1. ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( x \right)\\
f\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\left( {g\left( x \right) \ge 0} \right)
\end{array} \right.$
2. ${\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}.$
3. ${\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)$ $(*).$
+ Nếu $a > 1$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > g\left( x \right)\\
g\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$
+ Nếu $0 < a < 1$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) < g\left( x \right)\\
f\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$
Chú ý: ${\log _a}f\left( x \right)$ có nghĩa $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0\\
0 < a \ne 1
\end{array} \right.$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số
Phương pháp:
${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1\\
f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0
\end{array} \right.$
Phương trình logarit cơ bản: ${\log _a}x = b$, $\left( {0 < a \ne 1} \right).$
* ${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$, $\left( {0 < a \ne 1} \right)$.
* $\lg x = b \Leftrightarrow x = {10^b}$, $\ln x = b \Leftrightarrow x = {e^b}$.
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
1. ${\log _{25}}{\left( {4x + 5} \right)^2} + {\log _5}x = {\log _3}27.$
2. ${\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x = {\log _{20}}x.$
1. Điều kiện: $x > 0.$
Phương trình đã cho trở thành: ${\log _5}\left( {4x + 5} \right) + {\log _5}x = 3$ $ \Leftrightarrow {\log _5}(4{x^2} + 5x) = 3$ $ \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x = 125$ $ \Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 5$ hoặc $x = \frac{{25}}{4}.$
2. Điều kiện $x > 0.$ Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ${\log _a}x = \frac{{{{\log }_b}x}}{{{{\log }_b}a}}.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}4}} = \frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}20}}$
$ \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{1}{{{{\log }_2}4}} – \frac{1}{{{{\log }_2}20}}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức ${\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}$ sẽ giải quyết nhanh gọn và đẹp hơn.
Bạn đang đọc: Phương pháp giải phương trình logarit và bất phương trình logarit – https://vietsofa.vn
Ví dụ 2. Giải phương trình: ${\log _3}{\left( {x – 2} \right)^2} + {\log _{\sqrt 3 }}\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}} = 0.$
Điều kiện: $0 < x \ne 2.$
Phương trình đã cho viết lại ${\log _3}{\left( {x – 2} \right)^2} + {\log _3}{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)^2} = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2}.{{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)}^2}} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2}.{\left( {\frac{x}{{{x^2} – 3x + 3}}} \right)^2} = 1.$
Giải phương trình này ta được $x = 1, x = \frac{3}{2}, x = 3.$
Ví dụ 3. Giải phương trình: ${\log _2}\left( {8 – {x^2}} \right)$ $+ {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right) – 2 = 0.$
Với $x \in \left[ { – 1;1} \right]$ phương trình đã cho viết lại: ${\log _2}\left( {8 – {x^2}} \right)$ $ = 2 + {\log _2}\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right)$
$ \Leftrightarrow 8 – {x^2} = 4\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} } \right)$ $(*).$
Đặt $t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} $, phương trình $(*)$ trở thành: ${\left( {{\rm{t}} – {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}\left( {{{\rm{t}}^{\rm{2}}} + {\rm{4t}} + {\rm{8}}} \right) = 0$, phương trình này có nghiệm $t = 2$ hay $\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 – x} = 2$. Bình phương $2$ vế và rút gọn ta được $x = 0.$
Ví dụ 4. Giải phương trình: $\lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2 = \lg \sqrt {1 – {x^2}} .$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
1 + x > 0\\
1 – x > 0\\
1 – {x^2} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 1.$
Để ý: $\lg \sqrt {1 – {x^2}} = \lg \sqrt {1 + x} \sqrt {1 – x} $ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} .$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 + x} + 3\lg \sqrt {1 – x} – 2$ $ = \lg \sqrt {1 + x} + \lg \sqrt {1 – x} $
$ \Leftrightarrow \lg \sqrt {1 – x} = 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – x} = 10$ $ \Leftrightarrow 1 – x = 100 \Leftrightarrow x = – 99.$
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.
Dạng 2. Đặt ẩn phụ
Phương pháp: $f\left[ {{{\log }_a}g\left( x \right)} \right] = 0$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {\log _a}g\left( x \right)\\
f\left( t \right) = 0
\end{array} \right.$
Ta chú ý công thức đổi cơ số: ${\log _b}x = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}}$ $ \Rightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ $\forall a, b, x > 0; a, b \ne 1.$
Ví dụ 5. Giải các phương trình:
1. ${\log _2}x + \sqrt {10{{\log }_2}x + 6} = 9.$
2. $\sqrt {{{\log }_9}x + 1} + \sqrt {{{\log }_3}x + 3} = 5.$
3. ${4^{{{\log }_2}2{\rm{x}}}} – {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}.$
1. Điều kiện: $x > 0$ và $10{\log _2}x + 6 \ge 0.$
Đặt $t = {\log _2}x$, phương trình đã cho đưa về dạng: $\sqrt {10t + 6} = 9 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 – t \ge 0\\
10t + 6 = {\left( {9 – t} \right)^2}
\end{array} \right.$ từ đây ta tìm được $t = 3$ tức $x = 8.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 8.$
2. Điều kiện: $x > 0$ và ${\log _3}x + 3 \ge 0,$ ${\log _9}x + 1 \ge 0.$
Đặt $t = {\log _3}x$, phương trình đã cho về dạng $\sqrt {\frac{1}{2}t + 1} + \sqrt {t + 3} = 5$ $(1).$
Với điều kiện $t \ge – 2$, bình phương hai vế của $(1)$ và rút gọn ta được: $\sqrt {\frac{1}{2}{t^2} + \frac{5}{2}t + 3} = 21 – \frac{3}{2}t$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 2 \le t \le 14\\
{t^2} – 292t + 1716 = 0
\end{array} \right.$ $⇒t = 6$ tức $x = 64.$
Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 64.$
3. Điều kiện: $x > 0.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow {4^{1 + {{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}}$ $ \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} – {6^{{{\log }_2}x}} – {18.9^{{{\log }_2}x}} = 0$ $ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} – 18 = 0.$
Đặt $t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}}, t > 0$, ta có: $4{t^2} – t – 18 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{9}{4}$ $ \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{{{\log }_2}x}} = \frac{9}{4} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ – 2}}$ $ \Leftrightarrow {\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{4}.$
Ví dụ 6. Giải phương trình: ${\log _2}x{\left( {x – 1} \right)^2}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0.$
Điều kiện: $x > 1.$
Biến đổi phương trình về dạng:
${\log _2}\frac{{{{\left( {{x^2} – x} \right)}^2}}}{x}$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – {\log _2}x$ $ + {\log _2}x.{\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) – 2 = 0$ $(*).$
Đặt $u = {\log _2}\left( {{x^2} – x} \right)$ và $v = {\log _2}x.$ Đưa phương trình $(*)$ về phương trình:
$\left( {u – 1} \right)\left( {v + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow u = 1$ hoặc $v = – 2.$
+ Với $u = 1$ thì ${\log _2}\left( {{x^2} – x} \right) = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x = 2 \Leftrightarrow x = 2.$
+ Với $v = – 2$ thì ${\log _2}x = – 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 2.$
Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích
Phương pháp: $f\left( x \right).g\left( x \right) = 0{\rm{ }}$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0$ hoặc $g\left( x \right) = 0.$
Xem thêm: Hóa giải nghiệp chướng
Ví dụ 7. Giải phương trình: ${\log _3}x + {\log _4}x = {\log _5}x.$
Dễ thấy: ${\log _4}x = {\log _4}3.{\log _3}x$, ${\log _5}x = {\log _5}3.{\log _3}x.$
Với $x > 0$. Phương trình được viết dưới dạng:
${\log _3}x + {\log _4}3.{\log _3}x = {\log _5}3.{\log _3}x$ $ \Leftrightarrow {\log _3}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$
Ví dụ 8. Giải các phương trình:
1. ${\log _{5x}}\frac{5}{x} + \log _5^2x = 1.$
2. ${\log _{{x^2}}}16 + {\log _{2x}}64 = 3{\rm{ }}.$
1. Điều kiện: $0 < x \ne \frac{1}{5}.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_5}\frac{5}{x}}}{{{{\log }_5}5x}} + \log _5^2x = 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 – {{\log }_5}x}}{{1 + {{\log }_5}x}} + \log _5^2x = 1$
$ \Leftrightarrow {\log _5}x(\log _5^2x + {\log _5}x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _5}x\left( {{{\log }_5}x – 1} \right)\left( {{{\log }_5}x + 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _5}x = 0\\
{\log _5}x = 1\\
{\log _5}x = – 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 5\\
x = {5^{ – 2}}
\end{array} \right.$
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x = 1; x = 5; x = \frac{1}{{25}}.$
2. Điều kiện: $0 < x \ne 1, x \ne \frac{1}{2}.$
Phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}16}}{{{{\log }_2}{x^2}}} + \frac{{{{\log }_2}64}}{{{{\log }_2}2x}} = 3$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_2}x}} + \frac{6}{{1 + {{\log }_2}x}} = 3$
$ \Leftrightarrow 3\log _2^2x – 5{\log _2}x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x – 2} \right)\left( {3{{\log }_2}x + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}x = 2\\
{\log _2}x = – \frac{1}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array} \right.$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: $x = 4; x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}.$
Dạng 4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Giải phương trình: ${\log _a}x = f\left( x \right)$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ $(*).$
$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $2$ đồ thị $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right)$. Khi đó ta thực hiện 2 bước:
+ Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y = {\log _a}x$ $\left( {0 < a \ne 1} \right)$ và $y = f\left( x \right).$
+ Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị.
Ví dụ 9. Giải phương trình: ${\log _3}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3x + 4} \right]$ $ = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right).$
Điều kiện: $x > – 1.$
Phương trình đã cho tương đương ${\log _3}{\left( {x + 2} \right)^3} = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right)$ hay $3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right).$
Đặt $3{\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2{\log _2}\left( {x + 1} \right) = 6t$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 = {3^{2t}}}\\
{x + 1 = {2^{3t}}}
\end{array}} \right. \Rightarrow {9^t} – {8^t} = 1$, tức ${\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} = 1$ $(*).$
Xét hàm $f\left( t \right){\rm{ }} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t}$, ta thấy hàm $f\left( t \right)$ nghịch biến, lại có $f\left( 1 \right) = 1$ nên $t = 1$ là nghiệm duy nhất của $(*).$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 7.$
Ví dụ 10. Giải phương trình: ${\log _2}\left( {x + {3^{{{\log }_6}x}}} \right) = {\log _6}x.$
Đặt $t = {\log _6}x \Rightarrow x = {6^t}.$ Phương trình đã cho trở thành: ${6^t} + {3^t} = {2^t}$, chia cả $2$ vế cho ${2^t}.$
Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^t} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} – 1$, vì $3 > \frac{3}{2} > 1$ nên $f\left( t \right)$ tăng và $f\left( { – 1} \right) = 0$, do đó $f\left( t \right) = 0$ xảy ra khi $t = – 1$ tức $x = \frac{1}{6}.$
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{1}{6}.$
Ví dụ 11. Giải phương trình: $\left( {3x – 5} \right)\log _3^2x$ $ + \left( {9x – 19} \right){\log _3}x – 12 = 0.$
Điều kiện: $x > 0.$
Đặt $t = {\log _3}x,$ phương trình trở thành: $\left( {3x – 5} \right){t^2} + \left( {9x – 19} \right)t – 12 = 0.$
Khi $x = \frac{5}{3}$, phương trình vô nghiệm.
Khi $x \ne \frac{5}{3}$, ta có: $\Delta = {\left( {9x – 11} \right)^2}$, khi đó phương trình có $2$ nghiệm $t = – 3$ hoặc $t = \frac{4}{{3x – 5}}.$
+ Với $t = – 3$ tức ${\log _3}x = – 3$ $ \Leftrightarrow x = {3^{ – 3}} = \frac{1}{{27}}.$
+ Với $t = \frac{4}{{3x – 5}}$ tức ${\log _3}x = \frac{4}{{3x – 5}}$. Xét hàm số: $f\left( x \right) = {\log _3}x – \frac{4}{{3x – 5}}$ với $0 < x \ne \frac{5}{3}.$
Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln 3}} + \frac{{12}}{{{{\left( {3x – 5} \right)}^2}}} > 0$, với mọi $0 < x \ne \frac{5}{3}.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^ – }} f\left( x \right) = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = – \infty .$
Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt, hơn nữa $f\left( 3 \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có $2$ nghiệm $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 3.$
Vậy, phương trình có $3$ nghiệm: $x \in \left\{ {\frac{1}{{27}};\frac{1}{3};3} \right\}.$
Dạng 5. Giải bất phương trình logarit
Ví dụ 12. Giải bất phương trình:
1. ${\log _2}\left( {\sqrt {3x + 1} + 6} \right) – 1$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right).$
2. ${\log _2}\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} + {\log _{\frac{1}{2}}}x \le 0.$
1. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
3x + 1 \ge 0\\
10 – x \ge 0\\
7 – \sqrt {10 – x} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{1}{3} \le x \le 10.$
Bất phương trình tương đương với ${\log _2}\frac{{\sqrt {3x + 1} + 6}}{2}$ $ \ge {\log _2}\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right)$
$ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 6 \ge 2\left( {7 – \sqrt {10 – x} } \right)$
$ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} + 2\sqrt {10 – x} \ge 8$
$ \Leftrightarrow {\rm{49}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}–{\rm{ 418x }} + {\rm{ 369 }} \le {\rm{ }}0$
$ \Leftrightarrow {\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}$ (thoả điều kiện).
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm ${\rm{1 }} \le {\rm{ x }} \le \frac{{369}}{{49}}.$
2. Bất phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} \le x\\
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ – 12{x^2} – 4x + 5}}{{12x – 8}} \le 0\\
\frac{{5 – 12x}}{{12x – 8}} > 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
– \frac{5}{6} \le x \le \frac{1}{2}\\
x > \frac{2}{3}
\end{array} \right.\\
\frac{5}{{12}} < x < \frac{2}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$
Vậy, bất phương trình đã cho có nghiệm $\frac{5}{{12}} < x \le \frac{1}{2}.$
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours