Lý thuyết một số phương pháp tính giới hạn dãy số toán 11

Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của \(n\) ra làm nhân tử chung.

– Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {{n^3} – {n^2} + n – 1} \right)\).
Ta có : \ ( \ lim \ left ( { { n ^ 3 } – { n ^ 2 } + n – 1 } \ right ) = \ lim { n ^ 3 } \ left ( { 1 – \ dfrac { 1 } { n } + \ dfrac { 1 } { { { n ^ 2 } } } – \ dfrac { 1 } { { { n ^ 3 } } } } \ right ) = + \ infty \ )
Dạng 1: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ

Phương pháp:

– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

– Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{2n – 1}}{{n + 1}}\).
Ta có : \ ( \ lim \ dfrac { { 2 n – 1 } } { { n + 1 } } = \ lim \ dfrac { { 2 – \ dfrac { 1 } { n } } } { { 1 + \ dfrac { 1 } { n } } } = \ dfrac { 2 } { 1 } = 2 \ )
Dạng 2: Giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp:

– Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được không.
+ ) Nếu được thì ta dùng chiêu thức ở dạng 1 .
+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

– Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.

Ví dụ: Tính giới hạn \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right)\).
Ta có :
USD \ lim \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } – n } \ right ) = $ $ \ lim \ dfrac { { \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } – n } \ right ) \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } + n } \ right ) } } { { \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } + n } \ right ) } } $ $ = \ lim \ dfrac { { { n ^ 2 } + 2 n – { n ^ 2 } } } { { \ left ( { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } + n } \ right ) } } $ $ = \ lim \ dfrac { { 2 n } } { { \ sqrt { { n ^ 2 } + 2 n } + n } } $ $ = \ lim \ dfrac { 2 } { { \ sqrt { 1 + \ dfrac { 2 } { n } } + 1 } } = \ dfrac { 2 } { { 1 + 1 } } = 1 USD
Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa, mũ.

Phương pháp:

– Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.

– Bước 2: Sử dụng nhận xét \(\lim {q^n} = 1\) với \(\left| q \right| < 1\). Ví dụ: \(\lim \dfrac{{{2^n} + {5^n}}}{{{{2.3}^n} + {{3.5}^n}}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^n} + 1}}{{2.{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 3.1}} = \dfrac{{0 + 1}}{{2.0 + 3}} = \dfrac{1}{3}\)

Dạng 4: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa.

Phương pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right),\left( {{w_n}} \right)\).

Nếu \({u_n} < {v_n} < {w_n},\forall n\) và \(\lim {u_n} = \lim {w_n} = L \Rightarrow \lim {v_n} = L\).

Ví dụ: Tính \(\lim \dfrac{{\sin 3n}}{n}\).
Ta có : \ ( – 1 \ le \ sin 3 n \ le 1 \ Rightarrow \ dfrac { { – 1 } } { n } \ le \ dfrac { { \ sin 3 n } } { n } \ le \ dfrac { 1 } { n } \ )
Mà \ ( \ lim \ left ( { – \ dfrac { 1 } { n } } \ right ) = 0 ; \ lim \ left ( { \ dfrac { 1 } { n } } \ right ) = 0 \ ) nên \ ( \ lim \ dfrac { { \ sin 3 n } } { n } = 0 \ ).

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập