Công thức tính độ dài đường phân giác

Công thức tính độ lớn của góc, độ dài của cạnh, diện tích quy hoạnh tam giác thì chắc bạn nào cũng biết rồi, bởi nó quá cơ bản. Không những thế, nhiều bạn còn biết nhiều công thức, nhiều cách tính nữa là đằng khác .
Tuy nhiên, công thức tính độ dài các đường phân giác trong tam giác thì không phải bạn nào cũng biết, thậm chí có bạn còn không biết đến sự tồn tại của công thức này.

Mấy hôm trước, trong một lần tình cờ đọc quyển Hình học sơ cấp và thực hành giải toán mà mình đã nhìn thấy công thức này và khá ấn tượng với nó.

Vậy nên ngày hôm nay mình sẽ san sẻ với những bạn công tính độ dài những đường phân giác trong tam giác, đồng thời chứng minh tính đúng đắn của nó .

#1. Nhắc lại một số công thức có liên quan

Để chứng minh được công thức tính độ dài những đường phân giác trong tam giác thì tối thiểu bạn phải thuộc được công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác và những công thức lượng giác có tương quan .

1.1. Công thức tính diện tích tam giác

Có nhiều công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác, tuy nhiên ở đây tất cả chúng ta chỉ chăm sóc đến công thức : USD S_ { ABC } = \ frac { 1 } { 2 } bc \ sin A $

1.2. Công thức biến đổi lượng giác

Tương tự công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác, công thức biến hóa lượng giác cũng có rất nhiều .
Tuy nhiên ở đây tất cả chúng ta chỉ chăm sóc đến công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, hệ quả của định lý côsin và những dạng tương tự .

• Công thức nhân đôi $\sin2A=2\sin A\cos A \Leftrightarrow \sin A=2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$
• Công thức hạ bậc $\cos^2A=\frac{1+\cos2A}{2} \Leftrightarrow \cos^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2} \Leftrightarrow 2\cos^2\frac{A}{2}=1+\cos A$
• Hệ quả của định lý côsin $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

#2. Công thức tính độ dài các đường phân giác

Tạm thời tất cả chúng ta sẽ thừa nhận tính đúng đắn của những công thức bên dưới, tuy nhiên cũng cần phải chứng minh lại .
Việc chứng minh không chỉ chứng minh và khẳng định được tính đúng đắn của công thức mà còn giúp tất cả chúng ta nhớ được công thức một cách lâu hơn và đúng mực hơn .
Tam giác $ ABC $ có $ AA ’, BB ’, CC ’ $ lần lượt là những đường phân giác của $ \ hat { A }, \ hat { B }, \ hat { C } $
Đặt $ AB = c, BC = a, CA = b, AA ’ = l_ { a }, BB ’ = l_b, CC ’ = l_c USD
Lúc này độ dài những đường phân giác của tam giác $ ABC $ sẽ được tính theo những công thức USD l_a = \ frac { 2 \ sqrt { p ( p-a ) bc } } { b + c } $, USD l_b = \ frac { 2 \ sqrt { p ( p-b ) ca } } { c + a } $, USD l_c = \ frac { 2 \ sqrt { p ( p-c ) ab } } { a + b } $

#3. Chứng minh công thức tính độ dài các đường phân giác

Để tiết kiệm chi phí thời hạn mình chỉ chứng minh cho công thức USD l_a = \ frac { 2 \ sqrt { p ( p-a ) bc } } { b + c } $, hai công thức còn lại những bạn chứng minh trọn vẹn tương tự như .

Bắt đầu chứng minh …

Vì USD l_a USD là đường phân giác của $ \ hat { A } $ nên $ S_ { ABM } + S_ { ACM } = S_ { ABC } $ $ ( 1 ) USD
USD ( 1 ) \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { 2 } cl_a \ sin \ frac { A } { 2 } + \ frac { 1 } { 2 } bl_a \ sin \ frac { A } { 2 } = \ frac { 1 } { 2 } bc \ sin A $
USD ( 1 ) \ Leftrightarrow cl_a \ sin \ frac { A } { 2 } + bl_a \ sin \ frac { A } { 2 } = bc \ sin A $
USD ( 1 ) \ Leftrightarrow ( c + b ) l_a \ sin \ frac { A } { 2 } = bc \ sin A $ $ ( 2 ) USD
Chúng ta đã biết công thức nhân đôi $ \ sin2A = 2 \ sin A \ cos A \ Leftrightarrow \ sin A = 2 \ sin \ frac { A } { 2 } \ cos \ frac { A } { 2 } $
Thay $ \ sin A = 2 \ sin \ frac { A } { 2 } \ cos \ frac { A } { 2 } $ vào USD ( 2 ) USD ta được USD ( c + b ) l_a \ sin \ frac { A } { 2 } = 2 bc \ sin \ frac { A } { 2 } \ cos \ frac { A } { 2 } $ $ ( 3 ) USD
USD ( 3 ) \ Leftrightarrow ( c + b ) l_a = 2 bc \ cos \ frac { A } { 2 } $
USD ( 3 ) \ Leftrightarrow l_a = \ frac { 2 bc } { b + c } \ cos \ frac { A } { 2 } $ $ ( * ) USD
Đến đây tất cả chúng ta đã tìm được công thức tính độ dài đường phân giác của $ \ hat { A } $
Công thức này đã khá là ngắn gọn và hoàn toàn có thể gật đầu được rồi. Tuy nhiên với công thức này, nếu muốn tính được độ dài đường phân giác của $ \ hat { A } $ thì vẫn phải biết độ lớn của $ \ hat { A } $
Để tính được trực tiếp thông qua độ dài ba cạnh của tam giác chúng ta cần tiếp tục biến đổi …

Chúng ta đã biết công thức hạ bậc $ \ cos ^ 2 A = \ frac { 1 + \ cos 2A } { 2 } \ Leftrightarrow \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { 1 + \ cos A } { 2 } \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = 1 + \ cos A $ và hệ quả của định lí côsin $ \ cos A = \ frac { b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 } { 2 bc } $
Xét USD 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = 1 + \ cos A $ $ ( 4 ) USD
USD ( 4 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = 1 + \ frac { b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 } { 2 bc } $
USD ( 4 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { 2 bc + b ^ 2 + c ^ 2 – a ^ 2 } { 2 bc } $
USD ( 4 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { ( b + c ) ^ 2 – a ^ 2 } { 2 bc } $
USD ( 4 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { ( b + c + a ) ( b + c-a ) } { 2 bc } $
USD ( 4 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { b + c + a } { 2 } \ frac { b + c + a-a-a } { bc } $ $ ( 5 ) USD
Chúng ta đã biết công thức nửa chu vi tam giác USD p = \ frac { a + b + c } { 2 } $
Thay USD p = \ frac { a + b + c } { 2 } $ vào USD ( 5 ) USD ta được USD 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = p \ frac { 2 p – 2 a } { bc } $ $ ( 6 ) USD
USD ( 6 ) \ Leftrightarrow 2 \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { 2 p ( p-a ) } { bc } $
USD ( 6 ) \ Leftrightarrow \ cos ^ 2 \ frac { A } { 2 } = \ frac { p ( p-a ) } { bc } $
USD ( 6 ) \ Rightarrow \ cos \ frac { A } { 2 } = \ sqrt { \ frac { p ( p-a ) } { bc } } $
Thay $ \ cos \ frac { A } { 2 } = \ sqrt { \ frac { p ( p-a ) } { bc } } $ vào USD ( * ) USD ta được USD l_a = \ frac { 2 bc } { b + c } \ sqrt { \ frac { p ( p-a ) } { bc } } $
Vậy USD l_a = \ frac { 2 bc } { b + c } \ sqrt { \ frac { p ( p-a ) } { bc } } = \ frac { 2 bc } { b + c } \ frac { \ sqrt { p ( p-a ) } } { \ sqrt { bc } } = \ frac { 2 bc } { b + c } \ frac { \ sqrt { p ( p-a ) } \ sqrt { bc } } { \ sqrt { bc } \ sqrt { bc } } = \ frac { 2 bc } { b + c } \ frac { \ sqrt { p ( p-a ) bc } } { bc } = \ frac { 2 \ sqrt { p ( p-a ) bc } } { b + c } $
Chứng minh hoàn thành …
Mình đã có gắng trình diễn chi tiết cụ thể nhất hoàn toàn có thể, chỉ cần cố rắng đọc thì mình tin chắc là những bạn sẽ hiểu được thôi 🙂

#4. Lời kết

Ngoài công thức tính độ dài những đường phân giác mà mình vừa trình diễn, còn 1 số ít công thức khác nữa, tuy nhiên công thức của mình có 1 số ít ưu điểm đó là :

• Khá ngắn gọn và dễ nhớ.
• Không cần biết độ lớn của góc tương ứng.
• Không cần sử dụng đến các phép tính lượng giác.
• Thích hợp với học sinh Trung học cơ sở vì ở cấp học này các em chưa có nhiều kiến thức về lượng giác.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu dụng với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại những bạn trong những bài viết tiếp theo !
CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn

Bài viết đạt : 5/5 sao – ( Có 1 lượt nhìn nhận )

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập