Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây
Sách giải toán 11 Bài 3 : Một số phương trình lượng giác thường gặp giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện năng lực suy luận hài hòa và hợp lý và hợp logic, hình thành năng lực vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác :
Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 29: Giải các phương trình trong ví dụ 1.
a ) 2 sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất so với sinx .
b ) √ 3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx .
Lời giải:
a ) 2 sinx – 3 = 0 ⇔ sin x = 3/2, vô nghiệm vì | sin x | ≤ 1
b ) √ 3 tan x + 1 = 0 ⇔ tan x = ( – √ 3 ) / 3 ⇔ x = ( – π ) / 6 + kπ, k ∈ Z
a ) 3 cos2x – 5 cosx + 2 = 0 ;
b ) 3 tan2x – 2 √ 3 tanx + 3 = 0 .
Lời giải:
a ) 3 cos2x – 5 cos x + 2 = 0
Đặt cos x = t với điều kiện kèm theo – 1 ≤ t ≤ 1 ( * ) ,
ta được phương trình bậc hai theo t :
3 t2 – 5 t + 2 = 0 ( 1 )
Δ = ( – 5 ) 2 – 4.3.2 = 1
Phương trình (1)có hai nghiệm là: 
Ta có :
cos x = 1 ⇔ cos x = cos 0
⇔ x = k2π, k ∈ Z
cos x = 2/3 ⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z
b ) 3 tan2 x – 2 √ 3 tan x + 3 = 0
Đặt tan x = t
ta được phương trình bậc hai theo t :
3 t2 – 2 √ 3 t + 3 = 0 ( 1 )
Δ = ( – 2 √ 3 ) 2 – 4.3.3 = – 24 < 0
Vậy Phương trình ( 1 ) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn nhu cầu đề bài
a ) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản ;
b ) Công thức cộng ;
c ) Công thức nhân đôi ;
d ) Công thức biến hóa tích thành tổng và tổng thành tích .
Lời giải:
a ) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
sin2α + cos2α = 1
1 + tan2α = 1 / ( cos2α ) ; α ≠ π / 2 + kπ, k ∈ Z
1 + cot2α = 1 / ( sin2α ) ; α ≠ kπ, k ∈ Z
tan α. cot α = 1 ; α ≠ kπ / 2, k ∈ Z
b ) Công thức cộng :
cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin ( a – b ) = sin a cos b – cos a sin b
c ) Công thức nhân đôi :
sin 2 α = 2 sin α cos α
cos 2 α = cos2α – sin2α = 2 cos2α – 1 = 1 – 2 sin2α
d ) Công thức đổi khác tích thành tổng :
cos a cos b = 1/2 [ cos ( a – b ) + cos ( a + b ) ]
sin a sin b = 1/2 [ cos ( a – b ) – cos ( a + b ) ]
sin a cos b = 1/2 [ sin ( a – b ) + sin ( a + b ) ]
Công thức biến hóa tổng thành tích :
Lời giải:
3 cos2 6 x + 8 sin 3 x cos 3 x – 4 = 0
⇔ 3 ( 1 – sin26x ) + 4 sin 6 x – 4 = 0
⇔ – 3 sin26x + 4 sin 6 x – 1 = 0
Đặt sin 6 x = t với điều kiện kèm theo – 1 ≤ t ≤ 1 ( * ) ,
ta được phương trình bậc hai theo t :
– 3 t2 + 4 t – 1 = 0 ( 1 )
Δ = 42 – 4. ( – 1 ). ( – 3 ) = 4
Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm là :
Ta có :
sin 6 x = ( – 1 ) / 3 ⇔ 6 x = arcsin ( – 1 ) / 3 + k2π và 6 x = π – arcsin ( – 1 ) / 3 + k2π
⇔ x = 1/6 arcsin ( – 1 ) / 3 + k π / 3, và x = π / 6 – 1/6 arcsin ( – 1 ) / 3 + kπ / 3, k ∈ Z
sin 6 x = – 1 ⇔ sin 6 x = sin ( – π ) / 2
⇔ 6 x = ( – π ) / 2 + k2π, k ∈ Z
⇔ x = ( – π ) / 12 + kπ / 3, k ∈ Z
sin ( a + b ) = sina cosb + sinb cosa ;
sin ( a – b ) = sina cosb – sinb cosa ;
cos ( a + b ) = cosa cosb – sina sinb ;
cos ( a – b ) = cosa cosb + sina sinb ;
và tác dụng cos π / 4 = sinπ / 4 = √ 2/2, hãy chứng tỏ rằng :
a ) sinx + cosx = √ 2 cos ( x – π / 4 ) ;
b ) sin x – cosx = √ 2 sin ( x – π / 4 ) .
Lời giải:
a ) sin x + cos x = √ 2. ( √ 2/2 sin x + √ 2/2 cos x )
= √ 2. ( sin π / 4 sin x + cos π / 4 cos x )
= √ 2.cos ( x – π / 4 )
b ) sin x – cos x = √ 2. ( √ 2/2 sin x – √ 2/2 cos x )
= √ 2. ( cos π / 4 sin x + sin π / 4 cos x )
= √ 2.sin ( x – π / 4 )
Lời giải:
Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải phương trình: sin2x – sin x = 0
Lời giải:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z).
Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
a ) 2 cos2x – 3 cos x + 1 = 0
b ) 2 sin 2 x + √ 2. sin4x = 0 .
Lời giải:
a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)
đặt t = cosx, điều kiện kèm theo – 1 ≤ t ≤ 1
( 1 ) trở thành 2 t2 – 3 t + 1 = 0
(thỏa mãn điều kiện).
+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k. 2 π ( k ∈ Z )
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z).
Vậy phương trình có tập nghiệm
(k ∈ Z)
Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
( k ∈ Z )
Lời giải:
(Phương trình bậc hai với ẩn 
).
( Phương trình bậc hai với ẩn ) .
Vậy phương trình có họ nghiệm x = k. π ( k ∈ Z )
b. 8 cos2x + 2 sinx – 7 = 0 ( 1 )
⇔ 8 ( 1 – sin2x ) + 2 sinx – 7 = 0
⇔ 8 sin2x – 2 sinx – 1 = 0 ( Phương trình bậc hai với ẩn sin x )
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ k2π; 
+ k2π; arcsin
+ k2π; π – arcsin
+ k2π (k ∈ Z).
c. Điều kiện: 
2 tan2x + 3 tanx + 1 = 0 ( Phương trình bậc 2 với ẩn tan x ) .
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ kπ; arctan
+ kπ} (k ∈ Z)
d. Điều kiện 
tanx – 2.cotx + 1 = 0
(Thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)
Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
a. 2 sin2 x + sinx.cosx – 3 cos2 x = 0
b. 3 sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x = 2
c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2
d. 2 cos2x – 3 √ 3 sin2x – 4 sin2x = – 4
Lời giải:
a ) 2 sin2x + sinx.cosx – 3 cos2x = 0 ( 1 )
+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1
Phương trình ( 1 ) trở thành : 2 = 0 ( loại )
+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của ( 1 ) cho cos2x ta được :
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
b ) 3 sin2x – 4sinx.cosx + 5 cos2x = 2
⇔ 3 sin2x – 4sinx.cosx + 5 cos2x = 2 ( sin2x + cos2x )
⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 ( 1 )
+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 0 .
Phương trình ( 1 ) trở thành 1 = 0 ( Vô lý ) .
+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1
( 1 ) trở thành 1 = 0 ( Vô lý ) .
+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được :
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Ta có: 
nên tồn tại α thỏa mãn 
( 1 ) trở thành : cos α. sin3x – sin α. cos 3 x = 1
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z)
với α thỏa mãn 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Vì 
nên tồn tại α thỏa mãn 
( * ) ⇔ cos α. cos 2 x + sin α. sin 2 x = 1
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z)
với α thỏa mãn 
Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
a. tan ( 2 x + 1 ). tan ( 3 x – 1 ) = 1
b. tanx + tan ( x + π / 4 ) = 1
Lời giải:
a. Điều kiện: 
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z).
b. Điều kiện :
⇔ tan x. ( 1 – tanx ) + tanx + 1 = 1 – tan x .
⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0
⇔ tan2x – 3 tanx = 0
⇔ tanx(tanx – 3) = 0
Vậy phương trình có tập nghiệm { kπ ; arctan3 + kπ } ( k ∈ Z )
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours