Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

Nếu như việc chứng minh công thức tính độ dài đường phân giác khá phức tạp thì việc chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến lại dễ hơn khá nhiều !
Thật vậy, bạn chỉ cần vận dụng định lý hàm côsin và hệ quả của định lý hàm côsin là xong .
Vâng, trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này mình chỉ chứng minh công thức cho một đường trung tuyến mà thôi, hai đường trung tuyến còn lại các bạn chứng minh tương tự ha,

#1. Đường trung tuyến là gì?

Khi nhắc đến khái niệm đường trung tuyến thì mặc định tất cả chúng ta sẽ hiểu là đường trung tuyến trong tam giác .
Đường trung tuyến trong tam giác là một đường thẳng đi qua đỉnh và đi qua trung điểm của cạnh đối lập .
Mỗi tam giác sẽ có ba đường trung tuyến, ba đường này sẽ đồng quy ( giao nhau ) tại một điểm và điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác .

Ví dụ như hình bên trên: $AA’, BB’, CC’$ lần lượt là ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$
Và USD G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $

#2. Tính chất đường trung tuyến

Đối với đường trung tuyến trong tam giác thì tất cả chúng ta sẽ có 3 đặc thù như sau :

• 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó sẽ cách các đỉnh của tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Giao điểm của 3 đường trung tuyến thì được gọi là trọng tâm.
• Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng với độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:
Vâng, tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt quan trọng của tam giác. Tam giác vuông luôn có một góc bằng 90 o, và hai cạnh tạo nên góc này sẽ vuông góc với nhau .
Vậy nên đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có rất đầy đủ những đặc thù của một đường trung tuyến trong tam giác thường. Ngoài ra, có 2 định lý rất quan trọng mà bạn cần phải nhớ đó là :

• Định lý 1: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ bằng một nửa cạnh huyền.
• Định lý 2: Ngược lại, một tam giác mà có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy sẽ là tam giác vuông.

Chúng ta sẽ sử dụng 2 định lý này rất nhiều trong quy trình giải bài tập, vậy nên bạn hãy nhớ nhé !
Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân:

• Đối với 2 loại tam giác đặc biệt này thì đường trung tuyến ứng với cạnh đáy sẽ vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác ra thành 2 tam giác bằng nhau.

#3. Nhắc lại một số công thức có liên quan

Định lí côsin và hệ quả của định lý côsin là kỹ năng và kiến thức mà bạn phải nắm được nếu muốn chứng minh được công thức tính độ dài đường trung tuyến .

3.1. Định lý côsin

Trong tam giác USD ABC USD, với $ BC = a, CA = b, AB = c USD ta luôn có USD a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2 bc \ cos A $, USD b ^ 2 = c ^ 2 + a ^ 2-2 ca \ cos B USD, USD c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2 ab \ cos C USD


Chú ý:
Định lý côsin là định lý mở rộng của định lý Pytago

3.2. Hệ quả của định lý Côsin

Xuất phát từ định lý côsin, viết những công thức tính giá trị của $ \ cos A, \ cos B, \ cos C $ theo $ a, b, c USD tất cả chúng ta sẽ thu được hệ quả của định lý côsin .
USD \ cos A = \ frac { b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 } { 2 bc } $, $ \ cos B = \ frac { c ^ 2 + a ^ 2 – b ^ 2 } { 2 ca } $, $ \ cos C = \ frac { a ^ 2 + b ^ 2 – c ^ 2 } { 2 ab } $

#4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác $ ABC $ có $ AA ’, BB ’, CC ’ $ lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ những đỉnh $ A, B, C USD
Đặt $ BC = a, CA = b, AB = c, AA ’ = m_a, BB ’ = m_b, CC ’ = m_c USD

Lúc này độ dài những đường trung tuyến sẽ được tính theo công thức :
USD m_a = \ sqrt { \ frac { b ^ 2 + c ^ 2 } { 2 } – \ frac { a ^ 2 } { 4 } } $, USD m_b = \ sqrt { \ frac { c ^ 2 + a ^ 2 } { 2 } – \ frac { b ^ 2 } { 4 } } $, USD m_c = \ sqrt { \ frac { a ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } – \ frac { c ^ 2 } { 4 } } $

#5. Các bước chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến

Chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến USD m_a = \ sqrt { \ frac { b ^ 2 + c ^ 2 } { 2 } – \ frac { a ^ 2 } { 4 } } $

Áp dụng định lý côsin vào tam giác $ ABA ’ $ ta được USD m_a ^ 2 = \ left ( \ frac { a } { 2 } \ right ) ^ 2 + c ^ 2-2 \ frac { a } { 2 } c \ cos B USD
Áp dụng hệ quả của định lí côsin vào tam giác $ ABC $ ta được :
USD \ cos B = \ frac { a ^ 2 + c ^ 2 – b ^ 2 } { 2 ac } $, thay $ \ cos B = \ frac { a ^ 2 + c ^ 2 – b ^ 2 } { 2 ac } $ vào USD m_a ^ 2 = \ left ( \ frac { a } { 2 } \ right ) ^ 2 + c ^ 2-2 \ frac { a } { 2 } c \ cos B $ ta được USD m_a ^ 2 = \ left ( \ frac { a } { 2 } \ right ) ^ 2 + c ^ 2-2 \ frac { a } { 2 } c \ frac { a ^ 2 + c ^ 2 – b ^ 2 } { 2 ac } $ $ ( * ) USD
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } + c ^ 2 – \ frac { a ^ 2 + c ^ 2 – b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } + \ frac { 2 c ^ 2 } { 2 } – \ frac { a ^ 2 + c ^ 2 – b ^ 2 } { 2 } $
$(*) \Leftrightarrow m_a^2=\frac{a^2}{4}+\frac{2c^2-(a^2+c^2-b^2)}{2}$

USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } + \ frac { 2 c ^ 2 – a ^ 2 – c ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } + \ frac { c ^ 2 – a ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } – \ frac { a ^ 2 } { 2 } + \ frac { c ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = \ frac { a ^ 2 } { 4 } – \ frac { 2 a ^ 2 } { 4 } + \ frac { c ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Leftrightarrow m_a ^ 2 = – \ frac { a ^ 2 } { 4 } + \ frac { c ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } $
USD ( * ) \ Rightarrow m_a = \ sqrt { – \ frac { a ^ 2 } { 4 } + \ frac { c ^ 2 + b ^ 2 } { 2 } } $
Chứng minh hoàn thành …
Gợi ý cách chứng minh công thức tính độ dài đường trung tuyến USD m_b USD và $ m_c USD

• Áp dụng định lý côsin vào tam giác $B’BC$ ta được $m_b^2=\left(\frac{b}{2}\right)^2+a^2-2\frac{b}{2}a\cos C$
• Áp dụng định lý côsin vào tam giác $C’CB$ ta được $m_c^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2+a^2-2\frac{c}{2}a\cos B$

#6. Công thức tính độ dài trong những tam giác đặc biệt

Trong những tam giác đặc biệt quan trọng ( tam giác đều, tam giác cân ) sẽ có những công thức tính đặc biệt quan trọng, giúp bạn tính nhanh hơn .
Vì công thức tính đặc biệt quan trọng đơn thuần hơn công thức tính tổng quát nên tất cả chúng ta thường cố gắng nỗ lực tìm – chứng minh – sử dụng chúng .

6.1. Tam giác đều

Cho tam giác đều $ ABC $ có $ AA ’, BB ’, CC ’ $ lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ những đỉnh $ A, B, C USD
Đặt USD BC = CA = AB = a, AA ’ = m_a, BB ’ = m_b, CC ’ = m_c USD

Lúc này độ dài những đường trung tuyến của tam giác $ ABC $ sẽ được tính theo công thức USD m_a = m_b = m_c = \ frac { a \ sqrt { 3 } } { 2 } $

6.2. Tam giác cân

Cho tam giác cân $ ABC $ ( cân tại $ A $ ) có $ AA ’, BB ’, CC ’ $ lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ những đỉnh $ A, B, C USD
Đặt $ BC = a, CA = AB = b, AA ’ = m_a, BB ’ = m_b, CC ’ = m_c USD

Lúc này độ dài những đường trung tuyến của tam giác $ ABC $ sẽ được tính theo những công thức USD m_a = \ sqrt { b ^ 2 – \ frac { a ^ 2 } { 4 } } $, USD m_b = m_c = \ sqrt { \ frac { a ^ 2 } { 2 } + \ frac { b ^ 2 } { 4 } } $

#7. Lời kết

Vâng, trên đây là vừa đủ khái niệm, đặc thù đường trung tuyến, cũng như là cách tính độ dài đường trung tuyến của tam giác .
Một bộ phân không nhỏ những bạn học viên, thậm chí còn là sinh viên không khi nào đọc những chứng minh .
Đây thực sự là một hạn chế khá lớn, bởi việc đọc những chứng minh không chỉ giúp bạn nhớ được công thức, định lý mà còn gián tiếp giúp bạn rèn luyện năng lực suy luận, tư duy, cũng như kiến thức và kỹ năng chứng minh, …
Vậy nên bạn hãy nỗ lực đọc những chứng minh nhé, hãy khởi đầu ngay với chứng minh của mình, mình đã nỗ lực trình diễn chi tiết cụ thể nhất hoàn toàn có thể, vậy nên mình tin chắc là bạn hoàn toàn có thể hiểu được một cách thuận tiện .
Hi vọng bài viết này sẽ hữu dụng với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại những bạn trong những bài viết tiếp theo !
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn

Bài viết đạt : 5/5 sao – ( Có 1 lượt nhìn nhận )

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập