Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.
Tùy từng bài tập mà các em vận dụng một hay nhiều chiêu thức để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên .
I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn
y2 – 2×2 = 1
Hướng dẫn:
Ta có y2 – 2×2 = 1 ⇒ y2 = 2×2 + 1 ⇒ y là số lẻĐặt y = 2 k + 1 ( với k nguyên ). Ta có ( 2 k + 1 ) 2 = 2×2 + 1⇔ x2 = 2 k2 + 2 k ⇒ x chẵn, mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Hướng dẫn:
Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2 x + 5 y + 1 lẻ ⇒ 5 y chẵn ⇒ y chẵn2 | x | + y + x2 + x = 2 | x | + y + x ( x + 1 ) lẻcó x ( x + 1 ) chẵn, y chẵn ⇒ 2 | x | lẻ ⇒ 2 | x | = 1 ⇒ x = 0Thay x = 0 vào phương trình ta được( 5 y + 1 ) ( y + 1 ) = 105 ⇔ 5 y2 + 6 y – 104 = 0⇒ y = 4 hoặc y = $ \ displaystyle – \ frac { 26 } { 5 } $ ( loại )Thử lại ta có x = 0 ; y = 4 là nghiệm của phương trình
II. Phương pháp 2 : Phương pháp nghiên cứu và phân tích
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2
Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4×3+6×2+4x +1- y2=1
⇔ ( x + 1 ) 4 – y2 = 1 ⇔ [ ( x + 1 ) 2 – y ] [ ( x + 1 ) 2 + y ] = 1⇔ $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } – y = 1 \ \ ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } + y = 1 \ end { array } \ right. $ hoặc $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } – y = – 1 \ \ ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } + y = – 1 \ end { array } \ right. $USD \ displaystyle \ left [ \ begin { array } { l } 1 + y = 1 – y \ \ – 1 + y = – 1 – y \ end { array } \ right. $⇒ y = 0 ⇒ ( x + 1 ) 2 = 1 ⇔ x + 1 = ± 1 ⇒ x = 0 hoặc x = – 2Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ) ; ( – 2, 0 )
III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn
Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Hướng dẫn:
Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1Ta có : 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt
Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8 x – 5 ≥ 8 y – 5 ≥ 11⇒ ( 8 x – 5 ) ( 8 y – 5 ) = 265 vô nghiệmvậy nghiệm của phương trình là bộ ( x, y, z )= ( 35 ; 3 ; 1 ; 1 ) ; ( 9 ; 5 ; 1 ; 1 ) và các hoán vị
IV. Phương pháp 4 : Phương pháp loại trừ
Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩnVí dụ 5 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình1 ! + 2 ! + … + x ! = y2
Hướng dẫn:
Với x ≥ 5 thì x ! có tận cùng là 0 và 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! Có tận cùng là 3Þ 1 ! + 2 ! + … + x ! có tận cùng là 3, không là số chính phương ( loại )Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên : x = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }Thử vào phương trình ta được ( x = 1, y = 2 ) ; ( x = 3, y = 3 ) là thỏa mãn nhu cầu .
Ví dụ 6 : Tìm toàn bộ các nghiệm nguyên của phương trình
y2 + y = x4 + x3 + x2 + x
Hướng dẫn:
Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2 + 4 y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4×2 + 4 x + 1⇒ ( 2×2 + x ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = ( 3 x + 1 ) ( x + 1 )hay ( 2×2 + x + 1 ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = x ( x-2 )Ta thấy :Nếu x > 0 hoặc x < – 1 thì ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) > 0Nếu x > 2 hoặc x < - 1 thì x ( x-2 ) > 0⇒ Nếu x > 2 hoặc x < 1 thì ( 2x2 + x ) < ( 2 y + 1 ) 2 < ( 2x2 + x + 1 ) 2 ( loại )⇒ - 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, - 1, 2Xét x = 2 ⇒ y2 + y = 30 ⇒ y = 5 hoặc y = - 6Xét x = 1 ⇒ y2 + y = 4 ( loại )Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y ( y + 1 ) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Xét x = - 1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Vậy nghệm nguyên của phương trình là 🙁 x, y ) = ( 2, 5 ) ; ( 2, - 6 ) ; ( 0, 0 ) ; ( 0, - 1 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( - 1, - 1 )
V. Phương pháp 5 : Dùng chia hết và có dư
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 2 y2 = 5
Hướng dẫn:
và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2 y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ± 1 hoặc ± 2 ( loại )Vậy phương trình x2 – 2 y2 = 5 vô nghiệm .
Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn
x2 + 3y = 3026
Hướng dẫn:
Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025mà xº ∈ N ⇒ x = 55
Xét y > 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
⇒ x2 + 3 y chia cho 3 dư 0 hoặc 1mà 3026 chia cho 3 dư 2 ( loại )Vậy nghiệm ( x, y ) = ( 55,0 )
6. Phương pháp 6 : Sử dụng đặc thù của số nguyên tố
Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z
Hướng dẫn:
Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 ( thỏa mãn nhu cầu )Xét y > 2 ⇒ y = 2 k + 1 ( k ∈ N ) ⇒ 22 k + 1 + 1 = z ⇒ 2. 4 k + 1 = zCó 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ ( 2.4 k + 1 ) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn nhu cầu ( loại )Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thỏa mãn nhu cầu
VII. Phương pháp 7 : Đưa về dạng tổng
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 – x – y = 8
Hướng dẫn:
Ta có x2 + y2 – x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x – 4 y = 32⇔ ( 4×2 – 4 x + 1 ) + ( 4 y2 – 4 y + 1 ) = 34 ⇔ ( 2 x – 1 ) 2 + ( 2 y – 1 ) 2 = 34Bằng chiêu thức thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng nghiên cứu và phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52Do đó ta có $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } | 2 x – 1 | = 3 \ \ | 2 y – 1 | = 5 \ end { array } \ right. $ hoặc $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } | 2 x – 1 | = 5 \ \ | 2 y – 1 | = 3 \ end { array } \ right. $Giải ra ta được ( x, y ) = ( 2,3 ) ; ( 2, – 2 ) ; ( – 1, – 2 ) ; ( – 1, 3 ) và các hoán vị của nó .
Ví dụ 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – 4xy + 5y2 = 169
Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122
Giải ra ta được ( x, y ) = ( 29, 12 ) ; ( 19, 12 ) ; ( – 19, – 12 ) ; ( 22, 5 ) ; ( – 2, 5 ) ; ( 2, – 5 ) ; ( – 22, – 5 ) ; ( 26, 13 ) ; ( – 26, – 13 ) ; ( – 13. 0 ) ; ( 13, 0 )
VIII. Phương pháp 8 : Lùi vô hạn
Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình
x2 – 5y2 = 0
Hướng dẫn:
Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5 y2 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 + y2 + z2 = x2 y2
Hướng dẫn:
Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2, y2 chia cho 4 đều dư 1
Đặt x = 2×1, y = 2 y1, z = 2 z1Ta có x + y + z = xylập luận tựa như ta có x + y + z = 16 xyQuá trình này cứ liên tục ta thấy ( x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thìUSD \ displaystyle \ left ( \ frac { { { x } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } }, \ frac { { { y } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } }, \ frac { { { z } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } } \ right ) USD là nghiệm của phương trình với k nguyên dương⇒ x1 = y1 = z1 = 0Vậy phương trình có nghiệm là ( 0, 0, 0 )
IX. Phương pháp 9 : Sử dụng đặc thù nghiệm của phương trình bậc 2
Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các đặc thù về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác lập giá trị của tham số .
Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên
3×2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Ta có PT : 3×2 + y2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0⇒ y2 + ( 4 x + 2 ) y + 3 x2 + 4 x + 5 = ) ( * ) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt ( * ) ẩn y ta có
⇒ ( x – n ) ( x + n ) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2Vậy phương trình có nghiệm nguyên( x, y ) = ( 2 ; – 5 ) ; ( – 2, 3 )
Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0
Hướng dẫn:
Ta có x2 – ( y + 5 ) x + 5 y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2Ta có : $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } = y + 5 \ \ { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = 5 y + 2 \ end { array } \ right. $⇒ $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } 5 { { x } _ { 1 } } + 5 { { x } _ { 2 } } = 5 y + 25 \ \ { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = 5 y + 2 \ end { array } \ right. $⇒ 5 x1 + 5×2 – x1x2 = 23⇔ ( x1 – 5 ) ( x2 – 5 ) = 2 Mà 2 = 1.2 = ( – 1 ) ( – 2 )⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2thay vào phương trình ta tìm được các cặp số( x, y ) = ( 7, 8 ) ; ( 6, 8 ) ; ( 4, 2 ) ; ( 3, 2 ) ; là nghiệm của phương trình
X. Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức
Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2 –xy + y2 = 3
Hướng dẫn:
Ta có x2 – xy + y2 = 3 ⇔ ( x – $ \ displaystyle \ frac { y } { 2 } $ ) 2 = 3 – $ \ displaystyle \ frac { 3 y_ { { } } ^ { 2 } } { 4 } $Ta thấy ( x – $ \ displaystyle \ frac { y } { 2 } $ ) 2 = 3 – $ \ displaystyle \ frac { 3 y_ { { } } ^ { 2 } } { 4 } $ ≥ 0⇒ – 2 ≤ y ≤ 2⇒ y = ± 2 ; ± 1 ; 0 thay vào phương trình tìm xTa được các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
Bài tập phương trình nghiệm nguyên:
Tin tức – Tags: nghiệm nguyên, phương trình
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours