Cách giải phương trình bằng máy tính Vinacal

Bí kíp giải hệ pt bằng fx 570 es vn vinacal plus

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (897.44 KB, 17 trang )

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Bí Kíp Công Phá Kì Thi THPT Quốc Gia
Giải Hệ Phương Trình Bằng Máy Tính Fx 570 ES VN VINACAL PLUS
Version tă ̣ng Proer
Đây là phiên bản anh tặng các em!!! Chúc các em học tốt
I, Giới thiệu
Xin chào tất cả các em! Khi các em đang đọc những dòng này là các em đang nắm trên tay bí kíp
giải hệ phương trình giúp tăng khả năng lấy điểm thứ 9 của các em một cách dễ dàng hơn. Hi vọng, sau
khi đọc xong tài liệu này, các em sẽ cảm thấy Hệ Phương Trình thật đơn giản và không còn thấy sợ câu
thứ 9 này nữa.
Ở phiên bản 2.0 này anh sẽ bổ sung, sửa đổi, hoàn thiện, nâng cấp rất nhiều vấn đề của version 1.0
II, Lý do chọn đề tài
Có rất nhiều em gửi thắc mắc tới anh : tại sao anh lại giải câu hệ như vậy ? đó cũng là câu hỏi anh
đã từng băn khoăn hồi còn ôn thi như các em, mà không một thầy giáo nào giải thích cho anh cả, anh phải
tự mò mẫm cho mình 1 lý do, các thầy chỉ dạy cho mình phương pháp làm là chính chứ rất ít khi các thầy
giải thích tại sao và thường chỉ đưa ra dấu hiệu là người ta cho thế này thì mình làm thế này.
Nhưng hôm nay, anh sẽ trình bày với các em một hướng đi mới trong việc công pháp điểm thứ 9 này
với máy tính fx 570 ES PLUS, đảm bảo học xong các em ở mức Trung Bình khá chăm chỉ 1 chút cũng
sẽ làm được, thực tế là sau khi anh phát hành version 1.0 đã khá nhiều bạn quay lại cảm ơn anh, vì đã làm
thành công nhiều hệ phương trình.
III, Yêu cầu chung
1. Có tinh thần Quyết tâm đỗ Đại Học !!!
2. Có kiến thức căn bản sử dụng các phương pháp thế, đưa về phương trình tích, phương pháp hàm số,
phương pháp đánh giá…
Ví dụ như:

A 0
Đưa về phương trình tích A.B 0

B 0
Phương pháp hàm số: f ( x) f ( y) mà hàm f đồng biến ( nghịch biến) trên đoạn a; b và x, y a; b
Thì phương trình có nghiệm duy nhất là x = y
Phương pháp đánh giá: thường là sử dụng BĐT Cô-Si vì BĐT này có trong SGK lớp 10
Ta có : a, b 0; a b 2 ab
3. Có 1 chiếc máy tính có tính năng SOLVE : fx 570 es plus, fx 570 es, ….
Lý do anh chọn Fx 570 ES PLUS vì đây là máy tính hiện đại nhất được mang vào phòng thi bây giờ và
làm bản nâng cấp của fx 570 es nên sẽ cho tốc độ cao hơn chút và có một số tính năng mới.
IV, Nội Dung
Anh sẽ hướng dẫn các em công phá tất cả các hệ phương trình từ 2010 cho tới nay bằng máy fx 570
es plus theo cách tự nhiên và dễ hiểu nhất.
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

1

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

* Đường lối chung để giải 1 hệ phương trình :
Từ 1 trong 2 phương trình, hoặc phức tạp
hơn là phải kết hợp 2 phương trình

Mối quan hệ giữa x và y
(muốn làm được điều này thì các em phải dùng các pp thế, đưa về
phương trình tích, ẩn phụ, hàm số, đánh giá.)

Thế vào 1 trong các phương trình để đưa về phương trình 1 ẩn, có thể
là giải được luôn, hoặc có thể là một phương trình chứa căn phải

dùng thêm phương pháp mới giải được, tùy vào mức độ đề thi

Vậy vai trò của máy ở đây là gì ? Máy tính sẽ giúp ta làm chủ cuộc chơi chứ không phải tác giả nữa,
tức là nhờ máy ta sẽ tìm được mối quan hệ ở Bước 2 để áp dụng phương pháp cho thích hợp, tránh
hiện tượng mò, và ở Bước 3 cũng vậy. Vai trò chính là giúp ta định hướng cách làm nhanh hơn.
Nội dung chính của tài liệu này:
(Anh chỉ bám sát nội dung thi, không đi quá xa đà vào những hệ quá khó, quá phức tạp so với đề thi)
Anh sẽ chia ra làm 2 dạng cơ bản :
1. Từ 1 phương trình là đã tìm luôn được quy luật ( 90% Đề thi thử và ĐH cho dạng này)
Biểu hiện: khi cho Y nguyên thì X, X 2 tìm được là số nguyên
2. Phải kết hợp 2 phương trình thì mới tìm ra được quy luật ( một số đề thi thử cho)
Biểu hiện là cho Y nguyên nhưng được X, X 2 rất lẻ
Muốn tìm được quy luật giữa x và y của dạng này các em cần kết hợp 2 phương trình như cộng trừ 2 vế để
khử số hạng tự do.
Sau khi tìm được mối liên hệ giữa X và Y thế vào 1 phương trình còn lại thì lại có 2 khả năng chính
a. Bấm máy phương trình ra nghiệm đẹp : vậy là xác suất 90% xử lý được
b. Bấm máy phương trình ra nghiệm xấu:
thường đề ĐH họ chỉ cho nghiệm xấu dạng
a

a b là những nghiệm của phương trình bậc 2, muốn xử lý được ta phải áp dụng định lý Vi-et đảo,

c

anh sẽ nói rõ trong bài tập.
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

2

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Với phương pháp này các em có thể xử lý được 90% các hệ trong đề thi thử THPT Quốc Gia và đề thi
chính thức, phương pháp này còn giúp chúng ta luyện giải phương trình vô tỷ rất tốt, thậm chí là bất
phương trình vô tỉ.
Nhưng phương pháp nào cũng có giới hạn của nó, có điểm mạnh điểm yếu riêng, anh sẽ trình bày cụ
thể trong quá trình giải bài.
Dạng 1: Các mối quan hệ được rút ra từ 1 phương trình
Khởi động là 1 bài dễ trước nhé :
* Các ví dụ
Khởi động 1 bài đơn giản trước đã nhé !!!
x 2 xy y 2 7
Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau
2
2
x xy 2y x 2y

(x, y R)

* Nhận xét chung:
Hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ 1 phương trình có thể biến đổi được còn 1 phương
trình thì không có gì mà biến đổi, nhìn qua thì các em thấy như vậy
Vậy dàn ý chung là: từ phương trình biến đổi được đưa ra mối quan hệ x và y rồi thế vào phương
trình không biến đổi được
Bằng giác quan ta sẽ tìm các nào đó để xử lý phương trình số 2, các em đa số là sẽ cứ viết dùng đủ mọi
cách nhóm và rồi tự biến đổi mò 1 lúc thì nó ra mối quan hệ x và y.
Nhưng anh sẽ trình bày 1 phương pháp sử dụng máy tính để tìm mối liên hệ như sau:
Sử dụng tính năng Solve:

Các em biến đổi phương trình 2 về hết 1 vế : X 2 XY 2Y 2 X 2Y 0
Ấn trên máy:
Alpha X x 2 – Alpha X Alpha Y 2 Alpha Y x 2 Alpha + alpha X – 2 alpha Y
( không cần ấn = 0, khác version 1.0)
Giải thích Alpha X, Alpha Y là gọi biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X là biến, Y là
tham số
Sau đó các em bấm: Shift Solve
Máy hiện : Y? tức là máy hỏi ban đầu cho tham số Y bằng mấy để còn tìm X
Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 =
Nếu máy hỏi Solve for X thì các em ấn 0= nhé
Bây giờ máy sẽ xử lý

Máy hiện:
X=

0

tức là khi y=0 thì có nghiệm x=0

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

3

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

-R=

0

Chuyên đề đặc biệt

sai số của nghiệm là 0

Rồi vậy là được Y=0 thì X=0
Tiếp theo các em ấn mũi tên chỉ sang trái để quay trở về phương trình
Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0
Thì máy lại tính ra X = 2
Cứ như vậy tới Y=5, X =0 ta được bảng giá trị sau:
Bảng 1:
Y

0

1

2

3

4

5

X

0

2

-3

-4

-5

-6

Cách 2: phức tạp hơn nhưng kiểm soát được toàn bộ nghiệm
Với Y = 0 ta đã tìm được 1 nghiệm X = 0
Để xem phương trình có còn nghiệm nào khác không các em làm như sau:
Ấn mũi tên sang ngang sửa phương trình thành: (X2 XY 2Y2 X 2Y) : (X 0)
Phương trình này để bỏ nghiệm vừa tìm được và tìm nghiệm mới.
Sau đó lại bấm như ban đầu thì được X = -1
Sau đó lại ấn

X2 XY 2Y2 X 2Y
(X 0)(X 1)

Sau đó lại bấm giải nghiệm thì máy báo Cant solve tức là vô nghiệm hay hết nghiệm rồi
Vậy là được Y=0 thì X=0, X = -1
Tiếp theo các em ấn mũi tên chỉ sang trái để quay trở về phương trình
Ta lại phải sửa phương trình thành: X 2 XY 2Y 2 X 2Y
Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1, X=0
Thì máy lại tính ra X = 2 hoặc -2
Cứ như vậy tới Y=5 thì được các kết quả như sau:
Bảng 2:
Y
X

0
0 hoặc -1

1
2 hoặc -2

2
-3 hoặc 4

3

4

-4 hoặc 6

-5 hoặc 8

5
-6 hoặc 10

Cách 2 này tuy đẩy đủ nhưng sẽ rất mất thời gian chỉnh sửa phương trình nên trong tài liệu đa phần
anh sẽ giải bằng cách 1, vì những bài thi ĐH không quá phức tạp
Cách 3: Để tìm nghiệm khác ngoài 1 nghiệm tìm được
Ví dụ khi Y=0, lúc máy hỏi Solve for X Các em ấn 0 = sẽ tìm được nghiệm X = 0
Các em ấn -9= thì sẽ được nghiệm X = -1
Các em ấn 9= thì sẽ được nghiệm X=0
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

4

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Vậy là ta đã tìm được ngay 2 nghiệm X = -1 và X =0 khi Y= 0
Anh rất hay dùng cách 1 cho hệ và cách 3 cho phương trình 1 ẩn, để tăng tốc độ làm bài
Các kết quả này hoàn toàn là do máy, từ bảng 1 ta thấy khi Y = 2 tới Y=5 anh thấy nó xuất hiện 1 quy
luật gì đó
Tại Y=0, Y=1 không xuất hiện quy luật do có nhân tử khác gây nhiễu bởi vì tính năng Solve là tính năng
dò nghiệm theo công thức Newton nên nó sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X, ở đây các TH
chúng ta đều khởi tạo giá trị ban đầu X = 0.
Từ Y=2 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó, dễ dàng nhận thấy là x+y+1 = 0
Vậy anh sẽ biến đổi phương trình 2 theo xem được không:
Thêm bớt để ép nhân tử :

x 2 xy 2y 2 x 2y
x 2 xy 2y 2 x 2y 0
x(x y 1) 2xy 2y 2 2y 0
x(x y 1) 2y(x y 1) 0
(x 2y)(x y 1) 0
Vậy nghiệm vừa nãy bị nhiễu là do x-2y =0
Còn lại thì dễ dàng rồi nào:

x 2y
x ( y 1) thế vào phương trình đầu tiên

* x=2y thì: 4 y 2 2 y 2 y 2 7 y 1
* x= -(y+1) thì các em tự xử lý nhé
Anh nói thì dài thôi chứ lúc làm thì nhanh lắm!!!

Như vậy là anh vừa trình bày chi tiết cách giải 1 bài hệ bằng máy tính casio fx-570 ES Plus nhưng
bài trên là 1 bài dễ và chưa sử dụng một ứng dụng chính của Solve là tìm nghiệm phương trình 1 ẩn
dù nó có phức tạp tới đâu.
Tiếp tục nhé, nâng level nên nào

(1 y) x y x 2 (x y 1) y
Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình
2

2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3
(x, y là các số thực)
* Nhận xét chung
Thấy ngay phương trình số 2 khó biến đổi, phương trình 1 có vẻ dễ hơn, vậy ta thử xem nào
Các em làm tương tự, anh cho kết quả luôn:
Y

0

1

2

3

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

5

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

X

1

1

Chuyên đề đặc biệt

Cant solve

Cant solve( vô nghiệm)

Do ra quá ít nghiệm nên ta phải bám sát vào đề bài mà cụ thể là phương trình 1.
Ta thấy có 4 khả năng sau:
Y=0, X=1 thì có thể suy ra được x+y =1 hoặc x-y=1 trong phương trình trên lại có

x y

x y 1 0
Vậy anh đoán là
x y 1 0

Y=1, X=1 thì có lẽ là X=Y thử thay vào 1 được x 2 y ( cái này anh thấy không có hi vọng lên không
xét)
Nhưng khi Y=0, Y=1 thì X vẫn bằng 1 nên anh cũng nghĩ X=1 là 1 nghiệm nhưng mà nghĩ đi nghĩ
lại đề đại học không cho ăn luôn như vậy đâu, điểm 9 cơ mà

x y 1 0

Vậy có 3 hướng chính: x y 1 0

x y

Vậy là đầu tiên anh đi theo hướng x-y-1=0 trước vì vế phải có sẵn rồi kìa, chỉ cần biến đổi những
số còn lại xem có được không là chuyển hướng luôn
(1 y) x y x 2 (x y 1) y
(1 y) x y x 2 (x y 1) y 0
(1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y 0
(1 y) x y 1 (x y 1) 1 y 0

Tới đây phải nói là quá may mắn

pt (1 y )( x y 1) 1 y

x y 1 0
x y 1

y 1
1 y 0

x y 1 0

Thế vào phương trình 2 ta được:
Với y = 1 thì 9-3x =0 x=3
Với y = x – 1
2 y 2 3( y 1) 6 y 1 2 1 y 1 y
2 y2 3y 2 1 y

Điều kiện ban đầu y 0 mà bây giờ lại có y 1
Vậy y 0;1
Dễ thấy VT đồng biến với điều kiện trên, VP thì nghịch biến, các em tính đạo hàm ra sẽ thấy nên
nếu phương trình có nghiệm thì sẽ là nghiệm duy nhất
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

6

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Thử bấm máy xem nào: 2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2 Alpha =

1- alpha X

Sau đó bấm Shift solve 0 ,5 =
Phải dùng biến X nhé mà máy nó mặc định như vậy rồi
Ta đang tìm X trong khoảng [0;1] mà nên phải khởi tại giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn được
X=0,618033..
Nếu x nguyên thì xong rồi đó nhưng đằng này có vẻ không còn may mắn nữa.

Vậy Bộ Giáo Dục cố tình ra nghiệm lẻ để làm khó ta, nhưng anh đã có cách
Ta thử bình phương nghiệm X đó lên xem có đẹp không nhưng câu trả lời là không!
Hi vọng nghiệm này không quá xấu, nó có dạng

a b
là dạng nghiệm của phương trình bậc 2 thì
c

ta sẽ giải quyết được.
Tư duy ở đây là: phương trình trên nếu bình phương lên sẽ ra bậc 4 đầy đủ nên có thể phân tích
được thành: (x 2 Sx P)( x 2 S ‘ x P ‘ )
Do đó anh chỉ cần tìm được 1 nhân tử (x 2 Sx P) là xong, vậy ta cần tìm 3 trong 4 nghiệm
Về lý thuyết là vậy nhưng thực tế anh tìm cả 4 nghiệm luôn
Bản chất của phương trình trên là bậc 4 nên ta sẽ bình phương lên để mất căn rồi chuyển sang 1 vế
Các em nhập lại phương trình thành: (2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2) 2 – (1- alpha X)
Các em bấm dấu = để lưu phương trình vào máy
Sau đó bấm Shift solve 0 =
Máy báo X = 0,3228.
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO A để lưu nghiệm X vừa tìm được vào A
Vậy là được 1 nghiệm, để tìm nghiệm thứ 2 ta làm như nhau :
Nhấn nút đẩy lên 2 lần để tìm phương trình ta đã lưu
Đưa mũi tên chỉ sang trái, sửa phương trình thành:
((2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2) 2 – (1- alpha X)): ( X-A)
Sau đó bấm Shift solve
Máy hỏi A? 0,3228.. thì các em bấm dấu =
Máy hiện Solve for X thì các em cũng ấn 0=
Máy báo X = 0,6180….
Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO B để lưu nghiệm X vừa tìm được vào B
Vậy đã có nghiệm thứ 2, các em lại ấn nút đẩy lên 2 lần, rồi đẩy sang trái để sửa phương trình tìm

nghiệm thứ 3 các em lại sửa thành
((2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2) 2 – (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

7

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Sau đó bấm Shift solve = =

Chuyên đề đặc biệt

0=

Được nghiệm thứ 3 là : X= -1,61803..
Các em ấm phím đẩy sang trái rồi ấn = để lưu lại phương trình
Sau đó các em bấm RCL X Shift STO C để lưu nghiệm X vừa tìm được vào C
Tương tự phương trình tìm nghiệm thứ 4 :
((2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2) 2 – (1- alpha X)) : ( X-A)(X-B)(X-C)
Sau đó bấm Shift solve = = =

0=

Các em sẽ được nghiệm thứ 4 là : X = -2,3228
Vậy ta đã được 4 nghiệm là A,B,C,X
Ta biết rõ ràng là nghiệm B = 0,618 là nghiệm của phương trình ban đầu nên ta sẽ xét các tích
BA,BC,BX xem tích nào đẹp
Thấy ngay: BC = – 1 và B+C = -1
Vậy phương trình chứa nghiệm B,C này là x 2 x 1 ( định lý Vi-et đảo)

Đây chính là cách phân tích phương trình bậc 4 thành nhân tử với máy tính
Vậy ta sẽ cố nhóm để xuất hiện nhân tử này: với bài thì là y 2 y 1, ép nhân tử như sau:
2 y2 3y 2 1 y
2( y 2 y 1) y 1 y 0
y 2 (1 y )
2( y y 1)
0
y 1 y
2

( y 2 y 1)(2

y2 y 1
)0
y 1 y

5 1
5 1
(tm) x
y
2
2
y2 y 1 0

5 1
y
(loai )

2

Các em tự kết luận nhé!
x 12 y y(12 x 2 ) 12

Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2014) Giải hệ phương trình
(x, y là số thực)
x 3 8x 1 2 y 2

Nhận xét chung:
Ta thấy phương trình 1 dễ biến đổi hơn phương trình 2

2 y 12
Điều kiện 2
x 12
* Anh cho bảng kết quả bấm máy luôn
Y

2

3

4

5

6

12

0

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

8

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

X

3,16

3

Chuyên đề đặc biệt

2,828

2,64

2,44

0

3,464

Nhận xét chung là Y tăng thì X giảm
Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 thì kết quả xấu quá ta thử bình phương lên xem có sử dụng được không
Y

2

X2

3

9,9999

4

9

5
8

7

6
6

12

0

0

12

Chứng tỏ các bác ở BGD cũng không làm khó ta lắm

Nhận thấy y x 2 12
Căn cứ vào phương trình 1 thì sẽ là y 12 x 2
Làm sao để chứng minh điều này, dễ thấy không thể phân thích thành nhân tử như bài trước được
Giờ chỉ còn hàm số và đánh giá mà thôi
Do x, y không độc lập lên không dùng hàm số được ( kinh nghiệm nhỏ của anh)
Vậy thử đánh giá, mà có 2 tích nên chỉ có Cô-si thôi
Ta dùng máy thử luôn cho nhanh nhé
Chúng ta dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức
Các em nhập nguyên vế trái vào: x 12 y y(12 x 2 )
Alpha X

12 alpha Y +

alpha Y (12 alpha X x 2 )

Sau đó các em bấm CALC
Máy hiện X? em nhập 1 =
Máy lại hỏi Y? em nhập vào là 11= hoặc tùy ý

X

1

1

2

2

3

3

Y

10

11

10

11

8

11

Giá trị hàm

11,9

12

11,7

11,38

10,89

8,7

4

error

Ta nhận thấy VT 12 VP vậy đánh giá là phương pháp đúng đắn
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được:
x 12 y y(12 x 2 )

x 2 (12 y) y (12 x 2 )

12
2
2

x0
x 12 y

Dấu = xảy ra khi

2
2

y 12 x
y 12 x

Thế vào phương trình 2 ta được: x3 8x 1 2 10 x2
Ta bấm máy xem có nghiệm nguyên không, có thì coi như xong
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

9

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Các em bấm như sau: Alpha X Shift x 2 -8 Alpha X -1 = 2

10 alpha X x 2

Sau đó ấn Shifl Solve 9=
( nếu các em ấn 0= sẽ bị ra nghiệm -1, nên phải ấn 9= để tìm nghiệm dương xem thêm cách 3 nhé)
Ra được x=3, tới đây có thể mỉm cười được rồi
Ta sẽ biến đổi theo x-3 = 0
x 3 8 x 1 2 10 x 2
( x 3 8 x 3) 2(1 10 x 2 ) 0

Anh ghép 1 với 10 x2 vì khi nhân liên hợp nó xuất hiện x 2 9 ( x 3)( x 3)
Tới đây các em vào máy giải phương trình bậc 3 kia xem được nghiệm gì nhé, đừng nói là em không
biết bấm máy cái này
Được x=3 và 2 nghiệm xấu nhưng không sao vậy là được rồi
Ta tiến hành chia x3 8 x 3 cho (x-3) được x 2 3x 1
Vậy ta có:

( x 3)( x 2 3x 1) 2(1 10 x 2 ) 0
( x 3)( x 2 3x 1) 2.

x2 9

1 10 x 2

2( x 3)
( x 3) x 2 3x 1
1 10 x 2

Ta có x 0 nên x 2 3 x 1

0

0

2( x 3)
1 10 x 2

0

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=y=3
Dạng 2: Các mối quan hệ được rút ra từ kết hợp 2 phương trình
Dấu hiệu là: bấm nghiệm của 1 trong 2 phương trình ra xấu
Ví dụ 1:

2( x y)3 4 xy 3 0(1)

4
2

2
( x y ) 2 x 4 xy 2 y x 3 y 1 0(2)
Giải:
Để sử lý được dạng này, thì phải cộng (trừ) (1) với (2) nhân với k, đơn giản nhất là k =1 có những bài phải
cộng (trừ) đi k =1,2,3,4,5,…. Nhưng dạng này bây giờ khá hiếm, vì cũng khá khó đối với các em.
( x y ) 4 2 x 2 4 xy 2 y 2 x 3 y 1 k .[2( x y )3 4 xy 3] 0

Các em thử k =1,2,3,4,5…hoặc -1,-2,-3,-4,-5…. cho tới khi Y nguyên thì X nguyên nhé
Ta được bảng giá trị sau:
Y

0

1

2

3

4

5

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

10

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

X

1

0

Chuyên đề đặc biệt

-1

Dễ thấy quy luật x + y =1
Ta biến đổi như sau:
( x y ) 4 2 x 2 4 xy 2 y 2 x 3 y 1 [2( x y )3 4 xy 3] 0
( x y ) 4 2( x y )3 2 x 2 2 y 2 x 3 y 2 0
( x y )3 ( x y 1) 3[( x y )3 1] 2 x 2 2( y 2 2 y 1) ( x y 1) 0
( x y )3 ( x y 1) 3[( x y )3 1] 2[x 2 ( y 1) 2 ] ( x y 1) 0
( x y 1){( x y )3 3[( x y ) 2 ( x y ) 1)]-2(x-y+1)+1}=0
( x y 1){( x y )3 3( x y ) 2 +2+x+5y}=0
x y 1 0(3)

3
2
( x y ) 3( x y ) +2+x+5y=0(4)

Lấy 2.(4) (1) được : 6( x y ) 2 2 x 10 y 4 4 xy 3 0
6( x 2 2 xy y 2 ) 4 xy 2 x 10 y 7 0
16
14
25

25
(5 x 2 8 xy y 2 ) ( x 2 2 x 1) [ y 2 10 y ( ) 2 ] 7 1 ( ) 2 0
5
5
14
14
2

4
14
25
25
(x 5
y ) 2 ( x 1) 2 [
y ]2 6 0
5
4
5
14

Do VT > 0 nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy: x +y -1 = 0 thay vào (1) được:
2 4 x(1 x) 3 0 4 x 2 4 x 1 0 x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x y

1
1
y
2

2

1
( bài này các em có thể làm theo phương pháp đánh giá )
2

Dạng 2 này anh chỉ mở rộng thêm còn chủ yếu anh tập chung vào dạng 1 vì có tới 90% các hệ trong
đề thi thử và ĐH đều ở dạng 1, minh chứng là các ví dụ sau đây:

ìï
ïï x + 1 + 4 x – 1 – y 4 + 2 = y
Ví dụ 1. (ĐH-AA1-2013) Giải hệ phương trình: í
(với x, y là các số thực)
ïï x 2 + 2x(y – 1) + y 2 – 6y + 1 = 0
ïî
Giải:
Điều kiện x 1

Bảng kết quả với phương trình 1:
Y

0

1

x + 1+

4

x – 12

y4 + 2 = y
3

4

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

5
11

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

X

1

Cant

Chuyên đề đặc biệt

17

82

257

Dự đoán: y 4 x 1
Từ đó các em kết hợp với PP hàm số là ra do x và y đứng độc lập nên nghĩ tới hàm số.
Ta biến đổi phương trình 1 thành:

4

4

x 1 2 4 x 1 y4 2 y

Xét hàm: f (t ) t 4 2 t với t 0

2t 3

f ‘(t )

t 2
4

1 0 vớiv t 0 do đó hàm đồng biến nên : y 4 x 1

Thế vào phương trình (2) ta được: y ( y 7 2 y 4 y 4) 0 (3)
g ( y ) y 7 2 y 4 y 4, g ‘( y ) 7 y 6 8 y 3 1 0 với y 0

Dễ thấy g (1) 0 nên phương trình (3) có 2 nghiệm là y=0 và y = 1 suy ra x = 1 và x = 2
Vậy hệ có 2 nghiệm là (1;0) và (2;1)

ìï 2x 2 + y2 – 3xy + 3x – 2y + 1 = 0
ï
Ví dụ 2. (ĐH-B-2013) Giải hệ phương trình: í
ïï 4x 2 – y2 + x + 4 = 2x + y + x + 4y
ïî

x, y R

Giải:

Bảng kết quả với phương trình 1: 2x 2 + y2 – 3xy + 3x – 2y + 1 = 0

Lưu ý mọi trường hợp ban đầu đều cho X = 0 nhé, để KQ của các em trung với của anh
Y

0

1

2

3

4

5

X

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Dễ dàng nhận ra quy luật là 2x+1 = y, các em cứ ghép để xuất hiện nhân tử (2x-y+1) là được

2x 2 + y 2 – 3xy + 3x – 2y + 1 = 0
Û x(2x – y + 1) – 2xy + 2x – 2y + y 2 + 1 = 0
Û x(2x – y + 1) – y(2x – y + 1) + 2x – y + 1 = 0
Û (x – y + 1)(2x – y + 1) = 0
ở đây có 1 phần tử gây nhiễu là x-y+1 nhưng mà cũng may là không ảnh hưởng lúc ta bấm máy.

y x 1
Vậy :
y 2x 1
Với y = x + 1 thay vào phương trình (2) ta có:
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

12

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

3x 2 x 3 3x 1 5 x 4 các em bấm được ra 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 chỉ cần khởi tạo giá trị ban

đầu là -9= và 9= các em sẽ tìm được 2 nghiệm này vậy sẽ có nhân tử x 2 x
Ta phân tích thành:
3( x 2 x) ( x 1 3 x 1) ( x 2 5 x 4) 0
1
1

( x 2 x ) 3

0
x 1 3x 1 x 2 5 x 4

x 1
x2 x 0
x 0

Vậy ta tìm được 2 nghiệm là (0;1) và (1;2)
Với y = 2x + 1 thay vào phương trình (2) được:
3 3x 4 x 1 9 x 4 làm tương tự như trên được:

4
9

)0 x0
4x 1 1
9x 4 2

x(3

Vậy hệ có 2 nghiệm là (0;1) và (1;2)

ìï x 3 – 3x 2 – 9x + 22 = y3 + 3y 2 – 9y
ïï
Ví dụ 3: (ĐH-AA1-2012) Giải hệ phương trình: í 2
x, y R
ïï x + y2 – x + y = 1
ïïî
2
Gợi ý:

Bảng kết quả với phương trình 1: x3 – 3×2 – 9x + 22 = y3 + 3y2 – 9y
Y

0

1

2

3

X

2

3

1,79 hoặc 4

-1 hoặc 5

4

100
102

Bài này cũng có phần tử gây nhiễu cho việc bấm máy, nhưng ta vẫn tìm đc là có nhân tử:
x = y+2 hoặc x-1= y+3 hoặc x-2 = y hoặc x-1 = y+1 căn cứ vào bài mà chọn mối quan hệ thích hợp
Rõ ràng x và y độc lập với nhau nên nghĩ nay tới pp hàm số, các em biến đổi thành:

( x3 3x 2 3x 1) 12( x 1) ( y 3 3 y 2 3 y 1) 12( y 1)
( x 1)3 12( x 1) ( y 1)3 ( y 1)
Để xét hàm thì các em phải chú ý vào đoạn mà ta cần xét nhé, ở đây phải bám vào pt 2, BGD giải khá chi
tiết rồi, anh chỉ định hướng cho các em thôi.
ìï 5x 2 y – 4xy 2 + 3y3 – 2(x + y) = 0
Ví dụ 4. (ĐH-A-2011) Giải hệ phương trình: ïí
(với x, y là các số thực)
ïï xy(x 2 + y 2 ) + 2 = (x + y) 2
ïî

Gợi ý:

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

13

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Bảng kết quả với phương trình 2: xy(x2 + y2 ) + 2 = (x + y)2
Y

0

1

2

3

4

5

X

-1,4141

1

0,5

1/3

1/4

1/5

Rõ ràng ta thấy pt có nhân tử (xy-1) ta sẽ cố tính nhóm để xuất hiện

(xy – 1)(x 2 + y 2 ) – (x 2 + y 2 ) + 2 – (x + y) 2 = 0
Û (xy – 1)(x 2 + y 2 ) + 2(1- xy) = 0
Û (xy – 1)(x 2 + y 2 – 2) = 0
+ TH 1: xy = 1 : Các em tự làm vì đơn giản
+TH 2 : x 2 y 2 2, thay vào 1 được : 3 y ( x 2 y 2 ) 4 xy 2 2 x 2 y 2( x y ) 0
Các em bấm máy để tìm quy luật của phương trình này : 6 y 4 xy 2 2 x 2 y 2( x y ) 0
Y

0

1

2

3

4

5

X

0

1

0,5

1/3

1/4

1/5

Vậy lại có nhân tử (xy -1) = 0 ta sẽ lại ép nhân tử :

6 y 4 xy 2 2 x 2 y 2( x y ) 0
2 xy 2 x 2 y x 2 y 0
2 y( xy 1) x( xy 1) 0
( x 2 y)( xy 1) 0
Tới đây thì dễ rồi, còn lại các em tự biến đổi tiếp nhé
Ví dụ 5. (ĐH-A-10) Giải hệ phương trình:

ìï (4x 2 + 1)x + (y – 3) 5 – 2y = 0(1)
ï
(với x, y là các số thực)
í 2
ïï 4x + y2 + 2 3 – 4x = 7(2)

ïî
Đây là câu 10 điểm của đề ĐH 2010:
ĐK: y

5
3
, x
2
4

Bảng kết quả với phương trình 1: (4x 2 + 1)x + (y – 3) 5 – 2y = 0
Y

0

1

2

3

-1

-2

X

1,11

0,866

0,5

1/3

1,3228

1,5

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

14

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

X2

5
4

Dự đoán: X 2

3
4

Chuyên đề đặc biệt

1

4

Cant solve

7
4

9
4

5 2Y
hoặc 2x 5 2 y
4

Để ý 2 vế x, y hoàn toàn độc lập nên ta sẽ lại áp dụng phương pháp hàm số
(4x 2 + 1)x + (y – 3) 5 – 2y = 0
5 – 2y
x
Û ((2x) 2 + 1]. = [(5 – 2y) + 1].
2
2

t 1
Xét hàm: f (t ) (t 2 1). (t 3 t ) hàm này đồng biến biến trên do f ‘(t ) 0
2 2

x0
5 x
thế vào (2)
2x 5 2 y

y
2
x 5 2 y
2

5

4 x 2 x 2 2 3 4 x 7 0(3)
2

2

2

5

Xét hàm g ( x) 4 x 2 2 x 2 2 3 4 x 7 trên đoạn
2

3
0, 4

4
4
5

g ‘( x) 8 x 8 x 2 x 2
4 x(4 x 2 3)
0 nên hàm số nghịch biến.

3 4x
3 4x
2

1
1
MÀ g 0 nên x là nghiệm duy nhất của (3)
2
2

Với x

1
y2
2

1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ; 2
2

*Mở rộng : Ngoài giải Hệ Phương trình, máy tính FX 570 ES PLUS còn hỗ trợ rất tốt trong việc giải
Bất Phương Trình và Phương Trình bậc cao cũng như phương trình vô tỷ.
Sau đây anh muốn bổ sung thêm 1 bài như vậy:
Trích Đề thi thử THPT Chuyên Vinh lần 3 2015 ngày 17/5/2015
Giải bất phương trình : 3( x 2 1) 2 x 1 2( x 3 x 2 )

Giải:

ĐK: x

1
2

(1) ( x 1)[3( x 1) 2 x 1 2 x 2 ] 0

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

15

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Bấm máy giải nghiệm của phương trình: 3( x 1) 2 x 1 2 x 2
Được 2 nghiệm là X = 6,464 và X = -0,464.
Các em lưu và A và B, để ý rằng AB = -3 và A+B = 6 nên chắc chắn có nhân tử x 2 6 x 3
Ta sẽ cố gắng ép để có nhân tử:
3( x 1) 2 x 1 2 x 2
3( x 1) 2 x 1 2( x 2 6 x 3) (12 x 6)
3 2 x 1( x 1 2 2 x 1) 2( x 2 6 x 3)
( x 1) 2 4(2 x 1)
2( x 2 6 x 3)
x 1 2 2x 1
x2 6x 3
3 2 x 1.
2( x 2 6 x 3)
x 1 2 2x 1
3 2 x 1.

Vậy ta có:
( x 1).( x 2 6 x 3)(

3 2x 1
2) 0
x 1 2 2x 1

( x 1).( x 2 6 x 3)[ 2 x 1 2( x 1)]<0
( x 1).( x 2 6 x 3)[-( 2 x 1 1) 2 ]<0
( x 1).( x 2 6 x 3) 0

Tới đây thì các em, biểu diễn 3 nghiệm trên 2 trục số:

Từ sơ đồ xét dấu và điều kiện ta có:
1

x

2
x 3 2 3;1 3 2 3;

x 3 2 3;1 3 2 3;

Vậy tập nghiệm của BPT là: T 3 2 3;1 3 2 3;

Ngoài ra còn 1 cách cũng khá hay nữa đưa phương trình về bậc 4 vì bản chất khi bình phương lên
nó ra bậc 4 mà

Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

16

Bí Kíp Công phá Hệ Phương Trình bằng fx 570 ES PLUS

Chuyên đề đặc biệt

Các em làm như phần anh hướng dẫn hệ khối B 2014 để tìm 4 nghiệm ( ở bài này có 2 thôi, sau
khi tìm ra được 2 nghiệm các em sử dụng Vi-et đảo ra 1 phương trình bậc 2, lấy phương trình bậc 4
ban đầu chia cho phương trình bậc 2 này là được phương trình bậc 2 vô nghiệm còn lại nhé)

3( x 1) 2 x 1 2 x 2 0
3( x 1) 2 x 1 2 x 2
9( x 1) 2 (2 x 1) 4 x 4
9( x 2 2 x 1)(2 x 1) 4 x 4
9(2 x3 5 x 2 4 x 1) 4 x 4
4 x 4 18 x3 45 x 2 36 x 9 0
( x 2 6 x 3)(4 x 2 6 x 3) 0
Từ đây ta thấy: 3( x 1) 2 x 1 2 x 2 ( x 2 6 x 3)( 4 x 2 6 x 3)
Vậy kết hợp với đề bài ta sẽ có ( x 1)( x 2 6 x 3)(4 x 2 6 x 3) 0 ( x 1)( x 2 6 x 3) 0
Ta kết luận tương tự như trên
V,Tổng Kết
Đây là 1 phương pháp giúp ta định hướng nhanh mối quan hệ giữa x và y, rất thích hợp áp dụng với
các phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp hàm số và đánh giá
Đặc biệt là khả năng sử dụng để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ, phân tích phương trình
bậc 4 thành nhân tử,
Hi vọng sau tài liệu này các em sẽ có cái nhìn khác về Hệ Phương trình, đã rất nhiều em có phản hồi lại
cho anh là em đã biết làm và làm rất tốt, em không còn thấy hệ phương trình khó nữa.
Mọi thắc mắc các em có thể liên lạc với anh:
Facebook: https://www.facebook.com/Ad.theluc
Bí kíp Hệ version 1:
https://www.youtube.com/watch?v=XYKTdZIe_4I&list=PL3i7_86mUo2pkz0ZU609y3jV81pQkXSvp

Bí kíp Hệ version 2:
https://www.youtube.com/playlist?list=PL3i7_86mUo2oWKu8X-0aDyrVaraW-wPrC
Hiêṇ ta ̣i thi ̀ đã sắ p phát hành ver 3.0 rồ i nhé!
Ngoài ra thì có thể tham khảo 1 số phương pháp mới đang áp du ̣ng rấ t ma ̣nh để lấ y 8-9-10
Chuẩ n hóa Oxy:
Định hướng tìm Min, Max bằng casio fx 570 es, vn plus
Chúc các em học tốt !!!

Tác giả : Nguyễn Thế Lực
Bikiptheluc.com Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến

17