Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình thuần nhất bậc hai so với sinx và cosx là phương trình có dạng :a. sin2 x + b. sinx. cosx + c. cos2 x = 0 ( 1 )trong đó a ; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0+ Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai so với sinx và cosx :* Cách 1 .Bước 1 : Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình .Chú ý : cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos2x. Khi đó phương trình đã cho có dạng : a. tan2 x + b. tanx + c = 0Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx⇒ x = ….Chú ý:

* Cách 2. Áp dụng công thức hạ bậc ; công thức nhân đôi ta có :a. sin2 x + b. sinx. cosx + c. cos2 x = 0

⇒ b. sin2x + ( c-a ) cos2x = – a – cĐây là phương trình bậc nhất so với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm

Lời giải

+ Trường hợp 1 .Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình này vô nghiệm⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm .Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Phương trình có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Trường hợp 1. Với cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :6.1 + 0 – 0 = 6 ( luôn đúng )⇒ phương trình có nghiệm x = π / 2 + kπTrường hợp 2. Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được

Chọn A

Ví dụ 3. Cho phương trình 2sin2 x – 5sinx. cosx +3cos2 x= 0. Tìm một họ nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :2 tan2 x – 5 tanx + 3 = 0

Chọn C

Ví dụ 4. Giải phương trình 4sin2 x+4sinx. cosx+ cos2x= 0.

A.

B.x = arctan ⁡ ( – 2 ) + kπ

C.

D.x = arctan ⁡ 2 + kπ

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :4 tan2 x + 4 tanx + 1 = 0 ⇒ ( 2 tanx + 1 ) 2 = 0⇒ 2 tanx + 1 = 0 ⇒ tan x = ( – 1 ) / 2⇒ x = arctan ⁡ ( – 1 ) / 2 + kπChọn C.

Ví dụ 5. Phương trình có các nghiệm là:

A .

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Trường hợp 1 : Nếu cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu+ trường hợp 2 : Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Giải phương trình – 3sin2x – 2sinx.cosx + 4cos2 x= – 3

A.

B .

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được :- 3 tan2 x – 2 tanx + 4 = ( – 3 ) / ( cos2 x )⇒ – 3 tan2 x – 2 tanx + 4 = – 3 ( 1 + tan2 x )⇒ – 2 tanx = – 7 ⇒ tanx = 7/2⇒ x = arctan 7/2 + kπChọn A.

Ví dụ 7: Phương trình 2sin2 x+ sinx.cosx – cos2 x= 0 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 ; chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :2 tan2 x + tanx – 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8: Một họ nghiệm của phương trình: 2sin2x – 5sinx.cosx–cos2 x= – 2 là

A. x=

B. x=

C. x=

D. x=

Lời giải

+ Trường hợp 1 : Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2 x ta được :2 tan2x – 5 tanx – 1 = ( – 2 ) / ( cos2 x )⇒ 2 tan2 x – 5 tanx – 1 = – 2 ( 1 + tan2x )⇒ 2 tan2x – 5 tanx – 1 = – 2 – 2 tan2 x⇒ 4 tan2 x – 5 tanx + 1 = 0

Chọn B.

Ví dụ 9. Cho phương trình : 2sin2 x- 4sinx.cosx+4 cos2x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 1 < m hoặc m < - 1B.m > √ 3 hoặc m < - √ 5C. 2 - √ 5 ≤ m ≤ 2 + √ 5D.Đáp án khác

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có :2 sin2 x – 4sinx.cosx + 4 cos2 x = m⇒ ( 1 – cos2x ) – 2 sin2x + 2 cos2x + 1 = m⇒ cos2x – 2 sin2x = m – 2Đây là phương trình bậc nhất so với sin2x và cos2x nên điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm là : 12 + ( – 2 ) 2 ≥ ( m-2 ) 2⇒ 5 ≥ mét vuông – 4 m + 4 ⇒ mét vuông – 4 m – 1 ≤ 0⇒ 2 – √ 5 ≤ m ≤ 2 + √ 5Chọn C.

Ví dụ 10: Giải phương trình 4sin3 x+ 3cos3x- 3sinx – sin2x.cosx= 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos3 x ta được :

⇒ 4. tan3 x + 3 – 3 tanx. ( 1 + tan2 x ) – tan2x = 0⇒ 4. tan3 x + 3 – 3 tanx – 3 tan3x – tan2 x = 0⇒ tan3 x – tan2 x – 3 tanx + 3 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos3x = sin3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : 2 cos3x = sin3x⇒ 2 cos3 x = 3 sinx – 4 sin3xTa thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế phương trình cho cos3 x ta được :

⇒ 2 = 3. tanx ( 1 + tan2 x ) – 4 tan3 x⇒ 2 = 3 tanx + 3 tan3x – 4 tan3x⇒ tan3x – 3 tanx + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 12: Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình 4sin2x+ 5sinx. cosx – 9cos2 x= 0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Trường hợp 1. Nếu cos x = 0 ⇒ sin2 x = 1Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 .Chia cả hai vế cho cos2 x ta được :4 tan2 x + 5 tanx – 9 = 0

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình – sin2 x – 2sin2x- 4cos2 x = 0

A. x = arctan ( – 3 ) + kπB. x = arctan 3 + kπC. x = arctan 2 + kπD. x = arctan ( – 2 ) + kπ
Hiển thị lời giải
+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1Thay vào phương trình đã cho ta thây không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 .Ta có : – sin2 x – 2 sin2x – 4 cos2 x = 0⇒ – sin2 x – 4 sinx. cosx – 4 cos2 x = 0Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :- tan2 x – 4 tanx – 4 = 0⇒ – ( tanx + 2 ) 2 = 0⇒ tanx + 2 = 0 ⇒ tanx = – 2⇒ x = arctan ( – 2 ) + kπChọn D

Câu 3:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có :

Chọn C.

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình: sin2 x – 3sinx. cosx = 2 là

A.

B.

C.

D.Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 ; chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :tan2 x – 3 tanx = 2 / ( cos2 x )⇒ tan2 x – 3 tanx = 2 ( 1 + tan2 x )⇒ tan2 x – 3 tanx = 2 + 2 tan2 x⇒ – tan2 x – 3 tanx – 2 = 0

Chọn C .

Câu 5:Giải phương trình 3sin2 x – 4sinx.cosx + 5cos2 x = 2.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 .Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :3 tan2 x – 4 tan x + 5 = 2 / ( cos2 x )⇒ 3. tan2 x – 4 tanx + 5 = 2 ( 1 + tan2 x )⇒ tan2 x – 4 tanx + 3 = 0

Chọn A

Câu 6:Phương trình : có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Trương hợp 1 .Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2 .Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2x ta được :

Chọn B .

Câu 7:Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Trường hợp 1. Nếu cos2x = 0 ⇒ sin2 2 x = 1Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn nhu cầu .+ Trường hợp 2. Nếu cos2x ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 2 x ta được :

Chọn D

Câu 8:Phương trình có một họ nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1Thay vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn nhu cầu .⇒ x = π / 2 + kπ là nghiệm của phương trình đã cho+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình sin2x + 3tanx = cosx.( 4sinx – cosx)

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Điều kiện : cosx ≠ 0Ta có : sin2 x + 3 tanx = cosx. ( 4 sinx – cosx )⇒ sin2 x + 3 tanx = 4 sinx. cosx – cos2xChia cả hai vế cho cos2 x ta được :

⇒ tan2 x + 3 tanx ( 1 + tan2 x ) – 4 tanx + 1 = 0⇒ tan2 x + 3 tanx + 3 tan3 x – 4 tanx + 1 = 0⇒ 3 tan3 x + tan2 x – tanx + 1 = 0⇒ tanx = – 1⇒ x = ( – π ) / 4 + kπChọn A.

Câu 10:Giải phương trình: sin2 x. ( tanx+ 1) = 3sinx.(cosx – sinx) + 3

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Điều kiện : cosx ≠ 0 .Ta có : sin2 x. ( tanx + 1 ) = 3 sinx. ( cosx – sinx ) + 3⇒ sin2 x. ( tanx + 1 ) = 3 sinx. cosx – 3 sin2 x + 3⇒ sin2 x. ( tanx + 1 ) = 3sinx.cosx + 3 cos2 x ( vì 3-3 sin2 x = 3 cos2 x )Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ≠ 0 ta được :tan2x. ( tanx + 1 ) = 3 tanx + 3⇒ tan2 x. ( tanx + 1 ) – ( 3 tanx + 3 ) = 0⇒ tan2 x. ( tanx + 1 ) – 3 ( tanx + 1 ) = 0⇒ ( tan2 x – 3 ) ( tanx + 1 ) = 0

Chọn B .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập