1. ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).$
2. ${a^{f\left( x \right)}} = b = {a^{{{\log }_a}b}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}b.$
3. ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right){\log _a}b.$
4. ${a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}}$ $(1).$
+ Nếu $a > 1$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right).$
+ Nếu $0 < a < 1$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right).$
Hay $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\left( {a – 1} \right)\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right) > 0
\end{array} \right.$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1\\
f\left( x \right) = g\left( x \right)
\end{array} \right.$
Logarit hóa và đưa về cùng cơ số:
+ Dạng 1: Phương trình: ${a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1,b > 0\\
f\left( x \right) = {\log _a}b
\end{array} \right.$
+ Dạng 2: Phương trình:
${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{f\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b$ hoặc ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$ $⇔ {\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).$
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${2^{{x^2} – x + 8}} = {4^{1 – 3x}}.$
2. ${5^{x + 1}} – {5^x} = {2^{x + 1}} + {2^{x + 3}}.$
Bạn đang đọc: Phương pháp giải phương trình mũ và bất phương trình mũ (Phần 1) – https://vietsofa.vn
1. ${2^{{x^2} – x + 8}} = {4^{1 – 3x}}$ $ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – x + 8}} = {2^{2\left( {1 – 3x} \right)}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x + 8 = 2\left( {1 – 3x} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow x = – 2, x = – 3.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = – 2, x = – 3.$
2. ${5^{x + 1}} – {5^x} = {2^{x + 1}} + {2^{x + 3}}$ $ \Leftrightarrow {5.5^x} – {5^x} = {2.2^x} + {2^3}{.2^x}$
$ \Leftrightarrow {4.5^x} = {10.2^x}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2}$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$
Ví dụ 2.Giải các phương trình:
1. ${8^{\frac{x}{{x + 2}}}} = {36.3^{2 – x}}.$
2. $\sqrt {{2^x}.\sqrt[3]{{{4^x}}}.\sqrt[{3{\rm{x}}}]{{0.125}}} = 4\sqrt[3]{2}.$
1. Điều kiện: $x \ne – 2.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {2^{\frac{{3x}}{{x + 2}}}} = {2^2}{.3^{4 – x}}$ $ \Leftrightarrow {2^{\frac{{x – 4}}{{x + 2}}}} = {3^{4 – x}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{x – 4}}{{x + 2}}{\log _3}2 = 4 – x$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x + 2 + {{\log }_3}2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = – 2 – {\log _3}2.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm: $x = 4$ hoặc $x = – 2 – {\log _3}2.$
2. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{3}\\
3x \in N
\end{array} \right.$
Vì các cơ số của các lũy thừa đều viết được dưới dạng lũy thừa cơ số $2$ nên ta biến đổi hai vế của phương trình về lũy thừa cơ số $2$ và so sánh hai số mũ.
Phương trình $ \Leftrightarrow \sqrt {{2^x}{{.2}^{2.\frac{x}{3}}}.{{\left( {\frac{1}{8}} \right)}^{\frac{1}{{{\rm{3x}}}}}}} $ $ = {2^2}{.2^{\frac{1}{3}}}$ $ \Leftrightarrow {2^{\frac{x}{2}}}{.2^{\frac{x}{3}}}{2^{\frac{{ – 1}}{{{\rm{2x}}}}}} = {2^{\frac{7}{3}}}$
$ \Leftrightarrow {2^{\frac{x}{2} + \frac{x}{3} – \frac{1}{{2x}}}} = {2^{\frac{7}{3}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{x}{3} – \frac{1}{{2x}} = \frac{7}{3}$ $ \Leftrightarrow 5{x^2} – 14x – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{1}{5}$ hoặc $x = 3.$
Kết hợp với điều kiện ta có $x = 3$ là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3. Giải phương trình: ${4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{2{x^2} + 6x + 5}}$ $ = {4^{3{x^2} + 3x + 7}} + 1.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}} + {4^{2{x^2} + 6x + 5}}$ $ = {4^{{x^2} – 3x + 2}}{.4^{2{x^2} + 6x + 5}} + 1$
$ \Leftrightarrow {4^{{x^2} – 3x + 2}} – 1 + {4^{2{x^2} + 6x + 5}}$ $ – {4^{{x^2} – 3x + 2}}{.4^{2{x^2} + 6x + 5}} = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{4^{{x^2} – 3x + 2}} – 1} \right)\left( {{4^{2{x^2} + 6x + 5}} – 1} \right) = 0.$
${4^{{x^2} – 3x + 2}} = 1$ $ \Rightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$
${4^{2{x^2} + 6x + 5}} = 1$ $ \Rightarrow 2{x^2} + 6x + 5 = 0$, phương trình này vô nghiệm.
Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm: $x = 1$, $x = 2.$
Dạng 2. Đặt ẩn phụ
Phương pháp: $f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
t = {a^{g\left( x \right)}} > 0\\
f\left( t \right) = 0
\end{array} \right.$
+ Dạng 1: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: $F\left( {{a^{f\left( x \right)}}} \right) = 0.$ Với dạng này ta đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ và chuyển về phương trình $F\left( t \right) = 0$, giải tìm nghiệm dương $t$ của phương trình, từ đó ta tìm được $x.$ Ta thường gặp dạng: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0.$ Với bất phương trình ta cũng làm tương tự.
+ Dạng 2: $m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0$, trong đó $a.b = 1.$
Đặt $t = {a^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$ $ \Rightarrow {b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}.$
+ Dạng 3: $m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0$. Chia $2$ vế phương trình cho ${b^{2f\left( x \right)}}$ và đặt $t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}$, $t > 0$. Ta có phương trình: $m{t^2} + nt + p = 0.$
Ví dụ 4. Giải các phương trình:
1. ${2.16^x} – {15.4^x} – 8 = 0.$
2. ${2^{3x}} – {6.2^x} – \frac{1}{{{2^{3(x – 1)}}}} + \frac{{12}}{{{2^x}}} = 1.$
1. Đặt $t = {4^x}, t > 0$ ta có phương trình $2{t^2} – 15t – 8 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 8, t = – \frac{1}{2}$ (loại).
Với $t = 8$ $ \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 3.$
2. Đặt $t = {2^x}, t > 0$ ta có: ${t^3} – 6t – \frac{8}{{{t^3}}} + \frac{{12}}{t} = 1$ $ \Leftrightarrow \left( {{t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}} \right) – 6\left( {t – \frac{2}{t}} \right) – 1 = 0.$
Đặt $y = t – \frac{2}{t}$ $ \Rightarrow {t^3} – \frac{8}{{{t^3}}}$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left( {{t^2} + \frac{4}{{{t^2}}} + 2} \right)$ $ = \left( {t – \frac{2}{t}} \right)\left[ {{{(t – \frac{2}{t})}^2} + 6} \right]$ $ = y({y^2} + 6).$
Nên ta có phương trình: ${y^3} – 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Leftrightarrow t – \frac{2}{t} = 1$
$ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$
Xem thêm: Hướng dẫn cách giải Rubik 4×4 cơ bản
Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1. ${3.8^x} + {4.12^x} – {18^x} – {2.27^x} = 0.$
2. ${9^{ – {x^2} + 2x + 1}} – {34.15^{2x – {x^2}}}$ $ + {25^{2x – {x^2} + 1}} = 0.$
1. Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{3x}} + 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 2 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}, t > 0$ ta được: $3{t^3} + 4{t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t + 1)(3{t^2} + t – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$
2. Phương trình $ \Leftrightarrow {9.9^{2x – {x^2}}} – {34.15^{2x – {x^2}}} + {25.25^{2x – {x^2}}} = 0$
$ \Leftrightarrow 9{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2(2x – {x^2})}} – 34{\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} + 25 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2{\rm{x}} – {x^2}}}, t > 0.$
Ta có phương trình: $9{t^2} – 34t + 25 = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = \frac{{25}}{9}.$
+ Với $t = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2x – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0; x = 2.$
+ Với $t = \frac{{25}}{9} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – {x^2}}} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 .$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $x = 0; x = 2; x = 1 \pm \sqrt 3 .$
Ví dụ 6. Giải các phương trình:
1. ${2^{2{x^2} + 1}} – {9.2^{{x^2} + x}} + {2^{2x + 2}} = 0.$
2. $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}.$
1. Chia cả $2$ vế phương trình cho ${2^{2x + 2}} \ne 0$ ta được:
${2^{2{x^2} – 2x – 1}} – {9.2^{{x^2} – 2x – 2}} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}{.2^{2{x^2} – 2x}} – \frac{9}{4}{.2^{{x^2} – x}} + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {2.2^{2{x^2} – 2x}} – {9.2^{{x^2} – x}} + 4 = 0.$
Đặt $t = {2^{{x^2} – x}}, t > 0.$ Khi đó phương trình cho viết lại:
$2{t^2} – 9t + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{{x^2} – x}} = {2^2}\\
{2^{{x^2} – x}} = {2^{ – 1}}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – x = 2\\
{x^2} – x = – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 2
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x = – 1, x = 2.$
Chú ý: Để ý bài toán cho không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ là $t > 0$ và nếu $t = \frac{1}{2}$ vô nghiệm. Nếu bài toán có chứa tham số thì điều kiện đúng của: ${x^2} – x = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} \ge – \frac{1}{4}$ $ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – x}} \ge {2^{\frac{1}{4}}} \Leftrightarrow t \ge \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}.$
2. Phương trình cho viết lại: $\frac{8}{{{2^{x – 1}} + 1}} + \frac{1}{{{2^{1 – x}} + 1}} = \frac{{18}}{{{2^{x – 1}} + {2^{1 – x}} + 2}}$ $(*).$
Đặt: $u = {2^{x – 1}} + 1$, $v = {2^{1 – x}} + 1$ $\left( {u,v > 1} \right).$
Phương trình $(*)$ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{8}{u} + \frac{1}{v} = \frac{{18}}{{u + v}}\\
u + v = uv
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + 8v = 18\\
u + v = uv
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow u = v = 2$ hoặc $u = 9; v = \frac{9}{8}.$
+ Với $u = v = 2$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x – 1}} + 1 = 2\\
{2^{1 – x}} + 1 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.$
+ Với $u = 9; v = \frac{9}{8}$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{x – 1}} + 1 = 9\\
{2^{1 – x}} + 1 = \frac{9}{8}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1, x = 4.$
[ads]
Dạng 3. Logarit hóa
Phương pháp:
+ Dạng 1: ${a^{g\left( x \right)}} = f\left( x \right)$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0\\
g\left( x \right) = {\log _a}f\left( x \right)
\end{array} \right.$
+ Dạng 2: ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$ $\left( {0 < a, b \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b.$
Ví dụ 7. Giải các phương trình:
1. ${({x^2} + 1)^{\left| {{x^2} – 5x + 4} \right|}} = {({x^2} + 1)^{x + 4}}.$
2. ${5^x}{.8^{\frac{{x – 1}}{x}}} = 500.$
1. Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 1 = 1\\
\left| {{x^2} – 5x + 4} \right| = x + 4
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 4\\
{({x^2} – 5x + 4)^2} – {(x + 4)^2} = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 4\\
({x^2} – 4x + 8)({x^2} – 6x) = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0, x = 6$ là nghiệm của phương trình đã cho.
Chú ý: Lấy logarit $2$ vế, bài toán cho lời giải đẹp.
2.
Cách 1: ${5^x}{.8^{\frac{{x – 1}}{8}}} = 500$ $ \Leftrightarrow {5^x}{.2^{3\frac{{x – 1}}{x}}} = {5^3}{.2^2}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}}{.2^{\frac{{x – 3}}{x}}} = 1.$
Lấy logarit cơ số $2$ vế, ta được: ${\log _2}\left( {{5^{x – 3}}{{.2}^{\frac{{x – 3}}{x}}}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^{x – 3}}} \right) + {\log _2}\left( {{2^{\frac{{x – 3}}{x}}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right).{\log _2}5 + \frac{{x – 3}}{x}{\log _2}2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = – \frac{1}{{{{\log }_2}5}} = – {\log _5}2
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm phân biệt: $x = 3, x = – {\log _5}2.$
Cách 2: Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {5^x}{.2^{\frac{{3\left( {x – 1} \right)}}{x}}} = {5^3}{.2^2}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {2^{\frac{{3 – x}}{x}}}$ $ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {\left( {{2^{ – \frac{1}{x}}}} \right)^{x – 3}}$
$ \Leftrightarrow {5^{x – 3}} = {\left( {\frac{1}{{{2^{\frac{1}{x}}}}}} \right)^{x – 3}}$ $ \Leftrightarrow {\left( {{{5.2}^{\frac{1}{x}}}} \right)^{x – 3}} = 1$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – 3 = 0\\
{5.2^{\frac{1}{x}}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = – {\log _5}2
\end{array} \right.$
Ví dụ 8. Giải các phương trình:
1. ${x^6}{.5^{ – {{\log }_x}5}} = {5^{ – 5}}.$
2. ${49.2^{{x^2}}} = {16.7^x}.$
3. ${8^x}{.5^{{x^2} – 1}} = {2^{ – 3}}.$
1. Điều kiện: $0 < x \ne 1.$
Lấy logarit cơ số $5$ cả hai vế phương trình cho ta được:
${\log _5}\left( {{x^6}{{.5}^{ – {{\log }_x}5}}} \right) = {\log _5}{5^{ – 5}}$ hay $6{\log _5}x – {\log _x}5 = – 5$
$ \Leftrightarrow 6{\left( {{{\log }_5}x} \right)^2} + 5{\log _5}x – 1 = 0$ $(*).$
Đặt $t = {\log _5}x$, phương trình $(*)$ trở thành $6{t^2} + 5t – 1 = 0$, phương trình này có hai nghiệm $t = – 1$ hoặc $t = \frac{1}{6}.$
+ Với $t = – 1$ tức ${\log _5}x = – 1$ $ \Leftrightarrow x = {5^{ – 1}} = \frac{1}{5}.$
+ Với $t = \frac{1}{6}$ tức ${\log _5}x = \frac{1}{6}$ $ \Leftrightarrow x = {5^{\frac{1}{5}}} = \sqrt[6]{5}.$
Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm: $x \in \left\{ {\sqrt[6]{5};\frac{1}{5}} \right\}.$
2. Phương trình cho tương đương ${2^{{x^2} – 4}} = {7^{x – 2}}$ $(*).$
Lấy logarit cơ số $2$ hai vế phương trình $(*)$ ta được: ${\log _2}{2^{{x^2} – 4}} = {\log _2}{7^{x – 2}}$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4 = \left( {x – 2} \right){\log _2}7$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2 – {{\log }_2}7} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = {\log _2}7 – 2.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = {\log _2}7 – 2$, $x = 2.$
3. Lấy logarit hai vế với cơ số $8$, ta được:
${\log _8}{8^x}{.5^{{x^2} – 1}} = {\log _8}\frac{1}{8}$ $ \Leftrightarrow {\log _8}{8^x} + {\log _8}{5^{{x^2} – 1}} = {\log _8}{8^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow x + \left( {{x^2} – 1} \right){\log _8}5 = – 1$ $ \Leftrightarrow x + 1 + \left( {{x^2} – 1} \right){\log _8}5 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right){\log _8}5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {1 + \left( {x – 1} \right){{\log }_8}5} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
1 + \left( {x – 1} \right){\log _8}5 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x.{\log _8}5 = {\log _8}5 – 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 1 – {\log _5}8
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = – 1, x = 1 – {\log _5}8.$
Dạng 4. Ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 9. Giải các phương trình:
1. ${3.4^x} + (3x – 10){2^x} + 3 – x = 0.$
2. ${9^x} – 2\left( {x + 5} \right){.3^x} + 9\left( {2x + 1} \right) = 0.$
1. Đặt $t = {2^x}, t > 0$, ta có phương trình:
$3{t^2} + (3x – 10)t + 3 – x = 0$ $(1).$
Ta xem $(1)$ là phương trình bậc hai ẩn $t$ và $x$ là tham số.
Phương trình này có: $\Delta = {(3x – 10)^2} – 12(3 – x) = {(3x – 8)^2}$
$ \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ hoặc $t = – x + 3.$
+ Với $t = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {2^x} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = – {\log _2}3.$
+ Với $t = – x + 3$ $ \Leftrightarrow {2^x} + x = 3 \Leftrightarrow x = 1$ (Do $VT$ là một hàm đồng biến).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = – {\log _2}3; x = 1.$
2. Đặt $t = {3^x},$ $t > 0.$
Phương trình cho trở thành: ${t^2} – 2\left( {x + 5} \right)t + 9\left( {2x + 1} \right) = 0$ $(*)$, phương trình này có biệt số $\Delta’ = {\left( {x + 5} \right)^2} – 9\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x – 4} \right)^2}.$
Vì $\Delta’ \ge 0$ nên phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm: $t = 9$ hoặc $t = 2x + 1.$
+ Với $t = 9$ tức ${3^x} = 9 ⇔ x = 2.$
+ Với $t = 2x + 1$ tức ${3^x} = 2x + 1$ $⇔x = 0$ hoặc $x = 1$ (Phương trình ${3^x} = 2x + 1$ có thể giải bằng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = 3^x – 2x – 1$ sẽ được đề cập ở dạng 5).
Vậy, phương trình cho có $3$ nghiệm: $x = 0$, $x = 1$, $x = 2.$
XEM TIẾP PHẦN 2: Phương pháp giải phương trình mũ và bất phương trình mũ (Phần 2)
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours