Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác cực hay

Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Hàm số y = 1 / f ( x ) xác định khi f ( x ) ≠ 0 .+ Hàm số y = √ ( f ( x ) ) xác định khi f ( x ) ≥ 0 .+ Hàm số y = 1 / √ ( f ( x ) ) xác định khi f ( x ) > 0+ Hàm số y = tan [ f ( x ) ] xác định khi cos [ f ( x ) ] ≠ 0 .+ Hàm số y = cot [ f ( x ) ] xác định khi sin [ f ( x ) ] ≠ 0+ Hàm số y = tan [ f ( x ) ] + cot ⁡ [ g ( x ) ] xác định khi cos ⁡ [ f ( x ) ] ≠ 0 ; sin ⁡ [ g ( x ) ] ≠ 0* Chú ý :sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ k. πcosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π / 2 + kπ với k nguyênsinx ≠ 1 ⇔ x ≠ π / 2 + k2π và sinx ≠ – 1 ⇔ x ≠ – π / 2 + k2πcosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π và cosx ≠ – 1 ⇔ x ≠ π + k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định .

Ví dụ 3. Tập xác định của hàm số .
là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Ta có .

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R

Ví dụ 4. Hàm số
chỉ xác định khi:

A.x ≠ π / 2 + kπ, k ∈ Z .B.x = 0 .C.x ≠ kπ, k ∈ Z .D.x = k2π, k ∈ Z .

Lời giải:

Chọn DHàm số đã cho xác định khi cos x – 1 ≥ 0, mà cos x – 1 ≤ 0, ∀ x ∈ RDo vậy để hàm số xác định thì cosx = 1, x = k2π, k ∈ Z

Quảng cáo

Ví dụ 5. Tập xác định của hàm số là:

A. R

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn CHàm số xác định khi cos ⁡ ( x / 2 – π / 4 ) ≠ 0⇔ x / 2 – π / 4 ≠ π / 2 + kπ ⇔ x / 2 ≠ 3 π / 4 + kπ⇔ x ≠ 3 π / 2 + k2π, k ∈ Z

Ví dụ 6: Tập xác định của hàm số D. .
là:

A. R \ { π / 6 + kπ / 2, k ∈ Z } .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn AHàm số xác định khi sin ⁡ ( 2 x – π / 3 ) ≠ 0⇔ 2 x – π / 3 ≠ kπ ⇔ 2 x ≠ π / 3 + kπ⇔ x ≠ π / 6 + kπ / 2, k ∈ Z

Ví dụ 7. Xét hai mệnh đề sau:

( I ) : Các hàm số y = sin x và y = cosx có chung tập xác định là R( II ) : Các hàm số y = tanx và y = cotx có chung tập xác định là

. .

A. Chỉ ( I ) đúng. B. Chỉ ( II ) đúng. C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng .

Lời giải:

Chọn A+ Hai hàm số y = sinx và y = cosx có chung tập xác định là D = R⇒ ( I ) đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là .

Và hàm số y= cot x tập xác định là .

suy ra ( II ) sai

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

ĐK: .

Tập xác định .

.

Ví dụ 9: Tập xác định của hàm số .
là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số .

và .

ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A

Ví dụ 10: Tìm tập xác định D của hàm số .

A. .

B = R

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Ta có .

Vậy tập xác định D = R .

Ví dụ 11: Tìm tập xác định của hàm số .

A.Ta có .

B. D =

C. Ta có .

D .

Ta có .

Lời giải:

Chọn C

Ta có .

Vậy hàm số đã cho xác định khi .

Ví dụ 12: Tìm tập xác định của hàm số: .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi

Mà cos18x ≥ – 1 ⇒ 19 cos18 x ≥ – 19⇒ 20 + 19 cos18x ≥ 20-19 = 1 > 0Vậy 20 + 19 cos18x > 0, ∀ x ∈ R nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :Vậy hàm số đã cho xác định khi x ≠ π / 2 + k2π, k ∈ Z

Ví dụ 13: Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn DTa xét các giải pháp :+ Với A thì hàm số xác định khi+ Với B thì hàm số xác định khi+ Với C thì hàm số xác định khi tan2x xác định ≤ ⇒ cos2x ≠ 0

.

+ Với D thì cos 4 x ≥ – 1 và sin2x ≥ – 1 với ∀ x⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0 với mọi x

⇒

Ví dụ 14: Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y = tanx

B.

C.

D.
.

Lời giải:

Chọn CVới A thì hàm số xác định khi cosx khác 0Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với C thì hàm số xác định khi

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

Ví dụ 15: Hàm số có tập xác định là:

A. .

B.D = R .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn BHàm số đã cho xác định khi :

đúng với mọi x

Do đó hàm số đã cho có tập xác định : D = R

Ví dụ 16: Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số
có tập xác định là các đoạn

B. Hàm số
có tập xác định là các đoạn

C. Hàm số
có tập xác định là các đoạn

D. Hàm số
có tập xác định là các đoạn

Lời giải:

Chọn CTa xét các giải pháp :

+ Với A thì hàm số
xác định khi

Vậy A sai .

+ Với B thì hàm số
xác định khi

Vậy B sai .

+ Với C thì hàm số xác định khi
xác định khi

Vậy C đúng .

Ví dụ 17: Xét hai mệnh đề:

(I): Các hàm số y= 1/sinx và y= cotx có chung tập xác định là .

(II):Các hàm số y= 1/cosx và y= tanx có chung tập xác định là .

A. Chỉ ( I ) đúng .B. Chỉ ( II ) đúng .C. Cả hai đều sai .D.Cả hai đều đúng .

Lời giải:

Chọn D+ Ta thấy cả hai hàm số y = 1 / sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0 .+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0 .⇒ Cả hai mệnh đề đã cho là đúng .

Ví dụ 18: Cho hàm số . Tập xác định của hàm số là:

A..

B..

C..

D..

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi: .

Ví dụ 19: Cho hàm số
. Tập xác định:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi

Ví dụ 20: Cho hàm số
.Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định k∈Z

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi .

Khoảng .

nên hàm số không xác định trong khoảng chừng này

Ví dụ 21: Tập xác định của hàm số y= cosx/(cos3x.cos⁡( x- π/3).cos⁡( π/3+x) ) là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn AHàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :cos ⁡ 3x.cos ⁡ ( x – π / 3 ). cos ⁡ ( π / 3 + x ) ≠ 0

.

Ví dụ 22: Tập xác định của hàm số .
là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số .
xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số là : D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z } .

Ví dụ 23: Tập xác định của hàm số .
là:

A. .

B.D = R.

C. .

D. .

Lời giải:

Chọn ATa có – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên – 3 ≤ – 3 cos ⁡ 2 x ≤ 3⇒ 2 ≤ 5-3 cos2x ≤ 8. Vậy 5-3 cos2x > 0 với mọi x. .

Mặt khác

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm tập xác định của hàm số y=sin(1/x)+2x

A. D = [ – 2 ; 2 ]B. D = [ – 1 ; 1 ] \ { 0 }C. D = RD. D = R \ { 0 }
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số đã cho xác định khi six ( 1 / x ) xác định < ⇒ x ≠ 0 .

Câu 2:Tìm tập xác định của hàm số y=(1+cosx)/sinx

A. D = R \ { kπ | k ∈ Z } .B. D = R \ { π / 2 + kπ | k ∈ Z } .C. D = R \ { π + k2π | k ∈ Z } .D. D = R \ { k2π | k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn AHàm số đã cho xác định khi : sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ ; k ∈ Z.Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ { kπ ; k ∈ Z }

Câu 3:Tập xác định của hàm số y= tan(2x+π/3) là

A. D. D = R \ { π / 2 + kπ | k ∈ Z } .B. D. D = R \ { π / 6 + kπ | k ∈ Z } .C. D. D = R \ { π / 12 + kπ | k ∈ Z } .D. D. D = R \ { π / 12 + kπ / 2 | k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số đã cho xác định khicos ⁡ ( 2 x + π / 3 ) ≠ 0 ⇔ 2 x + π / 3 ≠ π / 2 + kπ ⇒ 2 x ≠ π / 6 + kπ⇔ x ≠ π / 12 + kπ / 2, k ∈ Z ⇒ D = R \ { π / 12 + kπ / 2, k ∈ Z } .

Câu 4:Xét bốn mệnh đề sau

( 1 ) Hàm số y = sinx có tập xác định là R( 2 ) Hàm số y = cosx có tập xác định là R( 3 ) Hàm số y = tan x có tập xác định là R \ { kπ | k ∈ Z }( 4 ) Hàm số y = cotx có tập xác định là R \ { kπ / 2 | k ∈ Z }Số mệnh đề đúng làA. 1. B. 2. C. 3. D. 4 .
Hiển thị lời giải
Chọn BMệnh đề ( 1 ) và ( 2 ) là đúngMệnh đề ( 3 ) và ( 4 ) là saiSửa lại cho đúng như sau( 3 ) : Hàm số y = tanx có TXĐ là R \ { π / 2 + kπ | k ∈ Z }( 4 ) Hàm số y = cot x có TXĐ là R \ { kπ | k ∈ Z } .

Câu 5:Tập xác định của hàm số .
là

A. D = [ 0 ; 2 π ]B. D = [ 0 ; + ∞ ]C. D = RD. D = R \ { 0 }
Hiển thị lời giải
Chọn BHàm số đã cho xác định khi x ≥ 0 .

Câu 6:Tập xác định của hàm số y=(2sinx+1)/(1-cosx) là:

A. x ≠ kπ / 2 .B. x ≠ kπ .C. x ≠ π / 2 + kπ .D. x ≠ π / 2 + k2π .
Hiển thị lời giải
Chọn AHàm số xác định khi : 1 – cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ k2π .

Câu 7: Tập xác định của hàm số y= tan 2x là

A. x ≠ – π / 4 + kπ / 2 .B. x ≠ π / 2 + kπ .C. x ≠ π / 4 + kπ / 2 .D. x ≠ π / 4 + kπ .
Hiển thị lời giải
Chọn CĐiều kiện xác định của hàm số đã cho là :cos2x ≠ 0 ⇒ 2 x ≠ π / 2 + kπ ⇒ x ≠ π / 4 + kπ / 2

Câu 8:Tập xác định của hàm số y=(1-sinx)/(sinx+1) là

A.x ≠ π / 2 + k2π .B.x ≠ k2π .C.x ≠ 3 π / 2 + k2π .D.x ≠ π + k2π .
Hiển thị lời giải
Chọn CĐiều kiện xác định của hàm số đã cho là : sinx ≠ 1 ⇒ x ≠ 3 π / 2 + k2π .

Câu 9:Tập xác định của hàm số y=(1-3cosx)/sinx là

A.x ≠ π / 2 + kπ .B.x ≠ k2π .C.x ≠ kπ / 2 .D.x ≠ kπ .
Hiển thị lời giải
Chọn DĐiều kiện xác định của hàm số đã cho là : sinx ≠ 0 ⇒ x ≠ kπ

Câu 10:Tập xác định của hàm số y=tan(2x-π/3) là

A.x ≠ π / 6 + kπ / 2 .B.x ≠ 5 π / 12 + kπ .C.x ≠ π / 2 + kπ .D.x ≠ 5 π / 12 + kπ / 2 .
Hiển thị lời giải
Chọn DĐiều kiện xác định của hàm số đã cho là :cos ( 2 x – π / 3 ) ≠ 0 ⇒ 2 x – π / 3 ≠ π / 2 + kπ ⇒ 2 x ≠ 5 π / 6 + kπ ⇒ x ≠ 5 π / 12 + kπ / 2 .

Câu 11:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/(sin(x-π/2))

A. D = R \ { k π / 2 ; k ∈ Z } .B. D = R { kπ ; k ∈ Z } .C. D = R \ { ( 1 + 2 k ) π / 2 ; k ∈ Z } .D. D = R { ( 1 + 2 k ) π ; k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn CHàm số xác định khi và chỉ khi :sin ( x-π / 2 ) ≠ 0 ⇔ x-π / 2 ≠ kπ ⇔ x ≠ π / 2 + kπ, k ∈ ZVậy tập xác định D = R \ { ( 1 + 2 k ) π / 2 ; k ∈ Z }. .

Câu 12:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/(sinx-cosx)

A. D = R .B. D = R \ { ( – π ) / 4 + k2π ; k ∈ Z } .C. D = R \ { π / 4 + k2π ; k ∈ Z } .D. D = R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số xác định khi và chỉ khi :sinx-cosx ≠ 0 ⇔ tanx ≠ 1 ⇔ x ≠ π / 4 + kπ, k ∈ ZVậy tập xác định D = R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .

Câu 13:Tìm tập xác định D của hàm số y= cot(2x- π/4)+sin2x.

A. R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .B. D = RC. R \ { π / 8 + kπ ; k ∈ Z } .D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số xác định khi và chỉ khi :sin ( 2 x – π / 4 ) ≠ 0 ⇔ 2 x – π / 4 ≠ kπ ⇔ x ≠ π / 8 + k π / 2, k ∈ ZVậy tập xác định D = R \ { π / 8 + kπ / 2, k ∈ Z } .

Câu 14:Tìm tập xác định D của hàm số y= √(sinx+2)

A.D = R .B.D = [ – 2 ; + ∞ ] .C.D = [ 0 ; 2 π ] .D.D = Ø .
Hiển thị lời giải
Chọn ATa có – 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 1 ≤ sinx + 2 ≤ 3, ∀ x ∈ R .Do đó luôn sống sót √ ( sinx + 2 ) .Vậy tập xác định D = R .

Câu 15:Tìm tập xác định D của hàm số y= √(sinx-2) .

A. D = R .B. D = R \ { kπ ; k ∈ Z } .C. D = [ – 1 ; 1 ] .D. D = Ø .
Hiển thị lời giải
Chọn DTa có – 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ – 3 ≤ sinx-2 ≤ – 1, ∀ x ∈ R. .⇒ sinx – 2 < 0 với mọi x .Do đó không sống sót √ ( sinx-2 ), ∀ x ∈ R .Vậy tập xác định D = ∅ .

Câu 16:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/ √(1-sinx) .

A.D = R \ { kπ ; k ∈ Z }B.D = R \ { π / 2 + kπ ; k ∈ Z }C.D = R \ { π / 2 + k2π ; k ∈ Z }D.D = ∅
Hiển thị lời giải
Chọn CHàm số xác định khi và chỉ khi 1 – sinx > 0 ⇒ sinx < 1 ( * ) .Mà - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ ( * ) < ⇒ sinx ≠ 1 ⇒ x ≠ π / 2 + kπ ; k ∈ Z .Vậy tập xác định D = R \ { π / 2 + k2π ; k ∈ Z } .

Câu 17:Tập xác định của hàm số

A.D = R \ { – π / 6 + k2π ; k ∈ Z } .B.D = R \ { 7 π / 6 + kπ, k2π ; k ∈ Z } .C.D = R \ { k2π ; k ∈ Z } .D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Chọn D

.

Tập xác định của hàm số là R \ { – π / 6 + kπ, k2π ; k ∈ Z } .

Câu 18:Tập xác định của hàm số
là:

A.D = R \ { ± π / 4 + kπ, π / 2 + kπ ; k ∈ Z } .B.D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z } .C.D = R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .D.D = R \ { ± π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn A

Vậy D = R \ { ± π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .

Câu 19: Hàm số
có tập xác định là:

A.D = R \ { π / 6 + kπ / 2, kπ ; k ∈ Z } .B.D = R \ { π / 12 + kπ, kπ / 2 ; k ∈ Z } .C.D = R \ { π / 12 + kπ, kπ ; k ∈ Z } .D.D = R \ { π / 12 + kπ / 2, kπ ; k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số xác định khi

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ { π / 12 + kπ / 2, kπ ; k ∈ Z } .

Câu 20:Tập xác định của hàm số y=cotx/(sinx-1) là:

A.D = R \ { π / 3 + k2π ; k ∈ Z } .B.D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z } .C.D = R \ { π / 2 + k2π, kπ ; k ∈ Z } .D.D = R \ { π / 2 + k2π ; k ∈ Z } .
Hiển thị lời giải
Chọn CHàm số đã cho xác định khi+ cot x xác định ⇒ sinx ≠ 0 và sinx-1 ≠ 0Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi :

. là:

Câu 21:Tập xác định của hàm số y=2016tan20172x là

A.D = R \ { π / 2 + kπ ; k ∈ Z }B.D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z }C.D = RD.D = R \ { π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn DTa có y = 2016 tan20172x = năm nay. ( tan2x ) 20172017 là 1 số ít nguyên dương, do vậy hàm số đã cho xác định khi tan2x xác định⇒ cos2x ≠ 0 < ⇒ x ≠ π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z .

Câu 22:Để tìm tập xác định của hàm số y= tanx+ cosx, một học sinh đã giải theo các bước sau:

Bước 1 : Điều kiện để hàm số có nghĩa là sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0 .Bước 2 : ⇒ x ≠ π / 2 + kπ và x ≠ kπ ; k ∈ ZBước 3 : Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = R \ { π / 2 + kπ, kπ ; k ∈ Z } .Bài giải của bạn đó đúng chưa ? Nếu sai, thì sai khởi đầu ở bước nào ?A. Bài giải đúng .B. Sai từ bước 1 .C. Sai từ bước 2 .D. Sai từ bước 3 .
Hiển thị lời giải
Chọn BNhận thấy hàm số đã cho xác định khi tanx xác định ( do cosx xác định với mọi x thuộc R ) .Do vậy hàm số xác định khi cosx ≠ 0 ⇒ x ≠ π / 2 + kπ, k ∈ Z

Câu 23:Tập xác định D của hàm số
là

A.D = R \ { π / 2 + k2π ; k ∈ Z }B.D = R \ { π / 2 + kπ ; k ∈ Z }C.D = R \ { π / 2 + kπ / 2 ; k ∈ Z }D.D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn BHàm số đã cho xác định khi .

Câu 24:Tìm tập xác định của hàm số y=1/(sin2x-cos2x)

A.D = R \ { π / 2 + kπ ; k ∈ Z }B.D = R \ { kπ / 2 ; k ∈ Z }C.D = RD.D = R \ { π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :sin2x-cos2x ≠ 0 ⇒ cos2x ≠ 0 ⇒ x ≠ π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z

Câu 25:Tìm tập xác định của hàm số y=2017tan2x/sin2x-cos2x

A.D = R \ { π / 2 + kπ ; k ∈ Z }B.D = R \ { π / 2 ; k ∈ Z }C.D = RD.D = R \ { π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn DHàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :sin2x-cos2x ≠ 0 và cos2x ≠ 0 < ⇒ cos2x ≠ 0 ⇒ x ≠ π / 4 + kπ / 2 ; k ∈ Z

Câu 26:Tập xác định của hàm số y= sinx/(sinx+cosx)

A.D = R \ { – π / 4 + kπ ; k ∈ Z }B.D = R \ { kπ / 4 ; k ∈ Z }C.D = R \ { π / 4 + kπ, π / 2 + kπ ; k ∈ Z }D.D = R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z }
Hiển thị lời giải
Chọn AHàm số đã cho xác định khi sinx + cosx ≠ 0 ⇒ √ 2 sin ( x + π / 4 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ – π / 4 + kπ ; k ∈ ZVậy TXĐ D = R \ { π / 4 + kπ ; k ∈ Z } .

Câu 27:Tập xác định của hàm số y= tanx/(cosx-1)

A.x ≠ k2πB.x = π / 3 + k2πC.x ≠ π / 2 + kπ và x ≠ k2πD.x ≠ π / 2 + kπ và x ≠ π / 3 + kπ
Hiển thị lời giải
Chọn CHàm số đã cho xác định khi cosx ≠ 0 và cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ π / 2 + kπ và x ≠ k2π

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập