Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải

Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

a. Kiến thức cần nhớ

– Đạo hàm của hàm hợp:

  [f(u(x))]’ = u'(x).f'(u(x))

– Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x = α là một nghiệm của phương trình : f ( x ) = 0. Khi đó+ ) Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn ( ( x – α ) 2, ( x – α ) 4, … ) thì hàm số y = f ( x ) không đổi dấu khi đi qua α .+ ) Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ ( ( x – α ), ( x – α ) 3, … ) thì hàm số y = f ( x ) đổi dấu khi đi qua α .

b. Phương pháp

Đề tìm cực trị của hàm số y = f(u(x)) ta làm như sau:

– Bước 1: Tính [f(u(x))]’

– Bước 2: Giải phương trình [f(u(x))]’ = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

– Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

– Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên.

Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x2 – 3 ) .

A. 2.

B. 3

C. 4.

D. 5.

Lời giải

Chọn B

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau

Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x2 – 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Chọn A

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu .

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:

A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có : Trên ( – ∞ ; – 1 ) thì f ‘ ( x ) > – 2 ⇔ f ‘ ( x ) + 2 > 0 .Trên ( – 1 ; x0 ) thì f ‘ ( x ) > – 2 ⇔ f ‘ ( x ) + 2 > 0 .Trên ( x0 ; + ∞ ) thì f ‘ ( x ) < - 2 ⇔ f ' ( x ) + 2 < 0 .

Bảng biến thiên của hàm g(x)

Vậy hàm số g ( x ) = f ( x ) + 2 x có 1 cực trị .

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên R và đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trụ hàm số g ( x ) = f ( x2 – 2 x – 1 ) .

A. 6

B. 5.

C. 4.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị .

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên.

Hàm số g ( x ) = f ( – x2 + 3 x ) có bao nhiêu điểm cực lớn ?

A. 3.

B. 4

C. 5.

D. 6.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị .

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( 3 – x ) .

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Vậy hàm số g ( x ) = f ( 3 – x ) có 3 điểm cực trị .

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 7.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có g ‘ ( x ) = f ‘ ( x ) + 3 ; g ‘ ( x ) = 0 ⇔ f ‘ ( x ) = – 3 .Suy ra số nghiệm của phương trình g ‘ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ‘ ( x ) và đường thẳng y = – 3 .

Dựa vào đồ thị ta suy ra Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị

Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) – x2 + 2 x + 2017 .

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 7.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có g ‘ ( x ) = 2 f ‘ ( x ) – 2 x + 2 = 2 [ f ‘ ( x ) – ( x-1 ) ] .Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f ‘ ( x ) tại 3 điểm : ( – 1 ; – 2 ), ( 1 ; 0 ), ( 3 ; 2 ) .

Dựa vào đồ thị ta có

đều là các nghiệm đơn

Vậy hàm số y = g ( x ) có 3 điểm cực trị .

Bài 6: Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'(x). Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

đều là các nghiệm đơn

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.

Bài 7: Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( 4×2 – 4 x ) là

A. 9.

B. 5.

C. 7.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Vậy phương trình y ‘ = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị .

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số đạt cực đại tại:

A. x = -1.

B. x = 0.

C. x = 1.

D. x = 2.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có g ‘ ( x ) = f ‘ ( x ) – x2 + 2 x – 1 ; g ‘ ( x ) = 0 ⇔ f ‘ ( x ) = ( x – 1 ) 2 .Suy ra số nghiệm của phương trình g ‘ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ‘ ( x ) và parapol ( P ) : y = ( x-1 ) 2 .

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực lớn tại x = 1 .

Bài 9: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x)+x2 đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1.

B. x = 0.

C. x = 1.

D. x = 2.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có g ‘ ( x ) = 2 f ‘ ( x ) + 2 x ; g ‘ ( x ) = 0 ⇔ f ‘ ( x ) = – x .Suy ra số nghiệm của phương trình g ‘ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f ‘ ( x ) và đường thẳng y = – x .

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) đạt cực tiểu tại x = 0 .

Bài 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số g ( x ) = f [ f ( x ) ] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 6.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị suy ra :● Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x = 0 ( nghiệm kép ) và x = a ( a > 2 ) .● Phương trình ( 2 ) có một nghiệm x = b ( b > a ) .Vậy phương trình g ‘ ( x ) = 0 có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g ( x ) = f [ f ( x ) ] có 4 điểm cực trị .Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập