Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải

Các bài toán về phương trình bậc nhất đối với sin và cos và cách giải

Với Các bài toán về phương trình bậc nhất so với sin và cos và cách giải môn Toán lớp 11 sẽ giúp học viên nắm vững kim chỉ nan, biết giải pháp làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt tác dụng cao trong các bài thi Toán 11 .
                           

1. Lý thuyết

– Phương trình bậc nhất so với sin và cos có dạng : a.sinx + b.cosx = c ( với a ; b là các số thực, a ; b khác 0 ) .
– Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 .
2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos
– Phương pháp giải :
Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được:

* Đặt
Khi đó phương trình ( * ) đưa về dạng
 

 . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Hoặc đặt
Khi đó phương trình ( * ) đưa về dạng
 

 . Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

* Phương trình có nghiệm khi

Chú ý: Các công thức đặc biệt

– Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a ) sin4x + √ 3 cos4x = √ 2
b ) 5 sin2x + 12 cos2x = 13
c ) sin2x – 2 cosxsinx + 1 = 0
Lời giải

a) sin4x + √3cos4x = √2   (1)

Đặt  

Khi đó (1)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) 5sin2x +12cos2x = 13   (2)

Đặt

Vậy họ nghiệm của phương trình là:
c ) sin2x – 2 cosxsinx + 1 = 0
 
⇔ 1 – cos2x – 2 sin2x + 2 = 0
⇔ cos2x + 2 sin2x = 3
Ta thấy : 12 + 22 < 32. Vậy phương trình trên vô nghiệm . Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a ) 3 sin3x – √ 3 cos9x = 1 + 4 sin33x
b ) cos3x – sin5x = √ 3 ( cos5x – sin3x )
Lời giải
a ) 3 sin3x – √ 3 cos9x = 1 + 4 sin33x
⇔ 3 sin3x – 4 sin33x – √ 3 cos9x = 1
⇔ sin9x – √ 3 cos9x = 1
 

Vậy họ nghiệm của phương trình là:
b ) cos3x – sin5x = √ 3 ( cos5x – sin3x )
⇔ cos3x – sin5x = √ 3 cos5x – √ 3 sin3x
⇔ cos3x + √ 3 sin3x = √ 3 cos5x + sin5x
 

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.sinx + b.cosx = c có chứa tham số m có nghiệm
– Phương pháp giải :
Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
– Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: (m-1)cosx + 2sinx = m+3  có nghiệm.

Lời giải
Để phương trình có nghiệm : ( m-1 ) 2 + 22 ≥ ( m + 3 ) 2
⇔ mét vuông – 2 m + 1 + 4 ≥ mét vuông + 6 m + 9
⇔ – 8 m ≥ 4
⇔  

Vậy  thì phương trình (m-1)cosx + 2sinx = m+3 có nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: (m-1)sinx + mcosx = m+1  có nghiệm.

Lời giải
Để phương trình có nghiệm : ( m-1 ) 2 + mét vuông ≥ ( m + 1 ) 2
⇔ mét vuông – 2 m + 1 + mét vuông ≥ mét vuông + 2 m + 1
⇔ mét vuông – 4 m ≥ 0
⇔ m ( m – 4 ) ≥ 0
   

Vậy m ≥ 4 hoặc m ≤ 0 thì phương trình ( m-1 ) sinx + mcosx = m + 1 có nghiệm .
                           

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình √3sin2x – cos2x + 1 = 0 là:

Câu 2. Có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0, 2π) của phương trình cos4x – sin4x = 1?

A. 5                           B. 3                            C. 6                            D. 7

Câu 3. Họ nghiệm của phương trình: sin3x – √3cos3x = 2cos5x là:

Câu 4. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos2x – sin2x = √2 + sin2x trên khoảng (0, 2π) 

Câu 5. Họ nghiệm của phương trình: √3(sin2x + cos5x) = sin5x – cos2x là:

Câu 6. Các nghiệm của phương trình 1+ sin2x = cos 2x là:

Câu 7. Số nghiệm thuộc khoảng (0, π) của phương trình sinx(sinx + 2cosx) = 2 là

A. 0                           B. 1                            C. 2                           D. 3

Câu 8. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (-π, π) của phương trình sinx + cosx = 2√2sinxcosxlà:

Câu 9. Họ nghiệm của phương trình: 4(sin4x + cos4x) + √3sin4x = 2 là:

Câu 10. Họ nghiệm của phương trình: là:

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 3sinx – 4cosx = 2m có nghiệm.

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình (m+1)sin2x – sin2x + cos2x = 0 có nghiệm?

A. 12                         B. 13                         C. 11                          D. 10

Câu 13. Phương trình 2sinxcosx + √3cos2x + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi:

A. -2 ≤ m < 2            B. -2 ≤ m ≤ 2              C. m ≤ 2                      D. -2 < m ≤ 2    Câu 14. Tìm m để phương trình (2m-1)cos2x + 2msinxcosx = m – 1 vô nghiệm.

Câu 15. Gọi M, m lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = √3sin3x – cos3x + 2. Giá trị của M, m là:

A. M = 4; m = 0         B. M = 2; m = -2        C.          D. M = 3; m = 1

Bảng đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
ham-so-luong-giac.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập