax2+bx+c. Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá trị là
15, -12 và 7 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,-2, 3.
HD: Ta có P(1) = 1 + a + b + c
= 15  a + b + c = 14
P(2) = – 8 + 4a -2b + c = -12  4a – 2b + c = – 4
P(3) = 27 + 9a + 3b + c = 7  9a + 3b + c = – 20
Giải hệ phương trình 3 ẩn ta được kết quả
ĐS: a = -23/5, b = 7/5, c = 86/5
VÝ dô:2. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +d x + e. Tìm a, b, c khi P(x) nhận các giá
trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,2, 3, 3, 4, 5.
HD: Ta có Q(x) = x2 + 10 nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá
trị tương ứng là 1, 2, 3, 3, 4, 5
Nên P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
Hay P(x) = x2 +10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
Từ đó suy ra a,b,c
VÝ dô:3. Cho P(x) = x4 + ax3+bx2+cx+d và P(1) = 4; P(-2) = 7; P(3) = 24; P(-4) =
29. Tính P(40)
HD: Ta có thể viết P(x) = (x-1)(x+2)(x-3)(x+4) + U(x-1)(x+2)(x-3) +

V(x-1)(x+2) + S(x-1) + T.
Thay giá trị trên vào ta được: T=4; S=-1; V=2,2; U=1/35
Nên P(40) = 2671964,2
* Dạng 2: Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Phương pháp: Tính P(-b/a). KQ là số dư.
VD: Tìm số dư khi chia đa thức x2 + 10 +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) cho (10x-3)
ĐS: -45,78407
* Dạng 3: Tìm dư của P(x)
Tìm dư của

 P ( x1 ) = Ax1 + B
P( x)
là Ax + B với 
trong đó x1và x2 là nghiệm
ax + bx + c
 P ( x2 ) = Ax 2 + B
2

của ax2 + b x + c = 0
VÝ dô:1. Tìm số dư

x3 + x 2 + x + 1
x 2 + 5x − 6

Ta có nghiệm của mẫu số là -6 và 1 nên
P(-6) = -185= A(-6) +B
P(1) = 4 = A(1) + B
Giải hệ phương trình với ẩn là A và B Suy ra: A = 27, B= – 23.
Số dư là 27x – 23
VÝ dô:2. Cho P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007. Tìm a, b, c để P(x) chia cho ( x-13 ) dư 1,

cho ( x -3 ) dư 2 và (x-14) dư 3 chính xác đến 2 chữ số thập phân.
HD: Giải hệ phương trình được a = 3,69; b=-110,62; c=968,20.
* Dạng khác: Tính tổng các hệ số của đa thức. Tổng các hệ số của đa thức P(x) chính là
tính P(1)
Ta có P(x) = anxn+ …. + a0. Khi đó P(1) = an+ ….+a0 chính là tổng các hệ số.
16

Ví dụ:1.Tớnh tng cỏc h s ca (x2+x+1)19
Ta cú P(1) =319 = 1162261467
Ví dụ:2. Tớnh tng cỏc h s ca (3×2+2x+1)15 =
(trớch thi HSG lp 9 TPHCM 2005)
S: E=470184984576
20.bi toỏn lói xut.
Ví dụ:1 .a) Mt ngi gi vo ngõn hng mt s tin l
mt thỏng. Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói ra. Hi sau

a
n

ng vi lói sut l

m%

thỏng ngi y nhn c

bao nhiờu tin c gc ln lói.
b) p dng bng s:

a = 10.000.000

,

m = 0,8, n = 12 .

c) Mt ngi hng thỏng gi vo ngõn hng mt s tin l

a

ng vi lói sut l

mt thỏng. Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói ra. Hi cui thỏng th

m%

n

ngi y nhn

An .

Sau 1 năm tổng

c bao nhiờu tin c gc ln lói.
d) Cho:

a = 1.000.000, m = 0,8, n = 12 .

Hi s tin lói l bao nhiờu?

HD: a) Ký hiệu lãi suất m% là x, số tiền cả gốc lẫn lãi sau năm thứ
số tiền cả gốc lẫn lãi là:
A1 = a + a.m% = a(1 + m%) = a (1 + x) .

n

là

Sau 2 năm tổng số tiền là: A2 = a(1 + x) + a (1 + x) x = a(1 + x) 2 .
Làm tơng tự, sau 3 năm ta có:

A3 = a (1 + x )2 + a (1 + x )2 x = a (1 + x )3 .

Sau 4 năm ta có: A4 = a (1 + x ) 4. Sau 5 năm ta có:
Sau

n

A5 = a (1 + x)5 .

năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là:

An = An1 (1 + x) = a(1 + x) n1 (1 + x ) = a (1 + x) n

b) áp dụng bằng số với

hay An = a(1 + x) n = a(1 + m%)n .

a = 10.000.000 ; m = 0,8 ; n = 12 :
A12 = 10.000.000 ì (1 + 0.008)12 .

ấn phím: 10000000 ì

[(

1 + 0.008 )]

c) Giả sử ngời ấy bắt đầu gửi

a

SHIFT x y

12 = (11003386.93).

đồng vào ngân hàng từ đầu tháng giêng với lãi suất là

x.

Cuối tháng giêng số tiền trong sổ tiết kiệm của ngời ấy sẽ là: a(1 + x). Vì hàng tháng ngời
ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm a đồng nên số tiền gốc của đầu tháng 2 sẽ là:
a (1 + x) + a = a[(1 + x) + 1] =

Số tiền cuối tháng 2 là:

a
a
[(1 + x) 2 1] = [(1 + x) 2 1]
(1 + x) 1
x

đồng.

a
a
[(1 + x) 2 1](1 + x) = [(1 + x)3 (1 + x)] .
x
x

Vì đầu tháng ngời ấy tiếp tục gửi vào

a

đồng nên số tiền gốc của đầu tháng 3 là:

a
a
a
[(1 + x)3 (1 + x)] + a = [(1 + x)3 (1 + x) + x] = [(1 + x)3 1] .
x
x
x

Số tiền trong sổ cuối tháng 3 là:

a
a
[(1 + x)3 1](1 + x) = [(1 + x) 4 (1 + x)] .
x
x

17

Vì hàng tháng ngời ấy tiếp tục gửi vào tiết kiệm
4 sẽ là:

a

đồng nên số tiền gốc của đầu tháng

a
a
[(1 + x) 4 (1 + x)] + a = [(1 + x) 4 1] .
x
x

Tơng tự, số tiền trong sổ tiết kiệm cuối tháng

n 1

là:

a
a
[(1 + x)n 1 1](1 + x) = [(1 + x) n (1 + x)] .
x
x

Số tiền của đầu tháng thứ

n

a
a
[(1 + x) n (1 + x)] + a = [(1 + x) n 1] .
x
x

là:

Số tiền cả gốc lẫn lãi vào thời điểm cuối tháng thứ
d) áp dụng bằng số:

a = 1.000.000 ; m = 0,8 ; n = 12 .

Số tiền lãi sau 1 năm bằng:

ì

1 + 0.008 Min

[(

1000000 ữ

Đáp số: a)

MR =

là:

a
[(1 + x) n 1](1 + x) .
x

A12 =

ấn phím:

n

1.000.000 ì [(1 + 0.008)12 1] ì (1 + 0.008)
0.008

.

A12 12 ì 1000000 .
)] SHIFT x y

12 1 =

ì [(

1+

MR )]

(12642675.41) 12 ì 1000000 =

a (1 + m%) n ;

b) 11003387 đ; c)

a
[(1 + x) n 1](1 + x) ,
x

trong đó

x = m% ;

d) 642. Ví

dụ:2. Theo di chỳc, bn ngi con c hng s tin 9902490255 chia theo t l
gia ngi con th I v ngi con th II l 2:3; t l gia ngi th II v ngi th
III l 4:5; t l gia ngi th III v ngi th IV l 6:7. S tin mi ngi con c
nhn l bao nhiờu
HD: Gọi số tiền mỗi ngời con nhận đợc là

b=

Mặt khác:
Vậy
Tính

3a
5b 5 3a 15a
7c 7 15a 35a
;c =

= ì
=
;d =
= ì
=
2
4 4 2
8
6 6 8
16

.

a + b + c + d = 9902490255 .

a + b + c + d = (1 +
a

.

a 2 b 4 c 6
= ; = ; = .
b 3 c 5 d 7

Theo bài ra ta có:
Suy ra:

a, b, c, d

3 15 35

+ + ) ì a = 9902490255 .
2 8 16

trên máy:

9902490255 ữ

[(

1 + 3 ab / c 2 + 15 ab / c 8 + 35 ab / c 16 = (150895089)

Tính tiếp b :

ì

3 ab / c 2 = (2263426344)

Tính tiếp c :

ì

5 ab / c 4 = (2829282930)

Tính tiếp d :

ì

7 ab / c 6 = (3300830085)

Đáp số: Số tiền của mỗi ngời là: I: 1508950896 đ;

II: 2263426344 đ; III: 2829282930 đ;
IV: 3300830085 đ.
18

Ví dụ:3.a)Bạn An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất
0,58%/tháng (không kỳ hạn). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì đợc cả vốn lẫn lãi
bằng hoặc vợt quá 1300000 đồng ?
b)Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3
tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì bạn An sẽ nhận đợc số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ?
Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng
trớc để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ đợc cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạn
tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu cha đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng d so với kỳ hạn sẽ
đợc tính theo lãi suất không kỳ hạn
HD:
a)
n = 46 (tháng)
b) 46 tháng = 15 quý + 1 tháng
1361659,061
Số tiền nhận đợc sau 46 tháng gửi có kỳ hạn:
đồng
1000000(1+0.0068ì3)15ì1,0058 =
21. Dng khỏc
a. S thp phõn tun hon
Ví dụ:1.
1) 0,123123123
= 123/999
2) 4,353535.
= 4 + 35/99
3) 2,45736736..

= 2+ 45/100+736/99900
Ví dụ:2.Tỡm ch s l thp phõn th 105 ca 17/13
HD: 17/13 = 1,307692307.
Ta thy chu k l 6, m 105 3 (mod 6)
Nờn ch s l th 105 l 7
Ví dụ:3. Tỡm s n N nh nht cú 3 ch s bit n121 cú 5 ch s u l 3.
HD:
Ta khụng th dựng mỏy tớnh c n121 vi n cú 3 ch s,
nhng ta bit 123121; 12,3121; 1,23121 cú cỏc ch s ging nhau.
Do ú 1,00121=1; 1,01121=3,333333
KQ: n =101
BT: 1) Tỡm ch s l thp phõn th 456456 ca 13/23
( thi HSG 9 TP HCM 2003)
S: 9.
2) Tỡm ch s l thp phõn th 122005 ca 10000/17
( thi HSG 9 TP HCM 2005)
S: 8.
b) Dng tỡm n an l s t nhiờn.
Ví dụ:1.Tỡm s t nhiờn n (1000HD:
Vỡ (1000303,51441 57121+ 35.1000 57121+ 35n 57121+ 35.2000 356,54032
Nờn 303 Vỡ an2 = 57121+35n nờn an2 -1=35(1632+n) phi chia ht cho 35 = 5.7
Chng t (an-1) hoc (an+1) phi chia ht cho 7 hay an=7k+1 hoc an=7k-1
– Nu an=7k+1 thỡ 304<7k+1<356 hay 44Vỡ an2 -1 chia ht cho 5 nờn k = 44; 45; 49; 50. t ú ta c a n= 309; 316; 344; 351
v n = 1096; 1221; 1749; 1888.
– Nu an=7k-1 thỡ 304<7k-1<356 hay 4319 Vì an2 -1 chia hết cho 5 nên k = 45; 46; 50; 51. từ đó ta được a n= 314; 321; 349; 356
và n = 1185; 1312; 1848; 1889.
Bài tập
1. Tìm số tự nhiên n (10002. Tìm số tự nhiên n (1000VÝ dơ:2. Để đắp một con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh ,
nơng dân, cơng nhân và bộ đội .
Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là
như nhau ) : Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ ; nhóm cơng nhân mỗi người làm việc
4 giờ ; Nhóm nơng dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5
giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhau cho từng người trong một nhóm
theo cách : Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng ; Nhóm cơng nhân mỗi người nhận
30.000 đồng ; Nhóm nơng dân mỗi người nhận 70.000 đồng ; Nhóm học sinh mỗi em nhận
2.000 đồng .
Cho biết : Tổng số người của bốn nhóm là 100 người .
Tổng thời gian làm việc của bốn nhóm là 488 giờ
Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng .
Tìm xem số người trong từng nhóm là bao nhiêu người .
HD: Gọi x, y, z, t lần lượt là số người trong nhóm học sinh, nơng dân, cơng nhân và bộ
đội. Điều kiện : x, y, z, t ∈ Ζ +, 0 < x, y, z, t < 100
Ta có hệ phương trình :
 x + y + z + t = 100
11 y + 7 z + 13t = 876

⇒
0,5 x + 6 y + 4 z + 7t = 488
17 y + 7 z + 12t = 1290
2 x + 70 y + 30 z + 50t = 5360


⇒ t = 6 y − 414 do 0 < t < 100 ⇒ 69 < y < 86 Từ 11 y + 7 z + 13t = 876 ⇒ z = 876 − 11 y − 13t
7

Dùng X ; Y trên máy và dùng A thay cho z, B thay cho t trong máy để dò :
n 69 SHIFT STO Y
Ghi vào màn hình :
Y = Y + 1 : B = 6Y – 414 : A = ( 876 – 11Y – 13B ) ÷ 7 : X=100 – Y – B – A

n =. .. = để thử các giá trò của Y từ 70 đến 85 để kiểm tra các số B, A, X là số
nguyên dương và nhỏ hơn 100 là đáp số .
Ta được : Y = 70 ; B = 6 ; A = 4 ; X = 6

ĐS : Nhóm bộ đội
: 6 người ; Nhóm cơng nhân : 4 người
Nhóm nơng dân : 70 người ; Nhóm học sinh : 20 người

IV. HÌNH HỌC

A

A. Một số cơng thức hay sử dụng:
a) Định lý Pitago a2 = b2 + c2
b) Định lý Ceva: AM, BN, CP đồng quy
B

MB NC PA
.
.
= −1
NC NA PB

c) Định lý Mencleit: M, N, P thẳng hàng

N

P

C

M
A

20

P

N
B
C

M

MB NC PA
.

.
=1
NC NA PB

d) Công thức lượng giác:
*) Tam giác vuông:
BA2=BH.BC
BC2=AC2+AB2
AH2=HB.HC

A

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

B
H

*) Tam giác thường:

C

1
BC 2
– Trung tuyến: AM 2 = ( AB 2 + AC 2 ) −
2
4
a
b
c
=
=
= 2R
– Định lý hàm số Sin:
sin A sin B sin C

– Định lý hàm số Cosin: a2 =b2+c2-2bccosA
1
2

1
2

– Diện tích: S = aha = ab sin C = pr =
– Đường phân giác: l =
a

2bc cos
b+c

abc
=

4R

p ( p − a )( p − b)( p − c )

A
2

a2 3
a 3
*) Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S=
; ha =
4
2
2
ΠR α
*) Diện tích hình quạt: S =
360 0

e) Diện tích, thể tích:
1
3

– Hình chóp: V = Bh
1
3

– Hình nón: V = ΠR 2 h; S xq = ΠRl
1
3

– Hình chóp cụt: V = ( B + BB’ + B’ )h
1
3

– Hình nón cụt: V = Π ( R 2 + RR’+ R’ 2 )h; S xq = Π ( R + R’ )l
4
3
2
– Hình trụ: V = ΠR h; S xq = 2ΠRh
h
– Hình chỏm cầu: V = Πh 2 ( R − ); S = 2ΠRh
3

– Hình cầu: V = ΠR 3 ; S xq = 4ΠR 2

B. Một số dạng toán:
1. Hệ thức lượng giác trong tam giác.

VD1: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính các góc.
ĐS: A ≈ 24 0 8’49”; B ≈ 125 0 5’59”; C ≈ 30 0 45’12”
VD2: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; AC = 4dm; góc A=46034’25”
1. Tính chu vi.
ĐS: 2p ≈ 12,67466dm
2. Tính gần đúng diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ĐS: S ≈ 20,10675dm2.
VD3: Cho tam giác ABC biết AB =6dm; góc A=84013’38”;B=34051’33”.
21

Tính diện tích tam giác.

ĐS: S ≈ 20,49315dm2.
VD4: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7).
Tính diện tích tam giác.
ĐS: S = 75,7 ĐVDT.
VD5: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C( 2 ;5); D(-4;-3).
S ≈ 37,46858 ĐVDT.
VD6: Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác 50 cạnh nội tiếp đường tròn bán
kính 1dm.
ĐS: S ≈ 3,13333 dm2. C ≈ 6,27905dm
VD7: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm; BC = 7 cm; CA = 5 cm. Vẽ 3 đường cao
AA’; BB’; CC’. Tính diện tích tam giác A’B’C’.
HD:

S’
= 1-(cos2A+cos2B+cos2C)=2cosAcosBcosC = 1,9441cm2.
S

2. Hệ thức lượng trong đường tròn.

VD: Hai dây cung AB và CD cắt nhau tại I nằm trong đường tròn (O). Tính IA, IB
biết IC = 15, 3cm; ID = 17,5 cm; AB = 34,7cm.

 IA.IB = IC.ID  IA = 11,6cm
⇒

IA
+
IB
=
AB

 IB = 23,1cm
HD: 
3. Đường thẳng:

VD: D1: 2x -3y-1=0
D2: 5x-2y+4 =0. Tìm giao và góc giữa 2 đường thẳng này.
ĐS: (-14/11; -13/11) và cos(D1; D2) = 34030’30”
4. Một số bài toán về tam giác.

VD1

22

VD2: Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK, BI vuông góc với
CD và AD. Gọi H là trực tâm của tam giác BIK. Tính BH biết BD = 17 cm; IK = 15 cm.
23

VD3: Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O,12). Một điểm M bất kì thuộc (O). Tính
chính xác đến 3 chữ số thập phân.

VD4: Cho tam giác PQR, gọi S là 1 điểm thuộc cạnh QR, U là 1 điểm thuộc cạnh
PR, giao điểm của PS và QU là T. Cho biết PT = TS, QS = 2 RS và diện tích tam giác
PQR là 150. Tính diện tích tam giác PSU.
Giải
S(PSR)=S(PQR)/3=50
Vẽ SK (không có trong hình) song song
với QU (K thuộc PR)
24

=>RK=RU/3, PU=PK
=> PU=2/5*PR
=>S(PSU)=2/5*S(PSR)=20 (dvdt)

5. Một số bài toán về Đa giác và hình tròn
Bài 5.1 (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vòng

Tỉnh,

B

cấp PTTH & PTCS)
Một ngôi sao năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnh
không liên tiếp là

9, 651 cm .

A

C

Tìm bán kính đường tròn

ngoại

O

tiếp (qua 5 đỉnh).

Giải: Ta có công thức tính khoảng cách

D

E

giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao năm cánh đều
vẽ):

AC = d = 2 R cos18o =

R 10 + 2 5
2

. Công thức

(hình
là hiển nhiên.

d = 2 R cos18o

10 + 2 5
có thể chứng minh như sau:
2
1 + cos 36o 1 + sin 54o 1 + 3sin18o − 4sin 3 18o
=
=
.
Ta có: 1 − sin 2 18o = cos 2 18o =
2

2
2
hay 4sin 3 18o − 2sin 2 18o − 3sin18o + 1 = 0. .

Công thức

Suy ra

cos18o =

là nghiệm của phương trình:

sin18o

Vậy

sin18o =

hay

cos18o =

−1 + 5
4

.

Từ đây ta có:

4 x3 − 2 x 2 − 3 x + 1 = ( x − 1)(4 x 2 + 2 x − 1) = 0 .

5 − 1 2 10 + 2 5
) =
.
4
16

cos 2 18o = 1 − sin 2 18o = 1 − (

10 + 2 5
10 + 2 5
=
.
16
4

Suy ra

R 10 + 2 5
2
o
,,,
÷ 18
cos =

d = 2 R cos18o =

và

R=

d
2d
=
.
o
2 cos18
10 + 2 5

Cách giải 1: 9.651 ÷ 2
(5.073830963)
)]
= (5.073830963)
Cách giải 2: 2 × 9.651 ÷ [( [( 10 + 2 × 5
Đáp số: 5,073830963.
Bài 5.2 (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vòng 1)
Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của một ngôi sao 5 cánh nội tiếp trong
đường tròn bán kính R = 5, 712cm .
Cách giải 1: Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao
năm cánh (xem hình vẽ và chứng minh bài 5.1):
d = 2 R cos18o =

R 10 + 2 5
2

.

Tính: MODE 4 2 × 5.712 × 18 o,,, cos = (10.86486964)
=
= × 5.712 = ÷ 2 = (10,86486964)
Cách giải 2: 10 + 2 × 5

A
Đáp số: 10,86486964.
Bài 5.3. Cho đường tròn tâm O, bán kính R = 11, 25 cm. Trên đường Btròn đã cho, đặt
C
các cung AB = 90o, BC = 120o sao cho A và C nằm
H
BO
cùng một phía đối với
.
O
25

• SIN, COS, TAN : Sin, Cosin, tan • Sin-1, COS-1, TAN-1 : Hàm ngược Sin, Cosin, Tan. • ex, 10 x : Hàm mũ cơ số e, cơ số 10. • x2, x3 : Bình phương, lập phương. • x-1 : Hàm nghịch đảo. • x ! : Giai thừa. • % : Phần trăm. • ab / c : Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, số phập phân và ngược lại • d / c : Đổi hỗn số ra phân số. • RAN # : Hiện số ngẫu nhiên • DEC, HEX, BIN, OCT : Cơ số 10,16, 2, 8. • COSNT : Gọi hằng số. • CONV : Chuyển đổi đơn vị chức năng. • SOLVE : Giải phương trình. • CALC : Tính toán, 3, x : Căn bậc 2, bậc 3, bậc x. • ANS : Gọi hiệu quả. • Arg : Argumen • Abs : Giá trị tuyệt đối. • ( – ) : Dấu âm. • +, -, *, /, ^ : Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Mũ. < -, ->, á, â : Di chuyển tài liệu. •. : Ngăn cách phần nguyên và phần thập phân •, : Ngăn cách các giá trị trong hàm. • ( : Mở ngoặc đơn. • ) : Đóng ngoặc đơn. • п : Số PI. 5. Sử dụng MODE : • MODE 1 : o Chọn 1 : COMP : Chữ D hiển thị ở góc trên bên phải, là trạng thái thống kê giám sát cơbản. o Chọn 2 : CMPLX : Trạng thái đo lường và thống kê được cả với số phức • MODE 2 : o Chọn 1 : SD : Trạng thái giải bài toán thống kê 1 biến. o Chọn 2 : REG : Thống kê 2 biến  Chọn 1 : LIN : Tuyến tính  Chọn 2 : LOG : Logarit  Chọn 3 : Exp : MũChọn ->  Chọn 1 : Pwr : Lũy thừa  Chọn 2 : Inv : Nghịch đảo  Chọn 3 : Quad : Bậc 2 o Chọn 3 : BASE : Chọn và thao tác với các hệ đếm • MODE 3 : o Chọn 1 : EQN : Giải phương trình, hệ phương trình.  Chọn 1 : UNKNOWNS : Hệ phương trình. • Chọn 2 : Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn • Chọn 3 : Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn  Chọn 2 : DEGREE : Phương trình bậc 2, bậc 3. • Chọn 2 : Phương trình bậc 2. • Chọn 3 : Phương trình bậc 3. o Chọn 2 : MAT : Ma trận. o Chọn 3 : VCT : Véc tơ. • MODE 4 : o Chọn 1 : Deg : Chuyển chính sách là Độ. o Chọn 2 : Rag : Chuyển chính sách Radial. o Chọn 3 : Gra : Chuyển chính sách GraphMODE 5 : o Chn 1 : Fix : n nh s thp phõn ( 0-9 ). o Chn 2 : Sci : n nh s cú ngha ( 0-9 ) ca s a ghi di dng ax10n. o Chn 3 : Norm : Chn 1 hoc 2 ghi kt qu tớnh toỏn dng khoa hc a x10n. MODE 6 : o Chn 1 : DISP : Chn kiu hin thChn 1 : EngON : Hin s dng k thut. Chon 2 : EngOFF : Khụng hin s dng k thut. o Chn -> Chn 1 : ab / c : Kt qu dng hn s. Chn 2 : d / c : Kt qu dng phõn s. o Chn -> Chn 1 : DOT : Du chm ngn cỏch phn thp phõn. Chn 2 : COMMA : Du phy ngn cỏch phn thp phõn. II. CC DNG TONI S1. Tớnh toỏn thụng thngcú s dng bin nh v gii phng trỡnh bc nht : Lp 6,7 Ví dụ : 1. Tính giá trị của biẻu thức : 2 2 ( 1 3,6 ) 4 : ( + 1 ) 21 ( 1 + 2 ) a ) M = 5 b ) N = 3 38 2 ( 60000 56 ) 3 13 4 6 7 + 21 ữ : 3 ữ. + 1 ữ4 5 7 8 11 c ) A = 2 88 11 12 + 3 ữ. + 4 ữ : ữ5 139 12 15HD : a ) Kết quả : M = b ) N = c ) A 2.526141499 Lp 8, 9V í dụ : 2 Tính giá trị của A Với x = 3,545 và y = 1,479, bitA = ( x 2 + xy2 xy ) : ( x y x x y + xy 2 y 3 x + x y + xy + yA 2,431752178 HD : Ta gán 3,545 X và 1,479 Y sau đó tính giá trị của AVí dụ : 3 Tớnh giỏ tr ca biu thc ly kt qu vi 2 ch s phn thp phõnN = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041975K ết quả : N = 567,87 HD : Chú ý ta phải sử dụng dấu ngoặc sau mỗi dấu căn ( cho các biểu thức trong căn ) VÝ dô : 4 Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030 ‘, β = 57 o30 ’ M =   ( 1 + tgα2 ) 1 + cotgβ2 ) + 1 – sin ( α2 ) 1 – cos ( β2 )  . 1 – sin ( 2 α ) 1 – cos ( β2HD : Để máy ở chính sách tính Deg ( độ, phút, giây ) Kết quả M = 2. Sử lý số lớn : Lớp 6, 7S ử dụng giải pháp chia nhỏ và tích hợp giữa máy và cộng trên giấy. VÝ dô : 1 : Tính đúng chuẩn A = 7684352 x 4325319HD : ( 768.104 + 4352 ) ( 432.104 + 5319 ) = 331776.108 + 4084992.104 + 1880064.104 + 23148288 = 33237273708288V Ý dô : 2 : Tính hiệu quả đúng ( không sai số ) của các tích sau : P = 13032006 x 13032007Q = 3333355555 x 3333377777K ết quả : P = 169833193416042Q = 11111333329876501235V Ý dô : 3 : Tính 321HD : 321 = 310 + 11 = 310. 311 = 59049. 311 = ( 59.103 + 49 ). 311 = 59. . 311 103 + 49.311 = 10451673000 + 8680203 = 10460353203L ớp 8, 9V Ý dô : 4 : Tính đúng chuẩn B = 3752142 + 2158433HD : = ( 375.103 + 214 ) 2 + ( 251.103 + 843 ) 3 = 140625.106 + 160500.103 + 45796 + 9938375.109 + 16903025.106 + 45836605.103 + 599077107 = 100558777782369033. Cách kiểm tra xem số a có là số nguyên tố hay không ? | a | | shift | | sto | | A | { gán a vào biến A trong máy } | 1 | | shift | | sto | | B | Nhập vào máy B = B + 2 : A / BCALC = = = …. nếu là số nguyên thì B là 1 ước của AKiểm tra cho đến khi tác dụng hạ xuống dưới căn A thì ngưng { chú ý quan tâm : với cách này xem A có chia hết cho 2 không ? } VÝ dô : H · y kiÓm tra sè F = 11237 cã ph ¶ i lµ sè nguyªn tè kh « ng. Nªu quy tr × nh bÊm phÝm ® Ó biÕt sè F lµ sè nguyªn tå hay kh « ng. HD : F lµ sè lÎ, nªn íc sè cña nã kh « ng thÓ lµ sè ch½n. F lµ sè nguyªn tè nÕu nã kh « ng cãíc sè nµo nhá h ¬ n F = 106.0047169. gán 1 shift, STO D, thực thi các thao tác : ALPHA, D, ALPHA =, ALPHA, D + 2, ALPHA :, 11237 ữALPHA D, bấm = liên tục ( máy 570ES thì bấm CALC sau đó mới bấm = ). Nếu từ 3 cho đến 105 phép chia khôngchẵn, thì Kết luận F là số nguyên tố. 4. Phõn tớch mt s ra tha s nguyờn tPhõn tớch s a ra tha s nguyờn t, ta s dng du hiu chia ht kt hp vi mỏytớnh. Ta ly s a chia ln lt cho cỏc s nguyờn t p vi p < aVí dụ : 1 : Phõn tớch s 20226600 ra tha s nguyờn tTa s dng du hiu chia ht kt hp vi mỏy tớnh lKt qu : 23.32.52. 11237V í dụ : 2 : Phõn tớch s 186089 ra tha s nguyờn t. Kt qu : 7.113.133.5. Tỡm s d : Lp 6, 7 * Dng 1 : Thụng thng. Mod ( a, b ) = a b. [ a, b ] Ví dụ : 1. Tỡm s d ca 567891 v 54321S : 24681V í dụ : 2. Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 l th 7. Theo cỏch tớnh dng lch t intrờn mng wikipedia mt nm cú 365,2425 ngy. Vy da vo cỏch tớnh trờn thỡ n ngy 7 thỏng 7 nm 7777 s l th my ? ( ta chtớnh theo lớ thuyt cũn thc t cú th cú iu chnh khỏc ). P S : Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 l th 2L i gii : Ngy 7 thỏng 7 nm 7777 - Ngy 7 thỏng 7 nm 2007 = 5770 nm5770 ì 365,2425 = 2107449,225 ngy2107449, 225 ữ 7 = 301064,175 tun0, 175 ì 7 = 1,225 ngySo vi ngy 7 thỏng 7 nm 7777 tớnh tng lờn 2 ngySuy ra : Th 2 ngy 7 thỏng 7 nm 7777V í dụ : 3. Biết rằng ngày 01/01/1992 là ngày Thứ T trong tuần. Cho biết ngày01 / 01/2055 là ngày thứ mấy trong tuần ? ( Cho biết năm 2000 là năm nhuận ). Khoảng cách giữa hai năm : 2055 1992 = 63, trong 63 năm đó có 16 năm nhuận ( 366 ngày ) Khoảng cách ngày giữa hai năm là : 16 ì 366 + ( 63 16 ) ì 365 = 23011 ngày23011 chia 7 d đợc 2. Vy ngày 01/01/2055 là ngày thứ Sỏu * Dng 2 : S ch s ln hn 10 ch s : Ta dựng phng phỏp chia tr - Ct ra thnh nhúm u 9 ch s ( k t bờn trỏi ) tỡm s d ca s ny vi s bchia. - Vit liờn tip sau s d cỏc s cũn li ca s chia ti a 9 ch s, ri tỡm s dln 2. - Tip tc nh vy n ht. Ví dụ : 1. Tỡm s d : 506507508506507508 : 2006HD : Thực hiện Tìm số d : 5065075086 : 2006 d : 1313T hực hiện Tìm số d : 1313065075 : 2006 d : 1667T hực hiện Tìm số d : 166708 : 2006 d : 210 ⇒ § © y còng lµ sè d cña bµiVÝ dô : 2. Tìm số dư 103200610320061032006 : 2010 ĐS : 396 * Dạng 3 : Tìm số dư của một lũy thừa bậc cao cho một sô. VÝ dô : 1. Tìm số dư 200915 cho 109HD : Xét số mũ ta thấy 15 = 4.3 + 320093 ≡ 55 ( mode 109 ) 20093.4 ≡ 554 ≡ 75 ( mode 109 ) 200915 = 20094.3 + 3 = 20094.3. 20093 ≡ 55.75 ≡ 92 ( mode 109 ) Hay 200915 chia cho 109 dư 92. VÝ dô : 2. Tìm số dư 92009 cho 33. Ta có : 91 ≡ 9 ( mod 33 ) 96 ≡ 9 ( mod 33 ) 92 ≡ 15 ( mod 33 ) 97 ≡ 15 ( mod 33 ) 93 ≡ 3 ( mod 33 ) 98 ≡ 3 ( mod 33 ) 94 ≡ 27 ( mod 33 ) 99 ≡ 27 ( mod 33 ) 95 ≡ 12 ( mod 33 ) 910 ≡ 12 ( mod 33 )  9 5 k ≡ 12 ( mod 33 )  5 k + 1 ≡ 9 ( mod 33 )  9  5 k + 2 ⇒  9 ≡ 15 ( mod 33 )  9 5 k + 3 ≡ 3 ( mod 33 )  9 5 k + 4 ≡ 27 ( mod 33 ) 2009V ậy : 9 = 95.401 + 4 ≡ 27 ( mod 33 ). Hay 92009 chia cho 33 dư 27. VÝ dô : 3. Tìm số dư 92009 cho 12.   a ≡ m ( mod p )   a. b ≡ m. n ( mod p ) ⇒  α   b ≡ n ( mod p )   a ≡ mα ( mod p ) Ta có : 91 ≡ 9 ( mod 12 ) ; 92 ≡ 9 ( mod 12 ) ; 93 ≡ 9 ( mod 12 ) ⇒ 99 ≡ 9 ( mod 12 ) ⇒ 910 ≡ 9 ( mod 12 ) Áp dụng  ( Dùng máy để kiểm tra ) ⇒ 9100 = ( 910 ) 10 ≡ 910 ( mod 12 ) ≡ 9 ( mod 12 ) ⇒ 91000 = ( 9100 ) 10 ≡ 9100 ( mod 12 ) ≡ 9 ( mod 12 ) ⇒ 92000 = ( 91000 ) 2 ≡ 92 ( mod 12 ) ≡ 9 ( mod 12 ) Vậy : 92009 = 92000.99 ≡ 92 ( mod 12 ) ≡ 9 ( mod 12 ) Hay 92009 chia cho 12 dư 9. VÝ dô : 4. Tìm số dư 2004376 cho 1975HD : Xét số mũ ta thấy 376 = 6. 62 + 42 ≡ 2004 841 ( mode 1975 ) 20044 ≡ 4812 ≡ 231 ( mode 1975 ) 200412 ≡ 2313 ≡ 416 ( mode 1975 ) 200448 ≡ 4164 ≡ 536 ( mode 1975 ) 200460 ≡ 536 x 416 ≡ 1776 ( mode 1975 ) 200462 ≡ 1776 x 841 ≡ 516 ( mode 1975 ) 200462 x3 ≡ 5163 ≡ 1171 ( mode 1975 ) 200462 x 6 ≡ 11712 ≡ 591 ( mode 1975 ) 200462 x 6 + 4 ≡ 591 x 231 ≡ 246 ( mode 1975 ) Lớp 8,96. Tìm số chữ số cuối. * Dạng 1. Tìm chữ số tận cùng của một tíchVÝ dô : Tìm 4 chữ số tận cùng của tích123456787989. 87554879903HD : 123456787989.87554879903 = ( 12345678.104 + 7989 ) ( 875548. 104 + 9903 ) Do đó 4 chữ số tân cùng của tích trên cũng là 4 chữ số tận cùng của tích7989. 9903 = 79115067 ĐS : 5067 * Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừaĐể tìm n chữ số cuối của số A, thực ra là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 10 n. Để tìm số dư khi A chia cho 10 n, thực ra là ta đi tìm số dư của A khi chia cho 2 n và 5 n. VÝ dô : 1. Tìm 4 chữ số tận cùng của 321HD : 321 = 310 + 11 = 310. 311 = 59049. 311 = ( 5.104 + 9049 ). 311D o đó 4 chữ số tân cùng phải tìm là 4 chữ số tận cùng của tích 9049.311 ĐS : 3203V Ý dô : 2. Cho A = 22004. a. Tìm 2 số tận cùng của A.b. Tìm 3 số tận cùng của A.HD : a. Tìm 2 số tận cùng của A, thực ra là tìm số dư của A khi chia cho 100. Ta có 100 = 4.25 Trước hết ta tìm số dư của A khi chia cho 25.210 = 1024 ≡ - 1 ( mod 25 ) Do đó A = 24. ( 210 ) 100 ≡ 16 ( mod 25 ) Hay A hoàn toàn có thể viết dưới dạng : A = 25 k + 16M ặt khác : A chia hết cho 4 nên k chia hết cho 4 hay k = 4 mTừ đó A = 25 k + 16 = 25.4 m + 16 = 100 m + 16 ≡ 16 ( mod 100 ) Vậy 2 số tận cùng của A là 16. b. Tương tự ta tìm số dư của A khi chia cho 1000 = 8. 125250 = ( 210 ) 5 = ( 1024 ) 5 ≡ - 1 ( mod 125 ) A = 16. ( 250 ) 4 ≡ 16 ( mod 125 ) do đó A = 125 k + 16M ặt khác A chia hết cho 8 nên k = 8 mVậy A = 1000 m + 16 hay 3 số cuối của A là 016. VÝ dô : 3. Tìm chữ số cuối của 72005. HD : 71 = 772 = 4973 = 34374 = 240175 = 1680776 = 11764977 = 82354378 = 576480179 = 40353607T a thấy các số cuối lần lượt là 7, 9, 3, 1 chu kỳ luân hồi là 4. Mặt khác : 2005 = 4. 501 + 1N ên 72005 có số cuối là 7. VÝ dô : 4.2. Tìm chữ số hàng chục của số 232005HD : Ta có231 ≡ 23 ( mode 100 ) 232 ≡ 29 ( mode 100 ) 233 ≡ 67 ( mode 100 ) 234 ≡ 41 ( mode 100 ) 2320 = ( 234 ) 5 ≡ 415 ≡ 1 ( mode 100 ) 232000 ≡ 1100 ≡ 1 ( mode 100 ) 232005 ≡ 231.234.232000 ≡ 23.41.1 ≡ 43 ( mode 100 ) Vậy số hàng chục là 4. VÝ dô : 5. Tìm 2 chữ số cuối của : A = 2 2000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 + 22007HD : A = 22000 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 ) = ( 220 ) 100 x 25520 mµ 2 = ( 210 ) 2 = 10242 = 1048576T a nhận thấy bất kể 1 số ít có đuôi là 76 thì lũy thừa luôn luôn có đuôi là 76 ( dùngmáy để kiểm tra ) Do đó : A = 255 x ( 76 ) = .. 80. Vậy 2 số cuối của A có giá tr l 80V í dụ : 6. TớnhP = 7 + 77 + 777 + ... + 77 ...... 77 29397236717 sụ ' 7S : 526837050L i gii chi tit : Lp quy trỡnh n phớm nh sau : Gỏn 1 cho A n 1 SHIFT STO AGỏn 7 cho B n 7 SHIFT STO BGỏn 7 cho C n 7 SHIFT STO CGhi vo mn hỡnh : A = A + 1 : B = 10B + 7 : C = C + Bn = cho n khi mn hỡnh hin A = 17 v n = hai lnC = 8,641975309 ì1016n tip ALPHA C - 293972367 2 = Kt qu : 526800000P = 526800000, ta tỡm thờm 5 s cui v nghi ng rng s 8 cú th ó c lm trũn. ( Lu ý thớ sinh nờn cn thn : vỡ mỏy fx - 570MS cú tớnh toỏn bờn trong n 12 ch s vis cú m 2, m 3, cũn m ln hn 3 hoc s nguyờn thỡ tớnh toỏn bờn trong l 10 chs, chc chn cỏc bn nờn tớnh thờm trờn mỏy ES cú tớnh toỏn bờn trong cao hn ). Tớnh tip tc : Vỡ cn tỡm 5 s cui ca tng P nờn ta ch ly tng n 5 ch s 7 trong77 ...... 77 cỏc s t 77777 n17 sụ ' 7V y ta cú : C = 7 + 77 + 777 + 7777 + 77777 ì13. Kt qu : 1019739V tớnh 72367 2 = 5236982689 ( sỏu s cui ca s 293972367 2 ) Nm s cui ca P l : P = 1019739 - 82689 = 37050T a thy kt qu P = 526837050 ( chc chn s 8 ó khụng b lm trũn vỡ sau s 8 l s 3 nờn s 8 khụng th lm trũn * Mo nh : + ) tỡm 1 ch s tn cựng ca an. - Nu ch s tn cựng ca a l 0, 1, 5, 6 thỡ an ln lt cú s tn cựng l 0, 1, 5, v 6 - Nu a cú s tn cựng l 2, 3, 7 thỡ : 24 k 6 ( mod 10 ) 34 k 1 ( mod 10 ) 74 k 1 ( mod 10 ). Do ú tỡm 1 s tn cựng ca a n vi a tn cựng l 2, 3, 7 ta ly n chia cho 4, cn = 4 k + r. Nu a 2 ( mod 10 ) thỡ a2 2 n ( mod 10 ) 2 ( 4 k + r ) ( mod 10 ) 6.2 r ( mod 10 ) Nu a 3 ( mod 10 ) thỡ an a ( 4 k + r ) ( mod 10 ) ar ( mod 10 ) VD : S tn cựng ca tớch 23156.45632. 2345987HD : S tn cựng ca tớch 23156.45632. 2345987 l s tn cựng ca tớch 1.6.5 l 0 + ) tỡm 2 ch s tm cựng ca an. Ta cú : 220 76 ( mod 100 ) 320 01 ( mod 100 ) 65 76 ( mod 100 ) 74 ≡ 01 ( mod 100 ) Mà 76 n ≡ 76 ( mod 100 ) với n > = 1. Và 5 n ≡ 25 ( mod 100 ) với n > = 2T ừ đó : – a20k ≡ 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) – a20k ≡ 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 ( mod 10 ) – a20k ≡ 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) – a20k ≡ 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 ( mod 10 ) + ) Để tìm 3 chữ số tậm cùng của an. – a100k ≡ 000 ( mod 1000 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) – a100k ≡ 001 ( mod 1000 ) nếu a đồng dư 1, 3, 7, 9 ( mod 10 ) – a100k ≡ 625 ( mod 1000 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) – a100k ≡ 376 ( mod 1000 ) nếu a đồng dư 2, 4, 6, 8 ( mod 10 ) VD : Tìm 3 số cuối ≡ 001 ( mod 1000 ) 1 ) 13100200 ≡ 001 ( mod 1000 ) 2 ) 167100 ≡ 3 ) ( 17 x 19 ) 001 ( mod 1000 ) 100 ≡ 4 ) 18376 ( mod 1000 ) 200 ≡ 5 ) 15625 ( mod 1000 ) 300 ≡ 6 ) 20000 ( mod 1000 ) * * Khi kn ≤ 2 thì Với m nguyên không chứa thừa số 2 hay 5 và với các số a, b, …, k, n thì : m ab … kn ≡ m kn ( mod1000 ) Khi m chứa thừa số 2 thì : m ab … kn ≡ 376 m kn ( mod 1000 ) Khi m chứa thừa số 5 thì : m ab … kn ≡ 625 m kn ( mod 1000 ) VD : 1 ) 72311 ≡ 711 ≡ 743 ( mod 1000 ) 2 ) 22001 ≡ 376. 201 ≡ 752 ( mod 1000 ) 3 ) 23100 ≡ 376.200 ≡ 376 ( mod 1000 ) 4 ) 15402 ≡ 625.152 ≡ 625 ( mod 1000 ) * Khi kn > 2 thì m ab … kn ≡ m kn ( mod1000 ) đúng với mọi số nguyên mVD : 1 ) 22003 ≡ 23 ≡ 008 ( mod 1000 ) 2 ) 31004 ≡ 34 ≡ 081 ( mod 1000 ) 3 ) 51003 ≡ 53 ≡ 125 ( mod 1000 ) 4 ) 65011 ≡ 611 ≡ 056 ( mod 1000 ) 5 ) 211306 ≡ 2106 ≡ 121 ( mod 1000 ) 6 ) 271209 ≡ 279 ≡ 987 ( mod 1000 ) 7. Tìm số các chữ số : * Dạng an : Phương pháp : Số các chữ số cảu ax là [ x.lga ] + 1. VÝ dô : 1. Tìm số chữ số của 222425. HD : [ 22425. lg2 ] + 1 = [ 22425.0,30103 ] + 1 = [ 6750,597 ] + 1 = 6751. VÝ dô : 2. Tìm số chữ số của 46526. ĐS : 70. VÝ dô : 3. Tìm số chữ số của 123 ! [ Lg123 ! ] + 1 = [ lg ( 1.2.3 …. 123 ) ] + 1 = [ lg1 + lg2 + …. + lg123 ] + 1 = … Gán 1 cho A ấn 1 SHIFT STO AGhi vào màn hình hiển thị : A = A + 1 : B = logA : C = C + BẤn = cho đến khi màn hình hiển thị hiện A = 123 và ấn = hai lầnLấy phần nguyên công với 1KQ : 206246BT : Dùng bao nhiêu chữ số để viết số : 453, 209237 ĐS : 657, 5508. Tìm USCLN và BSCNN * Tìm USCLN : – Dạng 1 : Số không quá lớn  a = m.xa xa b ⇒ = ⇒ m = = b yx y  b = m. yUSCLN ( a, b ) = m ⇒  VÝ dô : 1. Tìm USCLN ( 3456 ; 234 ) HD : Bấm 3456 / 234 ( a / b ) = 192 / 13 ) ( x / y ) Vây : USCLN ( 3456 ; 234 ) = 3456 / 192 = 18. – Dạng 2 : Số quá lớn :  USCLN ( a – b, b ) voi a > b  USCLN ( a, b – a ) voi a < bC1. USCLN ( a, b ) =  Cứ liên tục đến khi a = b đó là m  USCLN ( Mod ( a, b ), b ) voi a > b  USCLN ( a, Mod ( b, a ) ) voi a < bC2. USCLN ( a, b ) =  Cú liên tục đến khi số dư bằng không thì b = m. * Tìm BSCNNa. bBSCNN ( a, b ) = USCLN ( a, b ) VÝ dô : 1. Cho a = 1408884 vµ b = 7401274. T × m USCLN ( a ; b ), BSCNN ( a, b ) 7401274 = 5 x 1408884 + 3568541408884 = 3 x 356854 + 338322356854 = 1 x 338322 + 18532338322 = 18 x 18532 + 474618532 = 3 x 4746 + 42944294 = 1 x 4294 + 4524294 = 9 x 452 + 226452 = 226 x 2 + 0V ậy USCLN ( a ; b ) = 226 a. b1048884x7401274BSCNN ( a, b ) = USCLN ( a ; b ) = 226 = 6234 x 7401274 = 6234 x ( 7401x103 + 274 ) = 46137834 x 103 + 1708116 = 46139542116. VÝ dô : 2. Cho ba sè : A = 1193984 ; B = 157993 vµ C = 38743. T × m íc sè chung lín nhÊt cña ba sè A, B, C.T × m béi sè chung nhá nhÊt cña ba sè A, B, C víi kÕt qu ¶ ® óng chÝnh x ¸ c. a ) ¦ CLN ( A, B, C ). b ) BCNN ( A, B, C ). GiảiD = ¦ CLN ( A, B ) = 58310 ¦ CLN ( A, B, C ) = ¦ CLN ( D, C ) = 53E = BCNN ( A, B ) = A × B = 323569664UCLN ( A, B ) BCNN ( A, B, C ) = BCNN ( E, C ) = 236.529.424.3849. Dãy số : 9.1 Dẫy số Fibonaci :  u1 = 1 ; u 2 = 1 ; ( n > 2 )  u n + 2 = u n + u n + 1A = u1 ; B = u2 Nhập : C = A + B : A = C + B : B = A + CẤn dấu bằng liên tục để có kết quả9. 2 Dẫy số Lucus :  u1 = a ; u 2 = b ; ( n > 2 )  u n + 2 = u n + u n + 1C ách làm : A = u1 ; B = u2 Nhập : C = A + B : A = C + B : B = A + CẤn dấu bằng liên tục để có kết quảVD : u1 = 3 ; u2 = 5 ; un + 1 = un + un-1. Tính u46. ĐS 77787420499.3 Dẫy số Fibonaci suy rộng  u1 = a ; u 2 = b ; ( n > 2 )  u n + 2 = Au n + Bu n + 1D ạng 1 :  VD : u1 = 2 ; u2 = 3 ; un + 1 = 2 un + 3 un – 1. Tính u19. HD : A = 2 ; B = 3N hập : C = 2A + 3B : A = 2B + 3C : B = 2C + 3A Ấn dấu bằng liên tục 17 lần để có kết quảĐS : 8501763049  u1 = a ; u 2 = bDạng 2 :   u n + 2 = u n + u n − 1 ; ( n > 2 ) 9.4 Dẫy số Fibonaci bậc 3 :  u1 = a ; u 2 = b ; u3 = c ; ( n > 3 )  u n + 3 = Au n + Bu n + 1 + Cu n + 2  u1 = 1 ; u 2 = 2 ; u3 = 3 ; ( n > 3 ). Tính u15  u n + 3 = 3 u n + 4 u n + 1 − 5 u n + 2VD :  HD : A = 1 ; B = 2 ; C = 3 ; Nhập : D = 3A + 4B-5 C : A = 3B + 4C-5 D : B = 3C + 4D-5 A : C = 3D + 4A-5 BẤn dấu bằng liên tục 19 lần để có hiệu quả. – 6245363930 ; 9.5 Quy về các dãy số trên : VÝ dô : 1. Cho d · y sè U n = ( 4 + 3 ) n − ( 4 − 3 ) n4 31 ) TÝnh U1 ; U2 ; U3 ; U4 ; U5. U1 = 0,5 U2 = 4U3 = 25,5 U4 = 152U5 = 884,52 ) LËp c « ng thøc tÝnh Un + 2 theo Un vµ Un + 1 : 11 ; ( n = 0,1,2, …. ) Đặt : a n = ( 4 + 3 ) ; bn = ( 4 3 ) U n = a n + bnU n + 14 34 3 = ( 4 + 3 ) a n ( 4 3 ) bnU n + 2 = ( 4 + 3 ) 2 a n ( 4 3 ) 2 bn = ( 19 + 8 3 ) a n ( 19 8 3 ) bn = 8 [ ( 4 + 3 ) a n ( 4 3 ) bn ] 13 ( a n bn ) = 8U n + 1 13U nVí dụ : 2. Cho dãy số U n = ( 5 + 3 ) n ( 5 3 ) n2 3 ; ( n = 0,1,2, …. ) a ) Lập công thức truy hồi tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. b ) Tính U5 và U12HD : a ) U n = a n bnU n + 1 = ( 5 + 3 ) a n ( 5 3 ) bnU n + 2 = ( 5 + 3 ) 2 a n ( 5 3 ) 2 bn = ( 28 + 10 3 ) a n ( 28 10 3 ) bn = ( ( 50 + 10 3 ) a n ( 50 10 3 ) bn ) 22 ( a n bn ) = 10U n + 1 22U nb ) ấn : 10 Shift Sto A X 10 22 X 1 Shift Sto BLặp lại : X 10 – 22 ALPHA A Shift Sto AX 10 – 22 ALPHA B Shift Sto B10. Phng trỡnh bc IVí dụ : 1. Tìm giá trị của x, y viết dới dạng phân số ( hoặc hỗn số ) từ các phơng trìnhsau : 5 + a ) c ) 3 + 2×5 + 7 + 1 + 3 + 5 + b ) 1 + 8 + 2 ữx 1 + 1 + ữ2 + 1 + HD : a ) Vậy ta có : 5 + 2 + 13 + 2 x x5 AB = x = A B2B A = 4 + 4 + 3 + = 25 + 1 + Kết quả a ) x = 12475209595630 = 4510347710347770847109 138915964004388 12549882 + 31 63 7 15 11 ) x ( ) ( x ) = Ví dụ : 2. Gii phng trỡnh ( 3 53 + 24 32 3 5 b ) y = 71303139 = 139913991 c ) x = ( thi chn HSG TP Hồ Chí Minh nm 2004 ) S : x = 1, 4492. + x 4 + Ví dụ : 3. 2 + 1 + 13 + 4 + 5 + 1 + 6 + 7 + 153 + 5685V í dụ : 4. Gii phng trỡnh a + 2 = 13427 + S : x = 30116714S : a = 9V í dụ : 5. Tìm giá trị gần đúng của x và y ( đúng mực đến 9 chữ số thập phân ) : 281 ) 2 x + 5 + 7 + 125×3 + 7 + 2 ) 6 + S : x 13,86687956 Ví dụ : 6. Tỡm x bit : 7 + 2 + 2 y6 + 1 + y 0,913359863 + 3819783820078 1 1 xHD : 381978 ữ 382007 = 0.999924085 n liờn tip x 1 ì 3 – 8 v n 9 ln phớm =. Ta cú 1 + x = Ans ti p tc n x 1 – 1KQ : x = – 1.1196329811. Phng trỡnh bc II.Ví dụ : 1. gii phơng trình : 1,23785 x2 + 4,35816 x 6,98753 = 0HD : Chn ch gii phng trỡnhnhp s 2133 y3 + 3 + Nhập 1,23785, =, 4,35816, =, – 6,98753 = = KQ : VÝ dô : 2. Giải pt : sin ( 2 Π + 3 ) x 2 − 7 2 + 7 3 x − 2 − 3 = 0K ết quả : x1 = 387,0481917 ; x2 = – 0,019675319 VÝ dô : 3 Giải pt : sinΠ 2 x − 25 9 2, 73 x − 2,54 = 012. Phương trình bậc III.VD : 385 x3 + 261×2 – 157 x – 105 = 0HD : HD : Chọn chính sách giải phương trìnhnhập số 3N hập 385, =, 261, =, – 157, = – 105, =, =, = ĐS : – 5/7 ; – 3/5 ; 7/1113. Phương trình vô tỉ. VÝ dô : 1. 1 ) Giải phương trình : a + b 1 − x = 1 + a − b 1 − x theo a, b ( trích đề thi KV trung học cơ sở 2004 ) HD : Đặt 1 − x = t ; Bình phương hai vế ta cóa + bt = ( 1 + a − bt ) 2 ⇒ 2 bt − 1 = 2 a − bt ⇒ ( 2 bt − 1 ) 2 = 4 ( a − bt ) ⇒ t 2 = 4 a + 14 b 24 b 2 − 4 a + 1S uy ra x = 4 b 22 ) Tính với a = 250204 ; b = 260204 ĐS : 0,999996304 VÝ dô : 2. Giải phương trình : 130307 + 140307 1 + x = 1 + 130307 − 140307 1 + x ( trích đề thi KV trung học cơ sở 2007 ) ĐS : – 0,9999933814. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE14. 1 Phương trình bậc nhất : VÝ dô : T × m gi ¸ trÞ cña x ® Ó : 3 + 15 x + 7 + 568513425 ) ) ) ALPHA = 5685C ách làm : Nhập15 : ( 3 + 5 : ( ALPHA A + 2 : ( 7 + 6 abtục ấn SHIFT, CALC, SHIFT, CALCab1342, TiếpKết quả : 14.2. Phương trình bậc cao. VÝ dô : 1. Tìm 1 nghiệm pt : x9-2×7+x4+5×3+x-12 = 0HD : Nhập công thức : Shifs Solve ; X ? nhập 1, = ; Shift SolveĐS : 1,26857 ( 45,85566667 ) VÝ dô : 2. Tìm 1 nghiệm pt : x60 + x20-x12+8×9+4x-15 = 0 ĐS : Dò với x = 1 : 1,011458 ; Dò với x = 10 : – 1.05918 VÝ dô : 3. Giải phương trình : x + 178408256 − 26614 x + 1332007 + x + 178381643 − 26612 x + 1332007 = 114 ( trích đề thi KV trung học cơ sở 2007 ) ĐS : x1 = 175744242 ; x2 = 175717629V Ý dơ : 4. Tìm nghiệm thực của phương trình : 4448 x x + 1 x + 2 x + 3 6435HD : Ghi vào màn hình hiển thị : 4448 x x + 1 x + 2 x + 3 6435 n SHIFT SOLVEMáy hỏi X ? ấn 3 = n SHIFT SOLVE. Kết quả : x = 4,5 Làm tựa như như trên và biến hóa giá trò đầu ( ví dụ – 1, – 1.5, – 2.5 ) ta được ba nghiệm còn lại. ĐS : 4,5 ; – 0,4566 ; – 1,5761 ; – 2,6804 ( Nếu chọn giá trò đầu không thích hợp thì không tìm đủ 4 nghiệm trên ) 15. Giải phương trình bằng giải pháp lặpa ) x + 1 = ⇒ x = x − 1 x + 1 + 1N hập 2 = nhập tiếp 3 : ( ( Ans + 1 ) ) + 1 =, =, = …. ĐS : x ≈ 2,58454398116. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.  2 x + 3 y = 8  7 x − y = 5V Ý dơ : 1. Giải hệ  HD.Chọn chính sách giải hệ phương trìnhchon số 2V Ý dơ : 2. Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b Đi qua điểm A ( 1 ; 5 ) và B ( – 6 ; – 3 ) HD : Ta có 5 = a + b và – 3 = – 6 a + bGiải hệ phương trình này ta được a = 1 và b = 317. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn. Giải hệ phương trình  2 x + 3 y + 4 z = 20  − x + 3 y − z = 2  9 x − y − 3 z = − 2HD : Chọn chính sách giải hệ phương trìnhNhập 2, =, 3, =, 4, = 20, =, – 1, =, 3, = – 1, = 2, = 9, – 1, – 3, – 2, =, =, = 18. Hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn. Giải hệ phương trìnhchon số 3 ĐS : x = 1, y = 2, z = 3  2 x + 3 y + 4 z + t = 24  − x + 3 y − z + 2 t = 10  9 x − y − 3 z − 3 t = − 14   2 x − 3 y − 4 z + t = − 12HD : Chọn chính sách giải hệ phương trình15chon số 4N hập 2, =, 3, =, 4, =, 1, =, 24, =, – 1, =, 3, = – 1, = 2, = 10, =, 9, =, – 1, =, – 3, =, – 3, =, 14, =, 2, =, – 3, = – 4, =, 1, =, – 12 =, =, =, = ĐS : x = 1, y = 2, z = 3, t = 419. Bài toán về đa thức : Đa thức P ( x ) = anxn + an-1xn-1 + … + a0. * Dạng 1 : Tìm thông số an, an-1, … khi biết các cặp ( xi ; yi ) VÝ dô : 1. Cho P ( x ) = x3 + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c khi P ( x ) nhận các giá trị là15, – 12 và 7 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1, – 2, 3. HD : Ta có P ( 1 ) = 1 + a + b + c = 15  a + b + c = 14P ( 2 ) = – 8 + 4 a – 2 b + c = – 12  4 a – 2 b + c = – 4P ( 3 ) = 27 + 9 a + 3 b + c = 7  9 a + 3 b + c = – 20G iải hệ phương trình 3 ẩn ta được kết quảĐS : a = – 23/5, b = 7/5, c = 86/5 VÝ dô : 2. Cho P ( x ) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + d x + e. Tìm a, b, c khi P ( x ) nhận các giátrị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giá trị tương ứng là 1,2, 3, 3, 4, 5. HD : Ta có Q. ( x ) = x2 + 10 nhận các giá trị là 11, 14, 19, 26 và 35 khi x nhận các giátrị tương ứng là 1, 2, 3, 3, 4, 5N ên P ( x ) – Q ( x ) = ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x-4 ) ( x-5 ) Hay P ( x ) = x2 + 10 + ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x-4 ) ( x-5 ) Từ đó suy ra a, b, cVÝ dô : 3. Cho P ( x ) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d và P ( 1 ) = 4 ; P ( – 2 ) = 7 ; P ( 3 ) = 24 ; P ( – 4 ) = 29. Tính P ( 40 ) HD : Ta hoàn toàn có thể viết P ( x ) = ( x-1 ) ( x + 2 ) ( x-3 ) ( x + 4 ) + U ( x-1 ) ( x + 2 ) ( x-3 ) + V ( x-1 ) ( x + 2 ) + S ( x-1 ) + T.Thay giá trị trên vào ta được : T = 4 ; S = – 1 ; V = 2,2 ; U = 1/35 Nên P ( 40 ) = 2671964,2 * Dạng 2 : Tìm số dư khi chia đa thức P ( x ) cho ( ax + b ) Phương pháp : Tính P ( – b / a ). KQ là số dư. VD : Tìm số dư khi chia đa thức x2 + 10 + ( x-1 ) ( x-2 ) ( x-3 ) ( x-4 ) cho ( 10 x – 3 ) ĐS : – 45,78407 * Dạng 3 : Tìm dư của P ( x ) Tìm dư của  P ( x1 ) = Ax1 + BP ( x ) là Ax + B với  trong đó x1và x2 là nghiệmax + bx + c  P ( x2 ) = Ax 2 + Bcủa ax2 + b x + c = 0V Ý dô : 1. Tìm số dưx3 + x 2 + x + 1 x 2 + 5 x − 6T a có nghiệm của mẫu số là – 6 và 1 nênP ( – 6 ) = – 185 = A ( – 6 ) + BP ( 1 ) = 4 = A ( 1 ) + BGiải hệ phương trình với ẩn là A và B Suy ra : A = 27, B = – 23. Số dư là 27 x – 23V Ý dô : 2. Cho P ( x ) = ax3 + bx2 + cx – 2007. Tìm a, b, c để P ( x ) chia cho ( x-13 ) dư 1, cho ( x – 3 ) dư 2 và ( x-14 ) dư 3 đúng chuẩn đến 2 chữ số thập phân. HD : Giải hệ phương trình được a = 3,69 ; b = – 110,62 ; c = 968,20. * Dạng khác : Tính tổng các thông số của đa thức. Tổng các thông số của đa thức P ( x ) chính làtính P ( 1 ) Ta có P ( x ) = anxn + …. + a0. Khi đó P ( 1 ) = an + …. + a0 chính là tổng các thông số. 16V í dụ : 1. Tớnh tng cỏc h s ca ( x2 + x + 1 ) 19T a cú P ( 1 ) = 319 = 1162261467V í dụ : 2. Tớnh tng cỏc h s ca ( 3×2 + 2 x + 1 ) 15 = ( trớch thi HSG lp 9 TP.Hồ Chí Minh 2005 ) S : E = 47018498457620.bi toỏn lói xut. Ví dụ : 1. a ) Mt ngi gi vo ngõn hng mt s tin lmt thỏng. Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói ra. Hi saung vi lói sut lm % thỏng ngi y nhn cbao nhiờu tin c gc ln lói. b ) p dng bng s : a = 10.000.000 m = 0,8, n = 12. c ) Mt ngi hng thỏng gi vo ngõn hng mt s tin lng vi lói sut lmt thỏng. Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói ra. Hi cui thỏng thm % ngi y nhnAn. Sau 1 năm tổngc bao nhiờu tin c gc ln lói. d ) Cho : a = 1.000.000, m = 0,8, n = 12. Hi s tin lói l bao nhiờu ? HD : a ) Ký hiệu lãi suất vay m % là x, số tiền cả gốc lẫn lãi sau năm thứsố tiền cả gốc lẫn lãi là : A1 = a + a. m % = a ( 1 + m % ) = a ( 1 + x ). làSau 2 năm tổng số tiền là : A2 = a ( 1 + x ) + a ( 1 + x ) x = a ( 1 + x ) 2. Làm tơng tự, sau 3 năm ta có : A3 = a ( 1 + x ) 2 + a ( 1 + x ) 2 x = a ( 1 + x ) 3. Sau 4 năm ta có : A4 = a ( 1 + x ) 4. Sau 5 năm ta có : SauA5 = a ( 1 + x ) 5. năm, số tiền cả gốc lẫn lãi là : An = An1 ( 1 + x ) = a ( 1 + x ) n1 ( 1 + x ) = a ( 1 + x ) nb ) vận dụng bằng số vớihay An = a ( 1 + x ) n = a ( 1 + m % ) n. a = 10.000.000 ; m = 0,8 ; n = 12 : A12 = 10.000.000 ì ( 1 + 0.008 ) 12. ấn phím : 10000000 ì [ ( 1 + 0.008 ) ] c ) Giả sử ngời ấy khởi đầu gửiSHIFT x y12 = ( 11003386.93 ). đồng vào ngân hàng nhà nước từ đầu tháng giêng với lãi suất vay làx. Cuối tháng giêng số tiền trong sổ tiết kiệm ngân sách và chi phí của ngời ấy sẽ là : a ( 1 + x ). Vì hàng tháng ngờiấy liên tục gửi vào tiết kiệm chi phí a đồng nên số tiền gốc của đầu tháng 2 sẽ là : a ( 1 + x ) + a = a [ ( 1 + x ) + 1 ] = Số tiền cuối tháng 2 là : [ ( 1 + x ) 2 1 ] = [ ( 1 + x ) 2 1 ] ( 1 + x ) 1 đồng. [ ( 1 + x ) 2 1 ] ( 1 + x ) = [ ( 1 + x ) 3 ( 1 + x ) ]. Vì đầu tháng ngời ấy liên tục gửi vàođồng nên số tiền gốc của đầu tháng 3 là : [ ( 1 + x ) 3 ( 1 + x ) ] + a = [ ( 1 + x ) 3 ( 1 + x ) + x ] = [ ( 1 + x ) 3 1 ]. Số tiền trong sổ cuối tháng 3 là : [ ( 1 + x ) 3 1 ] ( 1 + x ) = [ ( 1 + x ) 4 ( 1 + x ) ]. 17V ì hàng tháng ngời ấy liên tục gửi vào tiết kiệm4 sẽ là : đồng nên số tiền gốc của đầu tháng [ ( 1 + x ) 4 ( 1 + x ) ] + a = [ ( 1 + x ) 4 1 ]. Tơng tự, số tiền trong sổ tiết kiệm ngân sách và chi phí cuối thángn 1 là : [ ( 1 + x ) n 1 1 ] ( 1 + x ) = [ ( 1 + x ) n ( 1 + x ) ]. Số tiền của đầu tháng thứ [ ( 1 + x ) n ( 1 + x ) ] + a = [ ( 1 + x ) n 1 ]. là : Số tiền cả gốc lẫn lãi vào thời gian cuối tháng thứd ) vận dụng bằng số : a = 1.000.000 ; m = 0,8 ; n = 12. Số tiền lãi sau 1 năm bằng : 1 + 0.008 Min [ ( 1000000 ữĐáp số : a ) MR = là : [ ( 1 + x ) n 1 ] ( 1 + x ). A12 = ấn phím : một triệu ì [ ( 1 + 0.008 ) 12 1 ] ì ( 1 + 0.008 ) 0.008 A12 12 ì 1000000. ) ] SHIFT x y12 1 = ì [ ( 1 + MR ) ] ( 12642675.41 ) 12 ì 1000000 = a ( 1 + m % ) n ; b ) 11003387 đ ; c ) [ ( 1 + x ) n 1 ] ( 1 + x ), trong đóx = m % ; d ) 642. Vídụ : 2. Theo di chỳc, bn ngi con c hng s tin 9902490255 chia theo t lgia ngi con th I v ngi con th II l 2 : 3 ; t l gia ngi th II v ngi thIII l 4 : 5 ; t l gia ngi th III v ngi th IV l 6 : 7. S tin mi ngi con cnhn l bao nhiờuHD : Gọi số tiền mỗi ngời con nhận đợc làb = Mặt khác : VậyTính3a5b 5 3 a 15 a7c 7 15 a 35 a ; c = = ì ; d = = ì4 4 26 6 816 a + b + c + d = 9902490255. a + b + c + d = ( 1 + a 2 b 4 c 6 = ; = ; =. b 3 c 5 d 7T heo bài ra ta có : Suy ra : a, b, c, d3 15 35 + + ) ì a = 9902490255. 2 8 16 trên máy : 9902490255 ữ [ ( 1 + 3 ab / c 2 + 15 ab / c 8 + 35 ab / c 16 = ( 150895089 ) Tính tiếp b : 3 ab / c 2 = ( 2263426344 ) Tính tiếp c : 5 ab / c 4 = ( 2829282930 ) Tính tiếp d : 7 ab / c 6 = ( 3300830085 ) Đáp số : Số tiền của mỗi ngời là : I : 1508950896 đ ; II : 2263426344 đ ; III : 2829282930 đ ; IV : 3300830085 đ. 18V í dụ : 3. a ) Bạn An gửi tiết kiệm chi phí một số tiền khởi đầu là 1000000 đồng với lãi suất0, 58 % / tháng ( không kỳ hạn ). Hỏi bạn An phải gửi bao nhiêu tháng thì đợc cả vốn lẫn lãibằng hoặc vợt quá 1300000 đồng ? b ) Với cùng số tiền khởi đầu và cùng số tháng đó, nếu bạn An gửi tiết kiệm chi phí có kỳ hạn 3 tháng với lãi suất vay 0,68 % / tháng, thì bạn An sẽ nhận đợc số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu ? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi thángtrớc để tình lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ đợc cộng vào vốn để tính lãi trong kỳ hạntiếp theo ( nếu còn gửi tiếp ), nếu cha đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng d so với kỳ hạn sẽđợc tính theo lãi suất vay không kỳ hạnHD : a ) n = 46 ( tháng ) b ) 46 tháng = 15 quý + 1 tháng1361659, 061S ố tiền nhận đợc sau 46 tháng gửi có kỳ hạn : đồng1000000 ( 1 + 0.0068 ì3 ) 15 ì1, 0058 = 21. Dng khỏca. S thp phõn tun honVí dụ : 1.1 ) 0,123123123 = 123 / 9992 ) 4,353535. = 4 + 35/993 ) 2,45736736 .. = 2 + 45/100 + 736 / 99900V í dụ : 2. Tỡm ch s l thp phõn th 105 ca 17/13 HD : 17/13 = 1,307692307. Ta thy chu k l 6, m 105 3 ( mod 6 ) Nờn ch s l th 105 l 7V í dụ : 3. Tỡm s n N nh nht cú 3 ch s bit n121 cú 5 ch s u l 3. HD : Ta khụng th dựng mỏy tớnh c n121 vi n cú 3 ch s, nhng ta bit 123121 ; 12,3121 ; 1,23121 cú cỏc ch s ging nhau. Do ú 1,00121 = 1 ; 1,01121 = 3,333333 KQ : n = 101BT : 1 ) Tỡm ch s l thp phõn th 456456 ca 13/23 ( thi HSG 9 TP TP HCM 2003 ) S : 9.2 ) Tỡm ch s l thp phõn th 122005 ca 10000 / 17 ( thi HSG 9 TP Hồ Chí Minh 2005 ) S : 8. b ) Dng tỡm n an l s t nhiờn. Ví dụ : 1. Tỡm s t nhiờn n ( 1000HD : Vỡ ( 1000303,51441 57121 + 35.1000 57121 + 35 n 57121 + 35.2000 356,54032 Nờn 303V ỡ an2 = 57121 + 35 n nờn an2 – 1 = 35 ( 1632 + n ) phi chia ht cho 35 = 5.7 Chng t ( an-1 ) hoc ( an + 1 ) phi chia ht cho 7 hay an = 7 k + 1 hoc an = 7 k – 1 – Nu an = 7 k + 1 thỡ 304 < 7 k + 1 <3 56 hay 44V ỡ an2 - 1 chia ht cho 5 nờn k = 44 ; 45 ; 49 ; 50. t ú ta c a n = 309 ; 316 ; 344 ; 351 v n = 1096 ; 1221 ; 1749 ; 1888. - Nu an = 7 k - 1 thỡ 304 < 7 k - 1 <3 56 hay 4319V ì an2 - 1 chia hết cho 5 nên k = 45 ; 46 ; 50 ; 51. từ đó ta được a n = 314 ; 321 ; 349 ; 356 và n = 1185 ; 1312 ; 1848 ; 1889. Bài tập1. Tìm số tự nhiên n ( 10002. Tìm số tự nhiên n ( 1000V Ý dơ : 2. Để đắp một con đê, địa phương đã kêu gọi 4 nhóm người gồm học viên, nơng dân, cơng nhân và bộ đội. Thời gian thao tác như sau ( giả sử thời hạn thao tác của mỗi người trong một nhóm lànhư nhau ) : Nhóm bộ đội mỗi người thao tác 7 giờ ; nhóm cơng nhân mỗi người làm việc4 giờ ; Nhóm nơng dân mỗi người thao tác 6 giờ và nhóm học viên mỗi em thao tác 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền tu dưỡng như nhau cho từng người trong một nhómtheo cách : Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng ; Nhóm cơng nhân mỗi người nhận30. 000 đồng ; Nhóm nơng dân mỗi người nhận 70.000 đồng ; Nhóm học viên mỗi em nhận2. 000 đồng. Cho biết : Tổng số người của bốn nhóm là 100 người. Tổng thời hạn thao tác của bốn nhóm là 488 giờTổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng. Tìm xem số người trong từng nhóm là bao nhiêu người. HD : Gọi x, y, z, t lần lượt là số người trong nhóm học viên, nơng dân, cơng nhân và bộđội. Điều kiện : x, y, z, t ∈ Ζ +, 0 < x, y, z, t < 100T a có hệ phương trình :  x + y + z + t = 100  11 y + 7 z + 13 t = 876 ⇒   0,5 x + 6 y + 4 z + 7 t = 488  17 y + 7 z + 12 t = 1290  2 x + 70 y + 30 z + 50 t = 5360 ⇒ t = 6 y − 414 do 0 < t < 100 ⇒ 69 < y < 86T ừ 11 y + 7 z + 13 t = 876 ⇒ z = 876 − 11 y − 13 tDùng X ; Y trên máy và dùng A thay cho z, B thay cho t trong máy để dò : n 69 SHIFT STO YGhi vào màn hình hiển thị : Y = Y + 1 : B = 6Y – 414 : A = ( 876 – 11Y – 13B ) ÷ 7 : X = 100 – Y – B – An =. .. = để thử các giá trò của Y từ 70 đến 85 để kiểm tra các số B, A, X là sốnguyên dương và nhỏ hơn 100 là đáp số. Ta được : Y = 70 ; B = 6 ; A = 4 ; X = 6 ĐS : Nhóm bộ đội : 6 người ; Nhóm cơng nhân : 4 ngườiNhóm nơng dân : 70 người ; Nhóm học viên : 20 ngườiIV. HÌNH HỌCA. Một số cơng thức hay sử dụng : a ) Định lý Pitago a2 = b2 + c2b ) Định lý Ceva : AM, BN, CP đồng quyMB NC PA = − 1NC NA PBc ) Định lý Mencleit : M, N, P thẳng hàng20MB NC PA = 1NC NA PBd ) Công thức lượng giác : * ) Tam giác vuông : BA2 = BH.BCBC 2 = AC2 + AB2AH2 = HB.HCAHABAC 2 * ) Tam giác thường : BC 2 - Trung tuyến : AM 2 = ( AB 2 + AC 2 ) − = 2R - Định lý hàm số Sin : sin A sin B sin C - Định lý hàm số Cosin : a2 = b2 + c2-2bccosA - Diện tích : S = aha = ab sin C = pr = - Đường phân giác : l = 2 bc cosb + cabc4Rp ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) a2 3 a 3 * ) Tam giác đều : Diện tích, chiều cao : S = ; ha = ΠR α * ) Diện tích hình quạt : S = 360 0 e ) Diện tích, thể tích : - Hình chóp : V = Bh - Hình nón : V = ΠR 2 h ; S xq = ΠRl - Hình chóp cụt : V = ( B + BB ' + B ' ) h - Hình nón cụt : V = Π ( R 2 + RR ' + R ' 2 ) h ; S xq = Π ( R + R ' ) l - Hình trụ : V = ΠR h ; S xq = 2 ΠRh - Hình chỏm cầu : V = Πh 2 ( R − ) ; S = 2 ΠRh - Hình cầu : V = ΠR 3 ; S xq = 4 ΠR 2B. Một số dạng toán : 1. Hệ thức lượng giác trong tam giác. VD1 : Cho tam giác ABC biết AB = 5 dm ; BC = 4 dm ; CA = 8 dm tính các góc. ĐS : A ≈ 24 0 8 ' 49 " ; B ≈ 125 0 5 ' 59 " ; C ≈ 30 0 45 ' 12 " VD2 : Cho tam giác ABC biết AB = 5 dm ; AC = 4 dm ; góc A = 46034 ’ 25 ” 1. Tính chu vi. ĐS : 2 p ≈ 12,67466 dm2. Tính gần đúng diện tích quy hoạnh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCĐS : S ≈ 20,10675 dm2. VD3 : Cho tam giác ABC biết AB = 6 dm ; góc A = 84013 ’ 38 ” ; B = 34051 ’ 33 ”. 21T ính diện tích quy hoạnh tam giác. ĐS : S ≈ 20,49315 dm2. VD4 : Tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC biết A ( 8 ; - 3 ) ; B ( - 5 ; 2 ) ; C ( 5 ; 7 ). Tính diện tích quy hoạnh tam giác. ĐS : S = 75,7 ĐVDT.VD 5 : Tính diện tích quy hoạnh tứ giác ABCD biết A ( - 3 ; 4 ) ; B ( 2 ; 3 ) ; C ( 2 ; 5 ) ; D ( - 4 ; - 3 ). S ≈ 37,46858 ĐVDT.VD 6 : Tính gần đúng diện tích quy hoạnh và chu vi của đa giác 50 cạnh nội tiếp đường tròn bánkính 1 dm. ĐS : S ≈ 3,13333 dm2. C ≈ 6,27905 dmVD7 : Cho tam giác ABC có AB = 8 cm ; BC = 7 cm ; CA = 5 cm. Vẽ 3 đường caoAA ’ ; BB ’ ; CC ’. Tính diện tích quy hoạnh tam giác A’B ’ C ’. HD : S ' = 1 - ( cos2A + cos2B + cos2C ) = 2 cosAcosBcosC = 1,9441 cm2. 2. Hệ thức lượng trong đường tròn. VD : Hai dây cung AB và CD cắt nhau tại I nằm trong đường tròn ( O ). Tính IA, IBbiết IC = 15, 3 cm ; ID = 17,5 cm ; AB = 34,7 cm.  IA.IB = IC.ID  IA = 11,6 cm ⇒  IAIBAB  IB = 23,1 cmHD :  3. Đường thẳng : VD : D1 : 2 x - 3 y - 1 = 0D2 : 5 x - 2 y + 4 = 0. Tìm giao và góc giữa 2 đường thẳng này. ĐS : ( - 14/11 ; - 13/11 ) và cos ( D1 ; D2 ) = 34030 ’ 30 ” 4. Một số bài toán về tam giác. VD122VD2 : Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK, BI vuông góc vớiCD và AD. Gọi H là trực tâm của tam giác BIK. Tính bh biết BD = 17 cm ; IK = 15 cm. 23VD3 : Cho hình vuông vắn ABCD nội tiếp ( O, 12 ). Một điểm M bất kể thuộc ( O ). Tínhchính xác đến 3 chữ số thập phân. VD4 : Cho tam giác PQR, gọi S là 1 điểm thuộc cạnh QR, U là 1 điểm thuộc cạnhPR, giao điểm của PS và QU là T. Cho biết PT = TS, QS = 2 RS và diện tích quy hoạnh tam giácPQR là 150. Tính diện tích quy hoạnh tam giác PSU.GiảiS ( PSR ) = S ( PQR ) / 3 = 50V ẽ SK ( không có trong hình ) tuy nhiên songvới QU ( K thuộc PR ) 24 => RK = RU / 3, PU = PK => PU = 2/5 * PR => S ( PSU ) = 2/5 * S ( PSR ) = 20 ( dvdt ) 5. Một số bài toán về Đa giác và hình trònBài 5.1 ( Sở GD và ĐT Đồng Nai, 1998, vòngTỉnh, cấp PTTH và PTCS ) Một ngôi sao 5 cánh năm cánh có khoảng cách giữa hai đỉnhkhông liên tục là9, 651 cm. Tìm nửa đường kính đường trònngoạitiếp ( qua 5 đỉnh ). Giải : Ta có công thức tính khoảng chừng cáchgiữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi sao 5 cánh năm cánh đềuvẽ ) : AC = d = 2 R cos18o = R 10 + 2 5. Công thức ( hìnhlà hiển nhiên. d = 2 R cos18o10 + 2 5 hoàn toàn có thể chứng tỏ như sau : 1 + cos 36 o 1 + sin 54 o 1 + 3 sin18o − 4 sin 3 18 oTa có : 1 − sin 2 18 o = cos 2 18 o = hay 4 sin 3 18 o − 2 sin 2 18 o − 3 sin18o + 1 = 0. . Công thứcSuy racos18o = là nghiệm của phương trình : sin18oVậysin18o = haycos18o = − 1 + 5T ừ đây ta có : 4 x3 − 2 x 2 − 3 x + 1 = ( x − 1 ) ( 4 x 2 + 2 x − 1 ) = 0. 5 − 1 2 10 + 2 5 ) = 16 cos 2 18 o = 1 − sin 2 18 o = 1 − ( 10 + 2 510 + 2 516S uy raR 10 + 2 5, ,, ÷ 18 cos = d = 2 R cos18o = vàR = 2 d2 cos1810 + 2 5C ách giải 1 : 9.651 ÷ 2 ( 5.073830963 ) ) ] = ( 5.073830963 ) Cách giải 2 : 2 × 9.651 ÷ [ ( [ ( 10 + 2 × 5 Đáp số : 5,073830963. Bài 5.2 ( Sở GD và ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vòng 1 ) Tính khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tục của một ngôi sao 5 cánh 5 cánh nội tiếp trongđường tròn nửa đường kính R = 5, 712 cm. Cách giải 1 : Ta có công thức tính khoảng cách giữa hai đỉnh không kề nhau của ngôi saonăm cánh ( xem hình vẽ và chứng tỏ bài 5.1 ) : d = 2 R cos18o = R 10 + 2 5T ính : MODE 4 2 × 5.712 × 18 o, ,, cos = ( 10.86486964 ) = × 5.712 = ÷ 2 = ( 10,86486964 ) Cách giải 2 : 10 + 2 × 5 Đáp số : 10,86486964. Bài 5.3. Cho đường tròn tâm O, nửa đường kính R = 11, 25 cm. Trên đường Btròn đã cho, đặtcác cung AB = 90 o, BC = 120 o sao cho A và C nằmBOcùng một phía đối với25

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập