Công thức lượng giác và cách giải bài tập hay, chi tiết

Công thức lượng giác và cách giải bài tập

Với loạt Công thức lượng giác và cách giải bài tập sẽ giúp học viên nắm vững triết lý, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt tác dụng cao trong các bài thi môn Toán 10 .
1. Lý thuyết

a. Công thức cộng:

sin(a+b)  =  sina.cosb  +  sinb.cosa

sin(a−b)  =  sina.cosb−sinb.cosa
cos ( a + b ) = cosa.cosb − sina.sinb
cos(a−b)  =  cosa.cosb +  sina.sinb

tan(a+b)  =  tana+tanb1−tana.tanb

tan(a−b)  =  tana−tanb1+tana.tanb

b. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:
sin2α = 2 sinα. cosα
cos2α = cos2α − sin2α = 2 cos2α − 1 = 1 − 2 sin2α
tan2α = 2 tanα1 − tan2α
* Công thức hạ bậc:

 sin2α  =  1−cos2α2cos2α =  1+cos2α2tan2α =  1−cos2α1+cos2α    

* Công thức nhân ba:

sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα

c. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosacosb=12cos(a+b)+cos(a−b)sinasinb=−12cos(a+b)−cos(a−b)sinacosb=12sin(a+b)+sin(a−b)

d. Công thức biển đổi tổng thành tích:

2. Các dạng bài

Dạng 3.1: Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt

a. Phương pháp giải:
– Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc .
– Sử dụng đặc thù và bảng giá trị lượng giác đặc biệt quan trọng .
– Sử dụng các công thức lượng giác .
b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính:
a. cos37π12 ;
b. tanπ24 + tan7π24 .
Hướng dẫn:
a. cos37π12 = cos2π + π + π12
= cosπ + π12
= − cosπ12
= − cosπ3 − π4
= − cosπ3. cosπ4 + sinπ3. sinπ4
= − 6 + 24
b. tanπ24 + tan7π24 = sinπ3cosπ24. cos7π24
= 3 cosπ3 + cosπ4 = 26 − 3
Ví dụ 2: Tính:

a. tanx+π4 biết sinx=35 với π2
b. cosα − β biết sinα = 513, π2 < α < π và, 0 < β < π2 .

Hướng dẫn:
a. Ta có :
sin2x + cos2x = 1 ⇒ cosx = ± 1 − sin2x = ± 1 − 925 = ± 45 .
Vì π2
Do đó tanx = sinxcosx = − 34 .
Ta có : tanx + π4 = tanx + tanπ41 − tanx. tanπ4 = − 34 + 11 + 34 = 17 .
b. Ta có :
sinα = 513, π2 < α < π nên cosα = − 1 − 5132 = − 1213 . cosβ = 35, 0 < β < π2 nên sinβ = 1 − 352 = 45 . cosα − β = cosαcosβ + sinαsinβ = − 1213.35 + 513.45 = − 1665 .

Dạng 3.2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

a. Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác ( công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến hóa tổng thành tích, công thức đổi khác tích thành tổng ) và các giá trị lượng giác của các góc tương quan đặc biệt quan trọng để triển khai phép biến hóa .
Ta lựa chọn một trong các cách biến hóa sau :
* Cách 1 : Dùng hệ thức lượng giác đổi khác một vế thành vế còn lại ( vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái )
* Cách 2 : Biến đổi đẳng thức cần chứng tỏ về một đẳng thức đã biết là luôn đúng .
* Cách 3 : Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng tỏ .
b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a. sin4x+cos4x= 14cos4x+34
b. cos3x.sin3x+sin3x.cos3x=34sin4x

Hướng dẫn:
a. ( Áp dụng công thức hạ bậc ) Ta có :
VT = sin4x + cos4x
= ( sin2x + cos2x ) 2 − 2 sin2xcos2x
= 1 − 12 sin22x = 1 − 12.1 − cos4x2
= 34 + 14 cos4x = VP
Suy ra đpcm .
b. ( Áp dụng công thức góc nhân ba ) Ta có :
VT = 14 cos3x3sinx − sin3x + 14 sin3x3cosx + cos3x
= 34 sinx. cos3x + cosx. sin3x = 34 sin4x = VP
Suy ra đpcm .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
sin3B2cosA + C2 + cos3B2sinA + C2 − cos ( A + C ) sinB. tanB = 2
Hướng dẫn:
Do tam giác ABC có A + B + C = 1800, suy ra A + C = 1800 − B
Do đó, ta có :
VT = sin3B2cos1800 − B2 + cos3B2sin1800 − B2 − cos1800 − BsinB. tanB
= sin3B2sinB2 + cos3B2cosB2 − − cosBsinB. tanB
= sin2B2 + cos2B2 + 1 = 2 = VP
Suy ra đpcm .
Dạng 3.3: Thu gọn biểu thức lượng giác

a. Phương pháp giải:
Sử dụng công thức lượng giác ( công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến hóa tổng thành tích, công thức đổi khác tích thành tổng ) và các giá trị lượng giác của các góc tương quan đặc biệt quan trọng để đưa biểu thức bắt đầu trở nên đơn thuần, ngắn gọn hơn .
b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
a. A = cos10x + 2 cos24x + 6cos3x.cosx − cosx − 8 cosx. cos33x
b. B = sin3x + cos2x − sinxcosx + sin2x − cos3xsin2x ≠ 0 ; 2 sinx + 1 ≠ 0
Hướng dẫn:​
a. Ta có :
A = cos10x + ( 1 + cos8x ) − cosx − 2 ( 4 cos33x − 3 cos3x ) cosx
= ( cos10x + cos8x ) + 1 − cosx − 2cos9x.cosx
= 2cos9x.cosx + 1 − cosx − 2cos9x.cosx = 1 − cosx
b. Ta có :
B = sin3x + cos2x − sinxcosx + sin2x − cos3x
= 2 cos2xsinx + cos2x − 2 sin2xsin ( − x ) + sin2x
= 2 cos2xsinx + cos2x2sin2xsinx + sin2x
= cos2x ( 1 + 2 sinx ) sin2x ( 1 + 2 sinx ) = cot2x
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: C=sin2x+2sina–x.sinx.cosa+sin2a–x.

Hướng dẫn:
C = sin2x + 2 sina – x.sinx.cosa + sin2a – x
= sin2x + sina − x2sinxcosa + sina − x
= sin2x + sina − x2sinxcosa + sinacosx − cosasinx
= sin2x + sina − xsinxcosa + sinacosx
= sin2x + sina − xsina + x = sin2x + 12 cos2x − cos2a
= sin2x + 121 − 2 sin2x − ( 1 − 2 sin2a )
= sin2x + sin2a − sin2x = sin2a
Dạng 3.4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

a. Phương pháp giải:
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được tác dụng không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác ( công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến hóa tổng thành tích, công thức đổi khác tích thành tổng ) và các giá trị lượng giác của các góc tương quan đặc biệt quan trọng để đưa biểu thức khởi đầu trở nên đơn thuần, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng tỏ .
b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A = cos2x + cos2π3 + x + cos2π3 − x
Hướng dẫn:
Ta có :
A = cos2x + cos2π3 + x + cos2π3 − x
= cos2x + 12 cosx − 32 sinx2 + 12 cosx + 32 sinx2
= cos2x + 14 cos2x − 32 cosxsinx + 34 sin2x + 14 cos2x + 32 cosxsinx + 34 sin2x
= 32 cos2x + 32 sin2x
= 32 cos2x + sin2x
= 32
Vậy biểu thức đã cho không nhờ vào vào x .
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
C = 2 sin4x + cos4x + sin2xcos2x2 – sin8x + cos8x
Hướng dẫn:
Ta có :
C = 2 sin4x + cos4x + sin2xcos2x2 – sin8x + cos8x
= 2 sin2x + cos2x2 − sin2xcos2x2 – sin4x + cos4x2 − 2 sin4xcos4x
= 21 − sin2xcos2x2 – sin2x + cos2x2 − 2 sin2xcos2x2 + 2 sin4xcos4x
= 21 − sin2xcos2x2 – 1 − 2 sin2xcos2x2 + 2 sin4xcos4x
= 21 − 2 sin2xcos2x + sin4xcos4x – 1 − 4 sin2xcos2x + 4 sin4xcos4x + 2 sin4xcos4x
= 2 – 4 sin2x cos2x + 2 sin4x cos4x – 1 + 4 sin2x cos2x – 4 sin4x cos4x + 2 sin4x cos4x
= 1 .
Vậy biểu thức đã cho không nhờ vào vào x .
Dạng 3.5: Tính giá trị biểu thức

a. Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức cơ bản, các công thức lượng giác ( công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến hóa tổng thành tích, công thức biến hóa tích thành tổng ) và các giá trị lượng giác của các góc tương quan đặc biệt quan trọng .
b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A=cos10°.cos30°.cos50°.cos70°.

Hướng dẫn:
Ta có :
A = cos10 °. cos30 °. cos50 °. cos70 °
= cos10 °. cos30 °. 12 cos120o + cos20o
= cos10o. 32.12 − 12 + cos20o
= 34 − cos10o2 + cos10ocos20o
= 34 − cos10 ° 2 + cos30 ° + cos10 ° 2
= 34. cos30 ° 2
= 34.34 = 316
Ví dụ 2: Cho cos2α=23. Tính giá trị của biểu thức P=cosα.cos3α.

Hướng dẫn:
Ta có :
P = cosα. cos3α = 12 cos2α + cos4α
= 12 cos2α + 2 cos22α − 1
= 122 cos22α + cos2α − 1
= 122.232 + 23 − 1 = 518
3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Cho x+y+z=π, chứng minh rằng: tanx + tany + tanz = tanx. tany. tanz.

Hướng dẫn:
Từ giả thiết, ta có :
x + y + z = π ⇔ x + y = π − z
⇒ tanx + y = tanπ − z
⇔ tanx + tany1 − tanx.tany = − tanz
⇔ tanx + tany = − tanz + tanx.tany.tanz
⇔ tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz
Suy ra đpcm .
Câu 2: Cho sinx+siny=2sinx + y, với x+y≠kπ, k∈ℤ. Chứng minh rằng: tanx2.tany2 = 13.

Hướng dẫn:
Từ giả thiết, ta có :
sinx + siny = 2 sinx + y ⇔ 2 sinx + y2.cosx − y2 = 4 sinx + y2.cosx + y2
⇔ cosx − y2 = 2 cosx + y2 ( do x + y ≠ kπ, k ∈ ℤ )
⇔ cosx2. cosy2 + sinx2. siny2 = 2 cosx2. cosy2 − sinx2. siny2
⇔ 3 sinx2. siny2 = cosx2. cosy2 ⇔ tanx2. tany2 = 13
Suy ra đpcm .
Câu 3: Cho sinα=13  với 0<α<π2. Tính giá trị của cosα+π3. Hướng dẫn:
Ta có : sin2α + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 23 ⇒ cosα = 63 ( vì 0 < α < π2 nên cosα > 0 ) .
Ta có : cosα + π3 = 12 cosα − 32 sinα
= 12 ⋅ 63 − 32 ⋅ 13 = 16 − 12 = 2 − 626
Câu 4: Tính giá trị biểu thức M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113°.

Hướng dẫn:

M=cos–53°.sin–337°+sin307°.sin113°

=cos–53°.sin23°–360°+sin−53°+360°.sin90°+23°

=cos–53°.sin23°+sin−53°.cos23°

=sin23°−53°=−sin30°=−12

Câu 5: Cho số thực α thỏa mãn sinα=14. Tính sin4α+2sin2αcosα.

Hướng dẫn:
Ta có : sin4α + 2 sin2αcosα
= 2 sin2αcos2α + 2 sin2αcosα
= 2 sin2αcos2α + 1 cosα
= 4 sinαcosα1 − 2 sin2α + 1 cosα
= 4 sinαcos2α ( 2 − 2 sin2α )
= 4 sinα1 − sin2α2 − 2 sin2α
= 81 − sin2α2sinα
= 81 − 1162.14 = 225128
Câu 6: Rút gọn biểu thức P=cosa+2cos3a+cos5asina+2sin3a+sin5a.

Hướng dẫn:
P = cosa + 2 cos3a + cos5asina + 2 sin3a + sin5a
= 2 cos3acos2a + 2 cos3a2sin3acos2a + 2 sin3a
= 2 cos3acos2a + 12 sin3acos2a + 1
= cos3asin3a = cot3a
Câu 7: Chứng minh biểu thức A=1−tan2x24tan2x−14sin2xcos2x  không phụ thuộc vào x.

Hướng dẫn:
Ta có : A = 1 − tan2x24tan2x − 14 sin2xcos2x
= 1 − tan2x24tan2x − 14 tan2x ⋅ 1 cos2x2
= 1 − tan2x24tan2x − 1 + tan2x24tan2x
= 1 − tan2x2 − 1 + tan2x24tan2x
= − 4 tan2x4tan2x = − 1
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào vào biến .
Câu 8: Rút gọn biểu thức A=2cos22α+3sin4α−12sin22α+3sin4α−1 .

Hướng dẫn:
Ta có :
A = 2 cos22α + 3 sin4α − 12 sin22α + 3 sin4α − 1
= cos4α + 3 sin4α3sin4α − cos4α
= 12 cos4α + 32 sin4α32sin4α − 12 cos4α
= sin4α + 30 ° sin4α − 30 °
Câu 9: Biến đổi biểu thức sinα−1 thành tích các biểu thức.

Hướng dẫn:
Ta có :
sinα − 1 = sinα − sinπ2
= 2 cosα + π22sinα − π22
= 2 cosα2 + π4sinα2 − π4 .

Câu 10: Biết sinβ=45, 0<β<π2 và α≠kπ. Chứng minh biểu thức: A=3sinα+β−4cosα+β3sinα không phụ thuộc vào α. Hướng dẫn:
Ta có 0 < β < π2sinβ = 45 ⇒ cosβ = 35 A = 3 sinα + β − 4 cosα + β3sinα = 3 ( sinαcosβ + cosαsinβ ) − 4 ( cosαcosβ − sinαsinβ ) 3 sinα = 335 sinα + 45 cosα − 435 cosα − 45 sinα3sinα = 5 sinα3sinα = 53 Vậy biểu thức không nhờ vào vào biến α . b. Trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả nào sau đây sai?

A. sinx+cosx=2sinx+π4     

B. sinx−cosx=−2cosx+π4

C. sin2x+cos2x=2sin2x−π4

D. sin2x+cos2x=2cos2x−π4

Câu 2: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. cot2x=cot2x−12cotx  

B. tan2x=2tanx1+tan2x

C. cos3x=4cos3x−3cosx   

D. sin3x=3sinx−4sin3x

Câu 3:  Nếu sinx+cosx=12 thì sin2x bằng

A. 34.

B. 38.

C. 22.       

D. −34.

Câu 4: Cho hai góc nhọn a và b. Biết cosa=13, cosb=14. Giá trị cosa+b.cosa−b bằng:

A. −113144.    

B. −115144.    

C. −117144.    

D. −119144.

Câu 5: Cho cosx=0. Tính A=sin2x−π6+sin2x+π6.

A. 32.

B. 2.  

C. 1. 

D. 14.

Đáp án:

Xem thêm chiêu thức giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, cụ thể khác :

Đã có giải thuật bài tập lớp 10 sách mới :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập