BÀI 09 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG (12 – 8 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ 8.3 Khái niệm về – StuDocu

8 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ

8.3 Khái niệm về ước lượng khoảng.

Cần nhớ rằng mẫu là một phần của dân số thường được chọn bởi giải pháp chọn mẫu ngẫu nhiên và như vậy nó là một tập hợp các biến ngẫu nhiên X 1, X 2, …, Xn với cùngmột hàm tỷ lệ Tỷ Lệ f ( x ; θ ). Sau khi lấy mẫu xong, ta nhận được X 1 = x 1, X 2 = x 2, …, Xn = xn ,

trong đó x 1, x 2 ,…, xn là dữ liệu mẫu.

Bài toán ước lượng khoảng hoàn toàn có thể được phát biểu như sau : Với mẫu X 1, X 2, …, Xn và giá trị Tỷ Lệ 1 − α, tìm một cặp thống kê θi ( X 1, X 2, …, Xn ) ; i = 1,2 ; θ 1 ≤ θ 2sao cho Phần Trăm của θ trên khoảng ngẫu nhiên ( θ 1, θ 2 ) là 1 − α, nghĩa làP. ( θ 1 ( X 1, X 2, …, Xn ) ≤ θ ≤ θ 2 ( X 1, X 2, …, Xn ) ) = 1 − α .Biến ngẫu nhiên θ 1 được gọi là số lượng giới hạn tin cậy dưới và θ 2 được gọi là số lượng giới hạn tin

cậy trên. Số (1 − α) được gọi là hệ số tin cậy hoặc mức tin cậy.
Khoảng tin cậy cho một mẫu
 Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình μ, đã biết phương sai
 của phân phối chuẩn, đã biết phương sai, hoặc
 của phân phối với cỡ mẫu lớn, đã biết phương sai.
Tìm khoảng tin cậy (1 − α) cho trung bình μ của một phân phối chuẩn với phương sai

đã biết σ 2 hoặc : Tìm khoảng tin cậy ( 1 – α ) cho giá trị trung bình μ của một dân số cóphương sai đã biết σ 2, trong đó cỡ mẫu n lớn .a ) Tính giá trị trung bình của mẫu ́ x .b ) Xác định giá trị tới hạn zα 2 sao cho Φ ( zα 2 )= 1 − α 2, trong đó Φ ( z ) làhàm phân phối chuẩn tắc. Nghĩa là, zα 2 được xác lập để : P. ( Z ≥ zα 2 )

=

α 2

;

c ) Tính hằng số k =σ zα 2 √ n

;

d ) Khoảng tin cậy ( 1 – α ) so với μ được cho bởi [ ́ x − k, ́ x + k ]. Tóm lại cần xem cách tìm trong phần a ) bảng 8 .Tham số Giả định Khoảng tin cậy ( 1 − α ) a ) μ n lớn, σ 2 đã biết, hoặc p chuẩn, σ 2 đã biết ,́ x ± zα

2 (

σ

√ n )

b )μ p chuẩn, σ 2 ch a ư biết́ x ± tα

2 ,n − 1 (

s

√ n )

c ) σ 2 p chuẩn ,

(

( n − 1 ) s 2 χα 2, n − 1

2 ,

( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2, n − 12

)

d )p p nh th c, ị ứn l nớ^ p ± zα 2

.

√

^ p ( 1 − ^ p ) nBảng 8 : Tóm tắt các khoảng tin cậy phổ cập : một mẫu

Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,…, X 11 ; có phân phối chuẩn với ∑
i = 1

11 xi = 132 vàσ 2 = 9,9 ; Ta cần tính khoảng tin cậy 95 % ¿ ( 1 − α ) cho tham số μ. Trước hết tacó́ x =

132

11

= 12 ;

√

σ 2 n

=

√

9.

11

= √ 0, .Dùng bảng giá trị của phân phối chính tắc N ( 0,1 ), ta sẽ thu được :zα 2= z 0,025 = 1 ..Sử dụng trường hợp a ) ( trong Bảng 8 ) ta có khoảng tin cậy cho tham số μ, sẽ là[ 12 − 1,96 √ 0,9 ; 12 + 1,96 √ 0,9 ] = [ 10,14 ; 13,859 ] .

Ví dụ 8.3 Cho mẫu X 1 ,X 2 ,…, X 40 ; với ∑
i = 1

40 xi = 286,56, và phương sai σ 2 = 10 .Ta cần tính khoảng tin cậy 90 % ¿ ( 1 − α ) cho tham số μ. Ta coi n = 40 > 30 làl n ớ_. _Theo giả thuyết ta có ( 1 − α ) = 0,9 ⇒α 2= 0,05 ⇒ z 0,05 = 1,64, ( Theo bảng giá trị

N (0,1)¿.

Mặt khác ta có giá trị của trung bình mẫu là : ́ x =

286,

40

= 7,164. Sử dụng trường hợpa ) ( trong bảng A ), ta có khoảng tin cậy sẽ là

(

( n − 1 ) s 2 χα 2, n − 1

2 ,

( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2, n − 12

)

=(

128,

21,

;

128,

5,32 )

≈ (6,11 ; 24,55).

 Khoảng tin cậy cho tham số p của phân phối nhị thức.
(Xem cách tính theo phần d) trong bảng 8).
Ví dụ 8.3 Khi khảo sát ý kiến về một vấn đề, người ta đã lấy ý kiến của 78 người, và
thu nhận được 33 ý kiến đồng ý (về vấn đề đó). Cần tìm khoảng tin cậy 95% cho tham số
p (tỉ lệ đồng ý) cho bài toán ước lượng khoảng.

Trước hết ta thấy rằng : ^ p = 33 78

=0,4231 ;⇒

√

^ p ( 1 − ^ p ) n

=

√

0,4231,

78

≈ 0,0559.

Áp dụng cách tính theo phần d ) trong bảng 8, với khoảng tin cậy 95 %, ta cózα 2= z 0,025 = 1,96 ( Dùng bảng chuẩn N ( 0,1 ) ). Từ đó suy ra :^ p − zα 2

.

√

^ p ( 1 − ^ p ) n

=0,4231−1. 0,0559 ≈ 0,3135.

Tương tự ta tính được: ^ p + zα
2

.

√

^ p ( 1 − ^ p ) n

≈ 0,5237,

Vậy khoảng tin cậy cho p sẽ là : [ 0,3135 ; 0,5237 ] .

BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG (Ước lượng điểm)

 Bài tập 01.
Cho mẫu X 1 ,X 2 ,…, XN; có phân phối nhị thức B ( n, p ) với các tham số n;p đều
chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta có các momen gốc bậc nhất lý thuyết và thực nghiệm là:
np = EX = X ́. (*)
Sau đó khi xét đến momen gốc bậc hai ta sẽ thu được phương trình:

1 N ∑ i = 1N Xi 2 = E X 2 = np ( 1 − p ) + n 2 p 2 ( * * )Gọi T 1 ( X 1, X 2, …, XN ) và T 2 ( X 1, X 2, …, XN ) là các hàm ước lượng cho p và ntương ứng. Từ phương trình ( * ) ta sẽ có : T 1 ( X 1, X 2, …, XN ) =

X ́

T 2 ( X 1, X 2, …, XN )

;

Mặt khác vì T 2 ( X 1, X 2, …, XN ) là hàm ước lượng của n, nên từ ( * * ) sẽ suy raT 2 ( X 1, X 2, …, XN ) =( X ́ ) 2

X ́+ E X 2 −

( ∑ i = 1N 1 NXi 2 )

;

Ta chú ý quan tâm rằng : X P ́ →np ; ∑ i = 1N 1 NXi 2 P →np ( 1 − p ) + n 2 p 2 ; như vậy T 1 và T 2 đều làcác ước lượng vững .

 Bài tập 02.

Cho mẫu X 1 ,X 2 ,…, Xn; có phân phối Gamma G ( α, β ) với các tham số α, β đều
chưa biết và cần tìm hàm ước lượng theo phương pháp momen.
Hướng dẫn giải
Trong phần về lý thuyết xác suất (Xem bài học 03) ta đã biết về kỳ vọng và phương sai

của phân phối Gamma G ( α, β ) tương ứng là :EX = αβ ; Var X = α β 2 ; Từ đó ta suy ra hệ phương trình momen sau :X ́ = αβ ; n − 1 nS 2 = α β 2 ;Giải hệ phương trình trên bằng cách khử ta thu được :^ β = ( n − 1 ) S2nX ́; α ^ =

X ́

^ β

;

 Bài tập 03.

Cho mẫu X 1 ,X 2 ,…, Xn; có phân phối Poisson với tham số λ, chưa biết và cần tìm
hàm ước lượng theo phương pháp hợp lý cực đại. (Maximum likelihood method).
Hướng dẫn giải

cậy cho ước lượng về giá trị trung bình và phương sai theo các dữ liệu mẫu nêu trên với
độ tin cậy 95%.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta tính trung bình mẫu và phương sai mẫu (trong bài tập này chúng đều chưa
được biết, ta sẽ có:

́ x ≈ 12,57 ; s 2 ≈ 0,91 ; s ≈ 0,95 ; tα 2, n − 1 = t 0,5 2, 15 = 2 ,a ) Áp dụng các công thức trong bảng 8, phần b ) ta sẽ được các ước lượng cần tìm

12,57−

0,

√ 16. 2,131 < μ < 12,57 +

0,

√ 16

.2,

Từ đó ta có khoảng tin cậy cho μ là [ 12,06 ; 13,08 ] ;b ) Áp dụng các công thức trong bảng 8, phần c ) ta sẽ được các ước lượng cần tìm ,với : χα 2, n − 12 = χ 0, 2, 152 = 6,26 ; χ 1 − α 2, n − 12 = χ 1 − 0,5 2, 15

2 =27,49 ;

Từ đó ta có khoảng tin cậy cho σ 2 sẽ là : 15, 27 ,< σ 2 <

15,

6,

⇒ 0,498 < σ 2 < 2,186 .

 Bài tập 06

Giá của một loại thiết bị trên thị trường ta giả định là một loại biến ngẫu

 Bài tập 07. Để đánh giá chất lượng sản phẩm của một nhà máy, người ta kiểm tra

Chú ý trong phần diễn giải trên (so sánh với phần d) trong bảng 8) ta có:

 f ≡ ^ p ; ε ≡ zα 2

.

√^ p ( 1 − ^ p ) n

;

 ( f − ε ; f + ε ) ≡ ( ^ p − zα 2 _. _ √^ p ( 1 − ^ p ) n; ^ p − zα 2

.

√^ p ( 1 − ^ p ) n )

;

P. ( θ ≥ θ 1 ) = 1 − α ⇒ P ( θ ≥ ́ x − zα σ √ n )

= 1 − α

α

Bảng phụ lục 3 – Bảng phân vị Student, ứng với bâc tự do là ̣ n

γ

  - 1 6 5 3 0 0 0.
  - 2 9 7 6 0 0 0.
  - 3 11 9 7 0 0 0.
  - 4 13 11 9 0 0 0.
  - 5 15 12 11 1 0 0.
  - 6 16 14 12 1 1 0.
  - 7 18 16 14 2 1 1.
  - 8 20 17 15 2 2 1.
  - 9 21 19 16 3 1 2.

• 10 23 20 18 3 3 2.
  • 11 24 21 19 4 3 3.
• 12 26 23 21 5 4 3.
• 13 27 24 22 5 5 4.
• 14 29 26 23 6 5 4.
• 15 30 27 25 7 6 5.
• 16 32 28 26 7 6 5.
• 17 33 30 27 8 7 6.
• 18 34 31 28 9 8 7.
• 19 36 32 30 10 8 7.
• 20 37 34 31 10 9 8.
• 21 38 35 32 11 10 8.
• 22 39 36 33 12 11 9.
• 23 41 38 35 13 11 10.
• 24 43 39 36 13 12 10.
• 25 44 40 37 14 13 11.
• 26 45 41 38 15 13 12.
• 27 47 43 40 16 14 12.
• 28 48 44 41 16 15 13.
• 29 49 45 42 17 16 14.
• 30 50 47 43 18 16 15.
  – 0 0 0 0 0. γ
  – 1 3 6 12 31 63.
  – 2 1 2 4 6 9.
  – 3 1 2 3 4 5.
  • 4 1 2 2 3 4.
  • 5 1 2 2 3 4.
  • 6 1 1 2 3 3.
  • 7 1 1 2 2 3.
  • 8 1 1 2 2 3.
  • 9 1 1 2 2 3.
• 10 1 1 2 2 3.
• 11 1 1 2 2 3.
• 12 1 1 2 2 3.
• 13 1 1 2 2 3.
• 14 1 1 2 2 2.
• 15 1 1 2 2 2.
• 16 1 1 2 2 2.
• 17 1 1 2 2 2.
• 18 1 1 2 2 2.
• 19 1 1 2 2 2.
• 20 1 1 2 2 2.
• 21 1 1 2 2 2.
• 22 1 1 2 2 2.
• 23 1 1 2 2 2.
• 24 1 1 2 2 2.
• 25 1 1 2 2 2.
• 26 1 1 2 2 2.
• 27 1 1 2 2 2.
• 28 1 1 2 2 2.
• 29 1 1 2 2 2.
• 30 1 1 2 2 2.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập