Cách vận dụng định lý Côsin trong tam giác – https://vietsofa.vn

advietsofavn
Estimated read time 6 min read
Vận dụng định lý Côsin một cách thành thạo là nhu yếu bắt buộc với hầu hết các học viên THPT. Dưới đây mình trình diễn định lý này cùng hệ quả của nó và kinh nghiệm tay nghề vận dụng chúng .

1. Định lý Côsin

ABC, với AB=c, BC=a, CA=b. Ta luôn có
283a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos A
Trong tam giác, với. Ta luôn cób^2 = c^2 + a^2 - 2ca.\cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.\cos C

Định lý có một ý nghĩa rất quan trọng :
“ Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xen giữa “
Bạn ghi nhớ nhận xét này nhé, nó rất có ích trong thực hành thực tế và rất hay dùng đấy .
Từ định lý trên, ta thuận tiện suy ra hệ quả sau

2. Hệ quả

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng :
“ Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh. “
Như vậy, nếu định lý Côsin được cho phép ta tính cạnh thì hệ quả của nó được cho phép ta tính góc. Sau đây tất cả chúng ta sẽ thấy tầm quan trọng của 2 ý nghĩa trên, qua việc vận dụng chúng vào bài toán khá quen thuộc : “ Xây dựng công thức đường trung tuyến trong tam giác. ”

3. Vận dụng

Ví dụ. Cho tam giác, có và M là trung điểm của BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM theo a, b và c.

Phân tích

* Bài toán yêu cầu chúng ta tính độ dài một đoạn thẳng AM, mà nguyên tắc hay dùng để tính đoạn thẳng là xem nó là một cạnh của một giác nào đó.

284

* Theo đề bài, chúng ta có 2 lựa chọn, hoặc xem AM là cạnh của tam giác ABM hoặc là cạnh của tam giác ACM. Nhận thấy, vai trò của hai tam giác này là ngang nhau nên ta chọn tam giác nào cũng được. Mình chọn tam giác ACM. Lý do là vì Google khuyên vậy, 😯 nó bảo có khoảng 38.200.000 kết quả cho từ khóa ACM trong khi chỉ có khoảng 17.800.000 kết quả cho từ khóa ABM :mrgreen:

* Xét tam giác ACM, theo nguyên tắc chung, để tính cạnh AM ta cần biết hai cạnh còn lại là AC, CM và góc xen giữa hai cạnh đó là C. Dễ thấy AC=b theo giả thiết, còn CM=\frac{a}{2} do M là trung điểm của BC, nhưng thật đáng tiếc là ta chưa biết góc C! Như vậy, nếu tính được góc C thì AM sẽ tính được nhờ định lý Côsin.

AM^2 = CA^2 + CM^2 - 2.CA.CM.\cos\widehat{ACM}=b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\cos\widehat{ACM}\ (1)
* Nhận xét rằng, muốn tính góc trong tam giác ta cần biết ba cạnh của tam giác đó. Do đó, không hề xét tam giác ACM để tính góc C được, vì tam giác này đang còn thiếu cạnh AM mà ta cần tính .
* Nhưng, dễ thấy rằng góc C của tam giác ACM cũng là góc C của tam giác ABC. Trong khi tam giác ABC đã có cả 3 cạnh, vậy vận dụng hệ quả của định lý Côsin ta sẽ tính được góc C .
\cos\widehat{ACM} = \cos\widehat{ACB} = \frac{CA^2 + CB^2 - AB^2}{2.CA.CB}=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}\ (2)
* Thay ( 2 ) vào ( 1 ), rồi rút gọn ta có hiệu quả
AM^2 = b^2+\frac{a^2}{4}-b.a.\frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{a^2}{4}
* Về giải thuật, giống như nhiều bài viết khác, câu của mình vẫn là “ Bạn tự làm nhé ! ” 😀

4. Bình luận

* Ta đã kiến thiết xây dựng được công thức đường trung tuyến của tam giác theo ba cạnh, là nhờ dựa vào hai vấn đề cơ bản “ Muốn tính một cạnh, thì cần biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa ”, “ Muốn tính một góc, thì cần biết cạnh ”. Đó cũng chính là hai ý nghĩa quan trọng của định lý Côsin và hệ quả của nó .
* Hiển nhiên, một bài toán có thể giải bằng nhiều cách! Vậy bạn có cách giải nào khác mà không dùng đến định lý Côsin và hệ quả của nó thì mách mình nhé. Hộp bình luận luôn ở dưới cuối bài viết này, mời bạn!


Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.Mời bạn đón đọc các bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpageđể nhận được thông tin khi có update mới .

Avatar for advietsofavn
advietsofavn https://vietsofa.vn

You May Also Like

More From Author

+ There are no comments

Add yours