Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình bậc hai so với hàm số lượng giác là phương trình có dạng :a. sin2x + b.sinx + c = 0 ( với a ≠ 0 )Tương tự các phương trình a. cos2 x + b. cosx + c = 0 ; a. tan2 x + b.tanx + c = 0 vàa. cot2x + b.cotx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) là các phương trình bậc hai so với hàm số lượng giác .+ Xét phương trình : a. sin2 x + b.sinx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( các phương trình khác làm tương tự như ) .• Bước 1 : Đặt sinx = t ( – 1 ≤ t ≤ 1 ). Phương trình đã cho có dạng : at2 + bt + c = 0 ( * )• Bước 2. Giải phương trình ( * ) – quan tâm chỉ lấy những giá trị của t thỏa mãn nhu cầu – 1 ≤ t ≤ 1. Từ đó suy ra : sinx = ….• Bước 3. Áp dụng cách giải phương trình lượng giác cơ bản⇒ Nghiệm của phương trình đã cho

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2x – 2sinx= 0

A. x = k. πB. x = k2πC. π / 2 + kπD. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có : sin2 x – 2 sinx = 0 ( * )Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) ; khi đó ( * ) trở thành :t2 – 2 t = 0

Với t = 0 ta có ; sinx = 0⇒ x = k. πChọn A.

Ví dụ 2. Giải phương trình : 2sin2x + 3sinx + 1= 0

Lời giải

Ta có ; 2 sin2 x + 3 sinx + 1 = 0 ( * )Đặt t = sinx với – 1 ≤ t ≤ 1 ; khi đó ( * ) trở thành :

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2 x- 1= 0

A.

B.

C. Cả A và B đúngD. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : 2 cos2 x – 1 = 0 ⇒ cos2x = 1/2

Chọn C.

Ví dụ 4. Giải phương trình : 3cos2x + 3cosx- 6= 0

A.k. πB. π / 2 + k. πC. π / 4 + k2πD. π / 2 + k. 2 π

Lời giải

Ta có ; 3 cos2x + 3 cosx – 6 = 0 ( * ) .Đặt cosx = t ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) ; khi đó phương trình ( * ) trở thành :3 t2 + 3 t – 6 = 0

Với t = 1 ta có ; cosx = 1⇒ x = k. πChọn A.

Ví dụ 5. Giải phương trình tan2 x+ 3tanx – 4= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : tan2 x + 3 tanx – 4 = 0 ( * )Đặt t = tanx ; khi đó phương trình ( * ) trở thành : t2 + 3 t – 4 = 0

Chọn B .

Quảng cáo

Ví dụ 6. Giải phương trình: tan2 x- √3 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có ; tan2x – √ 3 tanx = 0 ( * )Đặt tanx = t ; khi đó phương trình ( * ) trở thành :t2 – √ 3 t = 0

Chọn D.

Ví dụ 7. Giải phương trình : tanx.cot(π/2- x) = 1

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có : tanx.cot ( 900 – x ) = 1⇒ tanx. tanx = 1

Chọn C.

Ví dụ 8. Giải phương trình: 4cot2 x – 8cotx+ 4= 0

A.arccot ⁡ 2 + kπB. π / 4 + kπC. π / 2 + kπD. arccot 4 + k. πLời giaiTa có : 4 cot2x – 8 cotx + 4 = 0 ( * )Đặt t = cotx ; khi đó phương trình ( * ) trở thành :

4t2 – 8t + 4= 0

⇒ t = 1 ⇒ cot x = 1⇒ x = π / 4 + kπChọn B.

Ví dụ 9. Giải phương trình: tan2 x +10tanx+ 35= 0

A. kπB. π / 4 + kπC. π / 2 + kπD. phương trình vô nghiệm

Lời giải

Ta có : tan2x + 10 tanx + 35 = 0 ( * )Đặt t = tanx ; khi đó phương trình trên trở thành :t2 + 10 t + 35 = 0⇒ Phương trình này vô nghiệm⇒ Phương trình ( * ) vô nghiệm⇒ phương trình đã cho vô nghiệmChọn C .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình: 2sin2 x + sinx – 1= 0 .

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Ta có : 2 sin2 x + sinx – 1 = 0Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) ; khi đó phương trình trên trở thành :

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình √2tan2 x+ √6 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Điều kiện : cosx ≠ 0 hay x ≠ π / 2 + kπTa có : √ 2 tan2x + √ 6 tanx = 0 ( * )Đặt t = tanx ; khi đó phương trình ( * ) trở thành :

Chọn B.

Câu 3:Giải phương trình: √3.sin2x- √6=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Ta có : √ 3. sin2 x – √ 6 = 0 ( * )Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) ; khi đó phương trình ( * ) trở thành :√ 3 t2 – √ 6 = 0

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm .Chọn D .

Câu 4:Biết rằng phương trình : √5cos2 x-√5/2=0 có nghiệm là x= aπ/4+kbπ với k∈Z. Tính a+ b?

A. 1B. 2C. 3D. 4
Hiển thị lời giải

x = π / 4 + kπ ⇒ a = 1 và b = 1 nên a + b = 2 .Chọn B .

Câu 5:Giải phương trình : sin2 x+ sinx – 6=0?

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm
Hiển thị lời giải
Ta có : sin2x + sinx – 6 = 0 ( * )Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) khi đó phương trình ( * ) trở thànht2 + t – 6 = 0

⇒ Phương trình ( * ) vô nghiệm .Chọn D .

Câu 6:Giải phương trình : √3.tan2x -(√3+1).tanx+1=0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Điều kiện : cosx ≠ 0 hay x ≠ π / 2 + kπTa có : √ 3. tan2 x – ( √ 3 + 1 ). tanx + 1 = 0Đặt t = tanx ; phương trình trên trở thành ;√ 3. t2 – ( √ 3 + 1 ). t + 1 = 0

Chọn C .

Câu 7:Giải phương trình : cot2x-( √3+ 1/√3)cotx+1=0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn C .

Câu 8:Giải phương trình : 2sin2 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 ?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Ta có : 2 sin2 2 x + 2 √ 2 sin 2 x + 1 = 0 ( * )Đặt t = sin2x ( – 1 ≤ t ≤ 1 ) khi đó phương trình ( * ) trở thành :2 t2 + 2 √ 2 t + 1 = 0

Chọn A .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập