Toán 9 quỹ tích và phương pháp giải quỹ tích

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (735.4 KB, 15 trang )

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Bài giảng số 1: QUỸ TÍCH HÌNH HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. QUỸ TÍCH LÀ GÌ?
1) Định nghĩa
– Quỹ tích những điểm có tính chất

là tập hợp tất cả những điểm có tính chất

đó
+ Tập hợp tìm được có thể là vô hạn (đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn), hữu hạn
(một vài điểm rời rạc) nhưng cũng có thể là tập hợp rỗng (không có phần tử nào)
2) Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Quỹ tích những điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng là đường trung trực
của đoạn thẳng ấy (Lớp 7)
– Tính chất

của quĩ tích: Những điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
– Tập hợp tìm được: Đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Tập hợp này vô hạn phần tử
Ví dụ 2: Quỹ tích những điểm M cách điểm O một khoảng cố định OM = R là đường
tròn tâm (O; R) (Lớp 9)
– Tính chất

của quỹ tích: Những điểm M cách điểm O một khoảng OM = R (R cố
định)
– Tập hợp tìm được: Đường tròn (O; R). Tập hợp này vô hạn phần tử
Ví dụ 3: Cho

ABC. Tìm Quỹ tích những điểm M sao cho
ΔMBC ΔMAC ΔMAB

S = S = S

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 2

– Tính chất

của quĩ tích: Những điểm M thỏa mãn
ΔMBC ΔMAC ΔMAB
S = S = S

– Tập hợp tìm được: Có 4 điểm M thỏa mãn
+ Điểm M
1
là trọng tâm tam giác ABC (vì
ΔMAB
ΔMBC ΔMAC ΔMAB
S
S = S = S
3

)
+ Điểm M
2
, M
3
, M
4
lần lượt là đỉnh của các hình bình hành ABCM

2
; BACM
4
và
ACBM
3
(Vì
ΔMBC ΔMAC ΔMAB ΔABC
S =S = S S )


Ta thấy: Tập hợp tìm được là 4 điểm rời rạc
Ví dụ 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, quỹ tích những điểm M thỏa mãn:
MA = MB= MC
là tập rỗng (Không có điểm M nào thỏa mãn)
II. GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƢ THẾ NÀO?
Theo định nghĩa quỹ tích ta có:
+ Gọi T là tập hợp những điểm M có tính chất


+ Gọi tập hợp H là hình cần tìm (H có thể rỗng)
Giải bài toán quỹ tích chính là việc chứng minh T = H

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 3

Theo lí thuyết tập hợp (Lớp 6) thì
TH
T=H
HT







. Như vậy để chứng minh một bài toán
quỹ tích thì ta phải chứng minh 2 phần
(I).
TH
. Chứng minh
TH
có nghĩa là ta phải chứng minh mọi phần tử của T đều
thuộc H hay với mỗi điểm M bất kì ta luôn có
M T M H  
. Chứng minh điều này là
việc đảm báo tính không thiếu của quỹ tích (Bất cứ phần tử nào có tính chất

(

T) đều
thuộc hình H)
(II).
HT
. Chứng minh
HT
có nghĩa là ta phải chứng minh mọi phần tử của T đều
thuộc H hay nói cách khác với mỗi điểm
M’
bất kì ta luôn có
M H M T  

. Chứng
minh điều này là việc đảm bảo tính không thừa của quỹ tích (Mọi phần tử của H đều
mang tính chất

(

T))
– Sau khi chứng minh 2 phần trên ta đi đến kết luận T = H
– Chứng minh phần (I) gọi là chứng minh thuận, chứng minh phần (II) gọi là chứng minh
đảo
III. CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH THCS
– Gồm 4 bước: Dự đoán, chứng minh phần thuận, chứng minh phần đảo, kết luận quỹ tích
Chú ý: Hiện nay do đặc thù toán quỹ tích là dạng toán khó, phức tạp, đòi hỏi nhiều thời
gian nên bài toán quỹ tích đã giảm bớt mức độ và các bước thực hiên. Đề bài chỉ yêu cầu:
“Khi điểm M di chuyển trên hình H (đường tròn, cung tròn, đường thẳng, đoạn thẳng…)
thì điểm N di chuyển trên đâu?”, “Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên hình H
thì N luôn di chuyển trên 1 đường cố đinh”… Với những câu hỏi như trên ta bỏ qua
Bƣớc 3 (Chứng minh phần đảo)
1) Bƣớc 1: Dự đoán quỹ tích
– Bước này vô cùng quan trọng, nó quyết định đến việc định hướng giải bài toán. Dự
đoán quỹ tích cho ta biết được dạng của quỹ tích cần tìm (đường thẳng hay đường cong)
từ đó đối chiếu với quỹ tích cơ bản ta có thể tìm được quỹ tích chính xác. Bước này
thường làm ra nháp
– Phương pháp dự đoán quỹ tích (4 phương pháp)
1.1) Phƣơng pháp 1: Thực nghiệm

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 4

– Đây là phương pháp thông dụng nhất, ta dựa vào đặc điểm của một số quỹ tích để dự
đoán

+ Nếu quỹ tích có 3 điểm thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại thẳng (đoạn thẳng, tia,
đường thẳng…)
+ Nếu quỹ tích có 3 điểm không thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại cong (cung tròn,
nửa đường tròn, đường tròn…)
– Để dự đoán quỹ tích một cách chính xác, cần lưu ý 3 yếu tố sau
+ Yếu tố cố định, không đổi: Thường là yếu tố cho trước hoặc phát hiện thêm từ
những yếu tố cho trước đó
+ Yếu tố sinh ra quỹ tích
+ Yếu tố quỹ tích
– Căn cứ vào tính chất của yếu tố quỹ tích, theo dõi sự chuyển động của yếu tố sinh ra
quỹ tích ở những điểm đặc biệt để tìm ra những điểm đặc biệt của quỹ tích. Ngày nay, với
sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, chúng ta có sử dụng một số phần mềm
hình học động như GSP, Geogebra, Cabri…để dự đoán quỹ tích một cách chính xác và
nhanh chóng.
Ví dụ 5 (Lớp 7): Cho đường thẳng d cố định và một điểm A nằm ngoài đường thẳng d.
Điểm B di động trên đường thẳng d. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AB
Chú ý: Trong bài toán trên, yếu tố cố định là đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d; yếu
tố sinh ra quỹ tích là điểm B; yếu tố quỹ tích là điểm M (trung điểm của đoạn thẳng AB)
*Dự đoán quỹ tích:

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 5

– Với vị trí điểm B như hình vẽ thì ta luôn
xác định được điểm M là trung điểm của
AB
– Gọi H là hình chiếu của A trên d
– Khi điểm B trùng với điểm H thì điểm
M trùng với điểm K là trung điểm của AH
– Khi B trùng
B’

thì M trùng
M’

– Ta thấy 3 điểm M,
M’
và K thẳng hàng vậy quỹ tích M là đường thẳng. Trong quá trình
dự đoán ta còn phát hiện ra thêm một yếu tố không đổi là đoạn thẳng AH và một yếu tố
cố định là trung điểm K của đoạn thẳng AH.
Ví dụ 6 (Lớp 8): Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm C chuyển động trên đoạn thẳng AB.
Dựng hai hình vuông ACEF và BCHG nằm cùng phía với nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O
và
O’
là tâm của hai hình vuông trên.
Tìm quỹ tích trung điểm I của
OO’
khi C chuyển động trên đoạn thẳng AB

+ Dự đoán quỹ tích: Trong bài toán trên các yếu tố cố định là hai điểm A, B, đường thẳng
AB; yếu tố không đổi là độ dài đoạn thẳng AB; yếu tố sinh ra quỹ tích là điểm C; yếu tố

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 6

quỹ tích là điểm I. Từ những yếu tố trên, ta còn phát hiện ra thêm yếu tố cố định là trung
điểm của AB; yếu tố không đổi là hình vuông dựng trên đoạn AB…
– Khi điểm C

A thì hình vuông ACEF suy biến thành điểm A, hình vuông BCHG biến
thành hình vuông ABMN


1
OA
,
2
OO

1
II
là trung điểm của OA

I
1
là một điểm
thuộc quỹ tích
– Khi điểm C

B thì hình vuông BCHG suy biến thành điểm B, hình vuông ACEF biến
thành hình vuông ABMN

1
OO
,
2
OB

2
II
là trung điểm của OB


I
2
là một điểm
thuộc quỹ tích
– Khi điểm C

C
1
là trung điểm của AB thì hình vuông ACEF suy thành hình vuông
11
AC OF
, hình vuông BCHG biến thành hình vuông
11
AC OF

3
II
(là trung điểm của I
1
I
2
)

I
3
là một điểm thuộc quỹ tích
Ta ta thấy 3 điểm I
1
; I
2

; I
3
thẳng hàng nên quỹ tích là một đường thẳng
Ví dụ 7 (Lớp 9): Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M
kẻ cát tuyến MAB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi cát tuyến quay quanh M

Dự đoán quỹ tích: Trong bài toán trên yếu tố cố định là điểm M, điểm O, đường tròn (O);
yếu tố không đổi là bán kinh đường tròn (O), độ dài MO; yếu tố sinh quỹ tích là cát tuyến
quay quanh M; yếu tố quỹ tích là điểm I. Ta còn phát hiện ra thêm các yếu tố cố định là

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 7

điểm 2 tiếp điểm C và D của tiếp tuyến kẻ từ M với (O), trung điểm của 2 cung CD nhỏ
và CD lớn; yếu tố không đổi là các tiếp tuyến tại M với (O)…
+ Khi cát tuyến MAB trở thành tiếp tuyến tại C thì
A B C I

C là điểm thuộc quỹ
tích
+ Tương tự D là điểm thuộc quỹ tích (D là tiếp điểm thứ 2 của tiếp tuyến qua M với
đường tròn (O))
+ Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O thì AB

EF (EF là đường kính của đường tròn)
IO

O cũng là điểm thuộc quỹ tích
Kết luận: Quy tích là cung tròn tròn đi qua C, D, O
1.2) Phƣơng pháp: dựa vào số giao điểm của quỹ tích với đƣờng thẳng cố định
– Phát hiện trong hình vẽ 1 đường thẳng d cố đinh

+ Nếu quỹ tích chỉ có 1 điểm chung cố định với đường thẳng d thì quỹ tích thuộc loại
thẳng
+ Nếu quỹ tích có 2 điểm chung cố định với d thì quỹ tích thuộc loại tròn
Ví dụ 8 (Quỹ tích cơ bản): Cho hai điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những điểm M sao
cho MA = MB
+ Dự đoán: Ta thấy trên đường thẳng AB chỉ có 1 điểm M
1
thỏa mãn M
1
A = M
1
B đó là
điểm M
1
là trung điểm của AB tức là quỹ tích trên chỉ có 1 giao điểm duy nhất với đường
thẳng AB

Quỹ tích thuộc loại thẳng
Ví dụ 9 (Lớp 9): Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cố định và ở ngoài nhau. Tìm quỹ tích
những điểm M nhìn 2 đường tròn đó những góc bằng nhau (Góc nhìn từ 1 điểm đến 1
đường tròn là góc tạo bởi hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đó với đường tròn)

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 8

Dự đoán quỹ tích: Ta phải quỹ tích những điểm M sao cho

12
MM
.
+ Vì hai đường tròn ở ngoài nhau nên ta luôn dựng được 2 tiếp tuyến chung ngoài căt
nhau tại I và J. Quan sát trên hình vẽ ta thấy I và J nằm trên đường nối tâm cô định và là
hai điểm thuộc quỹ tích

Quỹ tích giao với đường thẳng O
1
O
2
tại 2 điểm cố định nên
quỹ tích cần tìm thuộc dạng tròn
Chú ý: Trong ví dụ này chưa cần giải thích tại sao I và J nằm trên đường nối tâm O
1
O
2
và
I, J thuộc quỹ tích.
1.3) Phƣơng pháp 3: Dựa vào tính chất đối xứng
*Nhận xét:
– Nếu đường thẳng
xd
thì x nhận đường thẳng d là trục đối xứng và ngược lại
– Nếu đường tròn (O) nhận d là trục đối xứng thì tâm O nằm trên d.
Do vậy, ta có 2 kết luận sau

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 9

1) Nếu quỹ tích thuộc loại thẳng và lại nhận một đường thẳng d cố định là trục đối

xứng thì quỹ tích phải là đường thẳng vuông góc với d
2) Nếu quỹ tích thuộc loại tròn mà nhận một đường thẳng d nào đó là trục đối xứng
thì tâm của đường tròn đó phải nằm trên d
Ví dụ: Xét ví dụ 8 ta thấy
Về hai phía của đường thẳng AB bao giờ cũng tìm được hai điểm M và
M’
thỏa mãn MA
= MB =
M’A = M’B


Quỹ tích những điểm M có tính chất MA = MB là một đường
thẳng vuông góc với AB vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với AB
Ví dụ: Xét ví dụ 9
Về hai phía của O
1
O
2
ta luôn tìm được 2 điểm M và M’ thỏa mãn
12
12
M M M M= = ‘ = ‘
do
vậy quỹ tích nhận đường thẳng O
1
O
2
là trục đối xứng. Kết luận quỹ tích điểm M có tính
chất
12

MM
là đường tròn nhận đường thẳng O
1
O
2
là trục đối xứng mà quỹ tích đi qua
hai điểm I, J nên quỹ tích là đường tròn đường kính IJ
1.4) Phƣơng pháp 4: Dựa vào phần tử xa vô tận
Theo hình học phi Ơclit thì
– Mỗi đường thẳng được xem là có 1 điểm ở xa vô tận
– Hai đường thẳng song song cắt nhau ở 1 điểm xa vô tận
Từ đó ta rút ra 2 kết luận sau:
1) Nếu quỹ tích có 1 điểm ở xa vô tận thì quỹ tích là 1 đƣờng thẳng
2) Nếu quỹ tích không có điểm nào ở xa vô tận thì quỹ tích thuộc loại tròn hoặc có thể
là một phần của đƣờng thẳng
Ví dụ 10: Cho 1 đường tròn (O) và một điểm I cố đinh bên trong đường tròn. Một đường
thẳng d đi qua I cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Kẻ hai tiếp tuyến tại A và B cắt
nhau ở M. Tìm quỹ tích điểm M
*Dự đoán

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10

+ Khi đường thẳng d trùng IO thì d
giao đường tròn (O) tại A
1
và B
1
. Hai
tiếp tuyến tại A
1

và B
1
song song với
nhau. Hai đường thẳng song song này
sẽ cắt nhau tại điểm
M

(Điểm M vô
tận) theo kết luận 1 thì quỹ tích điểm M
là một đường thẳng nhận OI là trục đối
xứng (vì về hai phía của OI luôn có hai
điểm M
1
và M
2
thuộc quỹ tích đối xứng
với nhau qua OI)

Quỹ tích M là
đường thẳng vuông góc với OI

2) Chứng minh phần thuận
– Vì bước “dự đoán quỹ tích” làm ra nháp nên bước “chứng minh phần thuận” được coi
là Bƣớc 1 của phần lời giải
Sơ đồ chứng minh phần thuận:
M T M H  

Cụ thể như sau
Từ điểm M thuộc T


M có tính chất

. Ta chia nhỏ tính chất

thành các tính chất
12
;
n
  
. Dựa vào tính chất và các định lý hình học để suy ra điểm M cũng có tính chất
12
;


M có tính chất
n



M có tính chất

(

là tính chất của quỹ tích đã biết hay
còn gọi là quỹ tích cơ bản)

M thuộc H
Tóm tắt sơ đồ:
1

M( ) M( ) M( ) M F
n
  
   

– Chú ý: Sau khi thực hiện phần thuận, ta có thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của H thuộc về
quỹ tích. Ví dụ mặc dù điểm P thuộc đường tròn (O) nhưng quỹ tích có thể chỉ là một
cung của (O). Vì vậy cần chỉ rõ giới hạn của quỹ tích
3) Chứng minh phần đảo:
M’ H M’ T  

Cụ thể các bước như sau:

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11

– Xuất phát từ hình gốc (yếu tố cho trước, hình T ban đầu, điểm M’ thuộc H) ta thiết lập
một mệnh đề đảo bao gồm các thao tác như: Nối, kẻ, dựng song song, dựng vuông góc…
nhằm mục đích để điểm M’ thỏa mãn một số tính chất
12
;
n
  
, những tính chất còn lại
chưa thỏa mãn thì để giành cho việc chứng minh
– Chứng minh điểm
M’
thỏa mãn những tính chất còn lại
M’
thỏa mãn tính chất


hay
M’ T

Chú ý: Bước “chứng minh phần đảo” hiện nay ít gặp với lý do đề bài chỉ yêu cầu tìm ra
quỹ tích tức là chỉ cần chỉ ra được hình H
4) Kết luận quỹ tích
– Sau khi chỉ ra giới hạn quỹ tích cần đưa ra kết luận: Quỹ tích là tập hợp điểm như thế
nào
Ví dụ: Xét ví dụ 7
Ta đã chỉ ra rằng quỹ tích điểm I thuộc loại tròn đi qua B, C, O. Mặt khác ta thấy điểm I
không thể nằm ngoài (O) như vậy quỹ tích điểm I sẽ là cung tròn BOC
Ví dụ 11 (Lớp 9): Cho (O) và một đường thẳng d cố định không cắt (O), điểm M chuyển
động trên d. Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với (O). Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
Giải:
Nhận xét: Yếu tố cố định là đường tròn (O), điểm O; yếu tố không đổi là đường thẳng d;
yếu tố sinh quỹ tích là điểm M, yếu tố quỹ tích là điểm I
Tính chất

của quỹ tích: Trung điểm I của AB
Để chứng minh phần thuận và đảo, ta chia tính chất của điểm I (tính chất

) ở đầu bài
thành các tính chất nhỏ như sau:

1

: M

d

2

: MA, MB là các tiếp tuyến

3

: I

AB

4

: IA = IB

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 12

5

: I nằm trong (O)

Bƣớc 1: Dự đoán quỹ tích
– Phát hiện ra thêm những yếu tố cố định: Hình chiếu H của O trên d

OH cố định
– Về hai phía của OH luôn có được 2 điểm thuộc quỹ tích và đối xứng với nhau

Quỹ
tích nhận OH là trục đối xứng
– Khi điểm M trở thành điểm

M

thì MA // MB

AOB là đường kính của (O)

IO

O thuộc quỹ tích
– Khi điểm
MH
thì ta dễ thấy I nằm trên OH

Quỹ tích có 2 điểm chung với đường
thẳng d cố định vậy quỹ tích là đường tròn đi qua O và có tâm nằm trên OH
– Bạn đọc có thể tìm chính xác vị trí của giao điểm thứ 2 của quỹ tích với OH bằng cách
vẽ các tiếp tuyến HK và HN với (O)
Bƣớc 2: Chứng minh phần thuận
Gọi H là hình chiếu của O trên d; gọi E là giao điểm của AB và OH.
Ta có:
MA = MB (theo t/c tiếp tuyến) (1)
OA = OB (bán kính (O)) (2)

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 13

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB mà IA = IB (gt)

Ba điểm I, M, O
thẳng hàng (
6


)


OIE 90
o

(
7

)
*Xét tứ giác EHMI có:
–
EIM 90
o

(cmt)
–
OHM 90
o

(Cách dựng)

tứ giác EHMI nội tiếp (
8

)
Theo hệ thức lượng trong đường tròn có:
OI.OM = OE.OH
(3)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OAM có
22
OI.OM = OA R
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
2
2
R
OE.OH = R OE =
OH


E thuộc OH và cách O một khoảng không
đổi

E cố định (
10

)
Từ
OIE 90
o

và E cố định (

)

I thuộc đường tròn tâm P đường kính OE
Bƣớc 3: Chứng minh phần đảo
Ta có thể thiết lập mệnh đề đảo bằng nhiều cách:

Cách 1: Lấy
OE
)
2
I’ (P;
; nối OI’ cắt d tại điểm M’ (
1

và
6

); nối EI
‘
cắt (O) tại hai điểm
A
‘
và B
‘
. Ta cần chứng minh hai tính chất còn lại:
M’A’, M’B’
là tiếp tuyến của (O) (
2

) và
I’A’ = I’B’
(
4

)

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 14

Chứng minh:
Vì
OE
)
2
I’ (P;
OI’E 90
o

(

)
I’A’ = I’B’
(t/c đường kính và dây cung)
4


được chứng minh
Ta có: tứ giác I
‘
EHM
‘
nội tiếp (
EI’M’ = EHM’= 90
o
)


Theo hệ thức lượng trong đường
tròn ta có:
2 2 2
OI’.OM’ = OE.OH = R = OA’ = OB’

ΔOB’M’, ΔOA’M’
là các tam giác vuông tại B
‘
và A
‘


M’A’, M’B’
là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
2


được chứng minh.
Cách 2:
OE
)
2
I’ (P;
; nối EI
‘
cắt (O) tại hai điểm A
‘
và B
‘

. Các tiếp tuyến của (O) tại A
‘

và B
‘
cắt nhau tại M
‘
(
2

). Chứng minh M
‘
thuộc d (
1

) và
I’A’ = I’B’

Cách 3:
OE
)
2
I’ (P;
; nối
OI’
cắt d tại
M’
. Từ
M’
kẻ 2 tiếp tuyến

M’A’
và
M’B’
với (O). Ta
còn phải chứng minh
B’, I’, A’
thẳng hàng và
I’A’ = I’B’

Bạn đọc tự chứng minh cách 2 và cách 3
Bƣớc 4: Kết luận quỹ tích
– Quỹ tích là đường tròn đường kính OE.

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 15

IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CƠ BẢN
1. Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳng
đó, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB.
2. Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một đoạn AI = R không đổi là đường
tròn tâm I bán kính R.
3. Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường phân giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng đó.
4. Quỹ tích điểm M sao cho tia OM chia đôi góc xOy thành hai phần bằng nhau là đường
phân giác của góc xOy (suy ra từ quỹ tích cơ bản 3)
5. Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d không đổi là hai
đường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d.
6. Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một góc α cố định là hai cung chứa góc α
đối xứng với nhau qua AB và nhận AB làm dây cung. Đặc biệt, nếu α = 90
0
thì quỹ tích

là đường tròn đường kính AB.

S = S = STrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 2 – Tính chấtcủa quĩ tích : Những điểm M thỏa mãnΔMBC ΔMAC ΔMABS = S = S – Tập hợp tìm được : Có 4 điểm M thỏa mãn nhu cầu + Điểm Mlà trọng tâm tam giác ABC ( vìΔMABΔMBC ΔMAC ΔMABS = S = S + Điểm M, M, Mlần lượt là đỉnh của các hình bình hành ABCM ; BACMvàACBM ( VìΔMBC ΔMAC ΔMAB ΔABCS = S = S S )  Ta thấy : Tập hợp tìm được là 4 điểm rời rạcVí dụ 4 : Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, quỹ tích những điểm M thỏa mãn nhu cầu : MA = MB = MClà tập rỗng ( Không có điểm M nào thỏa mãn nhu cầu ) II. GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƢ THẾ NÀO ? Theo định nghĩa quỹ tích ta có : + Gọi T là tập hợp những điểm M có đặc thù + Gọi tập hợp H là hình cần tìm ( H hoàn toàn có thể rỗng ) Giải bài toán quỹ tích chính là việc chứng tỏ T = HTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 3T heo lí thuyết tập hợp ( Lớp 6 ) thìTHT = HHT. Như vậy để chứng tỏ một bài toánquỹ tích thì ta phải chứng tỏ 2 phần ( I ). TH . Chứng minhTH  có nghĩa là ta phải chứng tỏ mọi thành phần của T đềuthuộc H hay với mỗi điểm M bất kể ta luôn cóM T M H   . Chứng minh điều này làviệc đảm báo tính không thiếu của quỹ tích ( Bất cứ thành phần nào có tính chấtT ) đềuthuộc hình H ) ( II ). HT . Chứng minhHT  có nghĩa là ta phải chứng tỏ mọi thành phần của T đềuthuộc H hay nói cách khác với mỗi điểmM’bất kì ta luôn cóM H M T   . Chứngminh điều này là việc bảo vệ tính không thừa của quỹ tích ( Mọi thành phần của H đềumang tính chấtT ) ) – Sau khi chứng tỏ 2 phần trên ta đi đến Kết luận T = H – Chứng minh phần ( I ) gọi là chứng tỏ thuận, chứng tỏ phần ( II ) gọi là chứng minhđảoIII. CÁC BƢỚC GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH trung học cơ sở – Gồm 4 bước : Dự đoán, chứng tỏ phần thuận, chứng tỏ phần hòn đảo, Kết luận quỹ tíchChú ý : Hiện nay do đặc trưng toán quỹ tích là dạng toán khó, phức tạp, yên cầu nhiều thờigian nên bài toán quỹ tích đã giảm bớt mức độ và các bước thực hiên. Đề bài chỉ nhu yếu : “ Khi điểm M vận động và di chuyển trên hình H ( đường tròn, cung tròn, đường thẳng, đoạn thẳng … ) thì điểm N chuyển dời trên đâu ? ”, “ Chứng minh rằng khi điểm M chuyển dời trên hình Hthì N luôn vận động và di chuyển trên 1 đường cố đinh ” … Với những câu hỏi như trên ta bỏ quaBƣớc 3 ( Chứng minh phần hòn đảo ) 1 ) Bƣớc 1 : Dự đoán quỹ tích – Bước này vô cùng quan trọng, nó quyết định hành động đến việc xu thế giải bài toán. Dựđoán quỹ tích cho ta biết được dạng của quỹ tích cần tìm ( đường thẳng hay đường cong ) từ đó so sánh với quỹ tích cơ bản ta hoàn toàn có thể tìm được quỹ tích đúng chuẩn. Bước nàythường làm ra nháp – Phương pháp Dự kiến quỹ tích ( 4 giải pháp ) 1.1 ) Phƣơng pháp 1 : Thực nghiệmTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 4 – Đây là giải pháp thông dụng nhất, ta dựa vào đặc thù của 1 số ít quỹ tích để dựđoán + Nếu quỹ tích có 3 điểm thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại thẳng ( đoạn thẳng, tia, đường thẳng … ) + Nếu quỹ tích có 3 điểm không thẳng hàng thì quỹ tích thuộc loại cong ( cung tròn, nửa đường tròn, đường tròn … ) – Để Dự kiến quỹ tích một cách đúng mực, cần chú ý quan tâm 3 yếu tố sau + Yếu tố cố định và thắt chặt, không đổi : Thường là yếu tố cho trước hoặc phát hiện thêm từnhững yếu tố cho trước đó + Yếu tố sinh ra quỹ tích + Yếu tố quỹ tích – Căn cứ vào đặc thù của yếu tố quỹ tích, theo dõi sự hoạt động của yếu tố sinh raquỹ tích ở những điểm đặc biệt quan trọng để tìm ra những điểm đặc biệt quan trọng của quỹ tích. Ngày nay, vớisự tăng trưởng can đảm và mạnh mẽ của công nghệ thông tin, tất cả chúng ta có sử dụng một số ít phần mềmhình học động như GSP, Geogebra, Cabri … để Dự kiến quỹ tích một cách đúng mực vànhanh chóng. Ví dụ 5 ( Lớp 7 ) : Cho đường thẳng d cố định và thắt chặt và một điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm B di động trên đường thẳng d. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng ABChú ý : Trong bài toán trên, yếu tố cố định và thắt chặt là đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d ; yếutố sinh ra quỹ tích là điểm B ; yếu tố quỹ tích là điểm M ( trung điểm của đoạn thẳng AB ) * Dự đoán quỹ tích : Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 5 – Với vị trí điểm B như hình vẽ thì ta luônxác định được điểm M là trung điểm củaAB – Gọi H là hình chiếu của A trên d – Khi điểm B trùng với điểm H thì điểmM trùng với điểm K là trung điểm của AH – Khi B trùngB’thì M trùngM ‘ – Ta thấy 3 điểm M, M’và K thẳng hàng vậy quỹ tích M là đường thẳng. Trong quá trìnhdự đoán ta còn phát hiện ra thêm một yếu tố không đổi là đoạn thẳng AH và một yếu tốcố định là trung điểm K của đoạn thẳng AH.Ví dụ 6 ( Lớp 8 ) : Cho đoạn thẳng AB cố định và thắt chặt, điểm C hoạt động trên đoạn thẳng AB.Dựng hai hình vuông vắn ACEF và BCHG nằm cùng phía với nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi OvàO’là tâm của hai hình vuông vắn trên. Tìm quỹ tích trung điểm I củaOO’khi C hoạt động trên đoạn thẳng AB + Dự đoán quỹ tích : Trong bài toán trên các yếu tố cố định và thắt chặt là hai điểm A, B, đường thẳngAB ; yếu tố không đổi là độ dài đoạn thẳng AB ; yếu tố sinh ra quỹ tích là điểm C ; yếu tốTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 6 quỹ tích là điểm I. Từ những yếu tố trên, ta còn phát hiện ra thêm yếu tố cố định và thắt chặt là trungđiểm của AB ; yếu tố không đổi là hình vuông vắn dựng trên đoạn AB … – Khi điểm CA thì hình vuông vắn ACEF suy biến thành điểm A, hình vuông vắn BCHG biếnthành hình vuông vắn ABMNOA  OO  II  là trung điểm của OAlà một điểmthuộc quỹ tích – Khi điểm CB thì hình vuông vắn BCHG suy biến thành điểm B, hình vuông vắn ACEF biếnthành hình vuông vắn ABMNOO  OB  II  là trung điểm của OBlà một điểmthuộc quỹ tích – Khi điểm Clà trung điểm của AB thì hình vuông vắn ACEF suy thành hình vuông11AC OF, hình vuông vắn BCHG biến thành hình vuông11AC OFII  ( là trung điểm của Ilà một điểm thuộc quỹ tíchTa ta thấy 3 điểm I ; I ; Ithẳng hàng nên quỹ tích là một đường thẳngVí dụ 7 ( Lớp 9 ) : Cho đường tròn ( O ) và một điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ). Từ Mkẻ cát tuyến MAB. Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi cát tuyến quay quanh MDự đoán quỹ tích : Trong bài toán trên yếu tố cố định và thắt chặt là điểm M, điểm O, đường tròn ( O ) ; yếu tố không đổi là bán kinh đường tròn ( O ), độ dài MO ; yếu tố sinh quỹ tích là cát tuyếnquay quanh M ; yếu tố quỹ tích là điểm I. Ta còn phát hiện ra thêm các yếu tố cố định và thắt chặt làTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 7 điểm 2 tiếp điểm C và D của tiếp tuyến kẻ từ M với ( O ), trung điểm của 2 cung CD nhỏvà CD lớn ; yếu tố không đổi là các tiếp tuyến tại M với ( O ) … + Khi cát tuyến MAB trở thành tiếp tuyến tại C thìA B C I    C là điểm thuộc quỹtích + Tương tự D là điểm thuộc quỹ tích ( D là tiếp điểm thứ 2 của tiếp tuyến qua M vớiđường tròn ( O ) ) + Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O thì ABEF ( EF là đường kính của đường tròn ) IO   O cũng là điểm thuộc quỹ tíchKết luận : Quy tích là cung tròn tròn đi qua C, D, O1. 2 ) Phƣơng pháp : dựa vào số giao điểm của quỹ tích với đƣờng thẳng cố định và thắt chặt – Phát hiện trong hình vẽ 1 đường thẳng d cố đinh + Nếu quỹ tích chỉ có 1 điểm chung cố định và thắt chặt với đường thẳng d thì quỹ tích thuộc loạithẳng + Nếu quỹ tích có 2 điểm chung cố định và thắt chặt với d thì quỹ tích thuộc loại trònVí dụ 8 ( Quỹ tích cơ bản ) : Cho hai điểm A, B cố định và thắt chặt. Tìm quỹ tích những điểm M saocho MA = MB + Dự đoán : Ta thấy trên đường thẳng AB chỉ có 1 điểm Mthỏa mãn MA = MB đó làđiểm Mlà trung điểm của AB tức là quỹ tích trên chỉ có 1 giao điểm duy nhất với đườngthẳng ABQuỹ tích thuộc loại thẳngVí dụ 9 ( Lớp 9 ) : Cho hai đường tròn ( O ) và ( O ) cố định và thắt chặt và ở ngoài nhau. Tìm quỹ tíchnhững điểm M nhìn 2 đường tròn đó những góc bằng nhau ( Góc nhìn từ 1 điểm đến 1 đường tròn là góc tạo bởi hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đó với đường tròn ) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 8D ự đoán quỹ tích : Ta phải quỹ tích những điểm M sao cho12MM  + Vì hai đường tròn ở ngoài nhau nên ta luôn dựng được 2 tiếp tuyến chung ngoài cătnhau tại I và J. Quan sát trên hình vẽ ta thấy I và J nằm trên đường nối tâm cô định và làhai điểm thuộc quỹ tíchQuỹ tích giao với đường thẳng Otại 2 điểm cố định và thắt chặt nênquỹ tích cần tìm thuộc dạng trònChú ý : Trong ví dụ này chưa cần lý giải tại sao I và J nằm trên đường nối tâm OvàI, J thuộc quỹ tích. 1.3 ) Phƣơng pháp 3 : Dựa vào đặc thù đối xứng * Nhận xét : – Nếu đường thẳngxd  thì x nhận đường thẳng d là trục đối xứng và ngược lại – Nếu đường tròn ( O ) nhận d là trục đối xứng thì tâm O nằm trên d. Do vậy, ta có 2 Kết luận sauTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 91 ) Nếu quỹ tích thuộc loại thẳng và lại nhận một đường thẳng d cố định và thắt chặt là trục đốixứng thì quỹ tích phải là đường thẳng vuông góc với d2 ) Nếu quỹ tích thuộc loại tròn mà nhận một đường thẳng d nào đó là trục đối xứngthì tâm của đường tròn đó phải nằm trên dVí dụ : Xét ví dụ 8 ta thấyVề hai phía của đường thẳng AB khi nào cũng tìm được hai điểm M vàM’thỏa mãn MA = MB = M’A = M’BQuỹ tích những điểm M có đặc thù MA = MB là một đườngthẳng vuông góc với AB vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với ABVí dụ : Xét ví dụ 9V ề hai phía của Ota luôn tìm được 2 điểm M và M ’ thỏa mãn1212M M M M = = ‘ = ‘ dovậy quỹ tích nhận đường thẳng Olà trục đối xứng. Kết luận quỹ tích điểm M có tínhchất12MM  là đường tròn nhận đường thẳng Olà trục đối xứng mà quỹ tích đi quahai điểm I, J nên quỹ tích là đường tròn đường kính IJ1. 4 ) Phƣơng pháp 4 : Dựa vào thành phần xa vô tậnTheo hình học phi Ơclit thì – Mỗi đường thẳng được xem là có 1 điểm ở xa vô tận – Hai đường thẳng song song cắt nhau ở 1 điểm xa vô tậnTừ đó ta rút ra 2 Tóm lại sau : 1 ) Nếu quỹ tích có 1 điểm ở xa vô tận thì quỹ tích là 1 đƣờng thẳng2 ) Nếu quỹ tích không có điểm nào ở xa vô tận thì quỹ tích thuộc loại tròn hoặc có thểlà một phần của đƣờng thẳngVí dụ 10 : Cho 1 đường tròn ( O ) và một điểm I cố đinh bên trong đường tròn. Một đườngthẳng d đi qua I cắt đường tròn ( O ) tại hai điểm A và B. Kẻ hai tiếp tuyến tại A và B cắtnhau ở M. Tìm quỹ tích điểm M * Dự đoánTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 10 + Khi đường thẳng d trùng IO thì dgiao đường tròn ( O ) tại Avà B. Haitiếp tuyến tại Avà Bsong tuy nhiên vớinhau. Hai đường thẳng song song nàysẽ cắt nhau tại điểm ( Điểm M vôtận ) theo Kết luận 1 thì quỹ tích điểm Mlà một đường thẳng nhận OI là trục đốixứng ( vì về hai phía của OI luôn có haiđiểm Mvà Mthuộc quỹ tích đối xứngvới nhau qua OI ) Quỹ tích M làđường thẳng vuông góc với OI2 ) Chứng minh phần thuận – Vì bước “ Dự kiến quỹ tích ” làm ra nháp nên bước “ chứng tỏ phần thuận ” được coilà Bƣớc 1 của phần lời giảiSơ đồ chứng tỏ phần thuận : M T M H    Cụ thể như sauTừ điểm M thuộc TM có đặc thù. Ta chia nhỏ tính chấtthành các tính chất12   . Dựa vào đặc thù và các định lý hình học để suy ra điểm M cũng có tính chất12   M có tính chấtM có tính chấtlà đặc thù của quỹ tích đã biết haycòn gọi là quỹ tích cơ bản ) M thuộc HTóm tắt sơ đồ : M ( ) M ( ) M ( ) M F        – Chú ý : Sau khi triển khai phần thuận, ta hoàn toàn có thể sẽ thấy rằng chỉ một phần của H thuộc vềquỹ tích. Ví dụ mặc dầu điểm P. thuộc đường tròn ( O ) nhưng quỹ tích hoàn toàn có thể chỉ là mộtcung của ( O ). Vì vậy cần chỉ rõ số lượng giới hạn của quỹ tích3 ) Chứng minh phần hòn đảo : M ‘ H M ‘ T    Cụ thể các bước như sau : Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 11 – Xuất phát từ hình gốc ( yếu tố cho trước, hình T bắt đầu, điểm M ’ thuộc H ) ta thiết lậpmột mệnh đề hòn đảo gồm có các thao tác như : Nối, kẻ, dựng song song, dựng vuông góc … nhằm mục đích mục tiêu để điểm M ’ thỏa mãn nhu cầu 1 số ít tính chất12   , những đặc thù còn lạichưa thỏa mãn nhu cầu thì để giành cho việc chứng tỏ – Chứng minh điểmM’thỏa mãn những đặc thù còn lạiM ‘  thỏa mãn tính chấthayM ‘ T  Chú ý : Bước “ chứng tỏ phần hòn đảo ” lúc bấy giờ ít gặp với nguyên do đề bài chỉ nhu yếu tìm raquỹ tích tức là chỉ cần chỉ ra được hình H4 ) Kết luận quỹ tích – Sau khi chỉ ra số lượng giới hạn quỹ tích cần đưa ra Kết luận : Quỹ tích là tập hợp điểm như thếnàoVí dụ : Xét ví dụ 7T a đã chỉ ra rằng quỹ tích điểm I thuộc loại tròn đi qua B, C, O. Mặt khác ta thấy điểm Ikhông thể nằm ngoài ( O ) như vậy quỹ tích điểm I sẽ là cung tròn BOCVí dụ 11 ( Lớp 9 ) : Cho ( O ) và một đường thẳng d cố định và thắt chặt không cắt ( O ), điểm M chuyểnđộng trên d. Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với ( O ). Tìm quỹ tích trung điểm I của ABGiải : Nhận xét : Yếu tố cố định và thắt chặt là đường tròn ( O ), điểm O ; yếu tố không đổi là đường thẳng d ; yếu tố sinh quỹ tích là điểm M, yếu tố quỹ tích là điểm ITính chấtcủa quỹ tích : Trung điểm I của ABĐể chứng tỏ phần thuận và hòn đảo, ta chia đặc thù của điểm I ( đặc thù ) ở đầu bàithành các đặc thù nhỏ như sau :: M : MA, MB là các tiếp tuyến : IAB : IA = IBTrung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 12 : I nằm trong ( O ) Bƣớc 1 : Dự đoán quỹ tích – Phát hiện ra thêm những yếu tố cố định và thắt chặt : Hình chiếu H của O trên dOH cố định và thắt chặt – Về hai phía của OH luôn có được 2 điểm thuộc quỹ tích và đối xứng với nhauQuỹtích nhận OH là trục đối xứng – Khi điểm M trở thành điểmthì MA / / MBAOB là đường kính của ( O ) IO  O thuộc quỹ tích – Khi điểmMH  thì ta dễ thấy I nằm trên OHQuỹ tích có 2 điểm chung với đườngthẳng d cố định và thắt chặt vậy quỹ tích là đường tròn đi qua O và có tâm nằm trên OH – Bạn đọc hoàn toàn có thể tìm đúng chuẩn vị trí của giao điểm thứ 2 của quỹ tích với OH bằng cáchvẽ các tiếp tuyến HK và HN với ( O ) Bƣớc 2 : Chứng minh phần thuậnGọi H là hình chiếu của O trên d ; gọi E là giao điểm của AB và OH.Ta có : MA = MB ( theo t / c tiếp tuyến ) ( 1 ) OA = OB ( nửa đường kính ( O ) ) ( 2 ) Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 13T ừ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra MO là đường trung trực của AB mà IA = IB ( gt ) Ba điểm I, M, Othẳng hàng ( OIE 90 * Xét tứ giác EHMI có : EIM 90 ( cmt ) OHM 90 ( Cách dựng ) tứ giác EHMI nội tiếp ( Theo hệ thức lượng trong đường tròn có : OI.OM = OE.OH ( 3 ) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OAM có22OI. OM = OA R  ( 4 ) Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy raOE. OH = R OE = OHE thuộc OH và cách O một khoảng chừng khôngđổiE cố định và thắt chặt ( 10T ừOIE 90 và E cố định và thắt chặt ( I thuộc đường tròn tâm P. đường kính OEBƣớc 3 : Chứng minh phần đảoTa hoàn toàn có thể thiết lập mệnh đề hòn đảo bằng nhiều cách : Cách 1 : LấyOEI ‘ ( P. ;  ; nối OI ’ cắt d tại điểm M ‘ ( và ) ; nối EIcắt ( O ) tại hai điểmvà B. Ta cần chứng tỏ hai đặc thù còn lại : M’A ‘, M’B ‘ là tiếp tuyến của ( O ) ( ) vàI’A ‘ = I’B ‘ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 14C hứng minh : VìOEI ‘ ( P. ;  OI’E 90   I’A ‘ = I’B ‘  ( t / c đường kính và dây cung ) được chứng minhTa có : tứ giác IEHMnội tiếp ( EI’M ‘ = EHM ‘ = 90T heo hệ thức lượng trong đườngtròn ta có : 2 2 2OI ‘. OM ‘ = OE.OH = R = OA ‘ = OB ‘ ΔOB ‘ M ‘, ΔOA ‘ M ‘  là các tam giác vuông tại Bvà AM’A ‘, M’B ‘ là các tiếp tuyến của đường tròn ( O ) được chứng tỏ. Cách 2 : OEI ‘ ( P. ;  ; nối EIcắt ( O ) tại hai điểm Avà B. Các tiếp tuyến của ( O ) tại Avà Bcắt nhau tại M ). Chứng minh Mthuộc d ( ) vàI’A ‘ = I’B ‘ Cách 3 : OEI ‘ ( P. ;  ; nốiOI’cắt d tạiM ‘. TừM’kẻ 2 tiếp tuyếnM’A ‘ vàM’B ‘ với ( O ). Tacòn phải chứng minhB ‘, I ‘, A’thẳng hàng vàI’A ‘ = I’B ‘ Bạn đọc tự chứng tỏ cách 2 và cách 3B ƣớc 4 : Kết luận quỹ tích – Quỹ tích là đường tròn đường kính OE.Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline : 0987708400 Page 15IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CƠ BẢN1. Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là đường trung trực của đoạn thẳngđó, tức là đường thẳng qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB. 2. Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định và thắt chặt một đoạn AI = R không đổi là đườngtròn tâm I nửa đường kính R. 3. Quỹ tích những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường phân giáccủa góc tạo bởi hai đường thẳng đó. 4. Quỹ tích điểm M sao cho tia OM chia đôi góc xOy thành hai phần bằng nhau là đườngphân giác của góc xOy ( suy ra từ quỹ tích cơ bản 3 ) 5. Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho trước một đoạn d không đổi là haiđường thẳng song song với a và cách a một khoảng cách bằng d. 6. Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định và thắt chặt một góc α cố định và thắt chặt là hai cung chứa góc αđối xứng với nhau qua AB và nhận AB làm dây cung. Đặc biệt, nếu α = 90 thì quỹ tíchlà đường tròn đường kính AB .

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập