Tìm x lớp 8 hằng đẳng thức

Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản đến nâng cao – bài tập hằng đẳng thức lớp 8 Đại số 8 chương I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ chắc không còn lạ lẫm gì với các bạn học viên, là một nội dung cực kỳ quan trọng trong chương trình toán THCS. Tài liệu gồm có vừa đủ các dạng bài tập tương quan đến các hằng đẳng thức. Từ các bài tập vận dụng cơ bản đến các bài vận dụng cao để các em học viên cũng như các thầy cô tìm hiểu thêm làm tài liệu học tập và giảng dạy .

Nội dung chính

Show

• ôn tập các dạng bài về hằng đẳng thức có đáp án
• Tải tài liệu bài tập hằng đẳng thức lớp 8
• 1. Hằng đẳng thức bình phương một tổng, hiệu, hiệu hai bình phương
• 2. Hằng đẳng thức lập phương của một tổng, một hiệu
• 3. Tổng và hiệu hai lập phương
• 4. Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản đến nâng cao
• Video liên quan

ôn tập các dạng bài về hằng đẳng thức có đáp án

Câu 1: Tính:
a, ( x + 2 y ) 2
b, ( x – 3 y ) ( x + 3 y )
c, ( 5 – x ) 2
Lời giải:
a, ( x + 2 y ) 2 = x2 + 4 xy + 4 y2 b, ( x – 3 y ) ( x + 3 y ) = x2 – ( 3 y ) 2 = x2 – 9 y2 c, ( 5 – x ) 2 = 52 – 10 x + x2 = 25 – 10 x + x2
Câu 2: Tính:
a, ( x – 1 ) 2
b, ( 3 – y ) 2
c, ( x – 1/2 ) 2 Lời giải:
a, ( x – 1 ) 2 = x2 – 2 x + 1 b, ( 3 – y ) 2 = 9 – 6 y + y2
c, ( x – 1/2 ) 2 = x2 – x + 1/4
Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6 x + 9
b, x2 + x + 1/4
c, 2 xy2 + x2y4 + 1
Lời giải:
a, x2 + 6 x + 9 = x2 + 2. x. 3 + 32 = ( x + 3 ) 2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2. x. 1/2 + ( 50% ) 2 = ( x + 50% ) 2
c, 2 xy2 + x2y4 + 1 = ( xy2 ) 2 + 2. xy2. 1 + 12 = ( xy2 + 1 ) 2
Câu 4: Rút gọn biểu thức:
a, ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
b, 2 ( x – y ) ( x + y ) + ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
c, ( x – y + z ) 2 + ( z – y ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z )
Lời giải:
a, ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
= x2 + 2 xy + y2 + x2 – 2 xy + y2
= 2×2 + 2 y2
b, 2 ( x – y ) ( x + y ) + ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
= [ ( x + y ) + ( x – y ) ] 2 = ( 2 x ) 2 = 4×2
c, ( x – y + z ) 2 + ( z – y ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z )
= ( x – y + z ) 2 + 2 ( x – y + z ) ( y – z ) + ( y – z ) 2
= [ ( x – y + z ) + ( y – z ) ] 2 = x2
Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có : a = 5 k + 4 ( k ∈ N )
Ta có : a2 = ( 5 k + 4 ) 2
= 25 k2 + 40 k + 16
= 25 k2 + 40 k + 15 + 1
= 5 ( 5 k2 + 8 k + 3 ) + 1
Ta có : 5 ( 5 k2 + 8 k + 3 ) ⋮ 5
Vậy a2 = ( 5 k + 4 ) 2 chia cho 5 dư 1 .
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b, x3 – 3×2 + 3 x – 1 tại x = 101
c, x3 + 9×2 + 27 x + 27 tại x = 97
Lời giải:
a, Ta có : x2 – y2 = ( x + y ) ( x – y )
b, Thay x = 87, y = 13, ta được :
x2 – y2 = ( x + y ) ( x – y )
= ( 87 + 13 ) ( 87 – 13 )
= 100.74 = 7400
c, Ta có : x3 + 9×2 + 27 x + 27
= x3 + 3. x2. 3 + 3. x. 32 + 33
= ( x + 3 ) 3
Thay x = 97, ta được : ( x + 3 ) 3 = ( 97 + 3 ) 3 = 1003 = 1000000
Câu 7: Chứng minh rằng:
a, ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) + ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = 2 a3
b, ( a + b ) [ ( a – b ) 2 + ab ] = ( a + b ) [ a2 – 2 ab + b2 + ab ] = a3 + b3
c, ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( ac + bd ) 2 + ( ad – bc ) 2
Lời giải:
a, Ta có : ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) + ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2 a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng tỏ .
b, Ta có : ( a + b ) [ ( a – b ) 2 + ab ] = ( a + b ) [ a2 – 2 ab + b2 + ab ]= ( a + b ) ( a2 – 2 ab + b2 ) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng tỏ .
c, Ta có : ( ac + bd ) 2 + ( ad – bc ) 2
= a2c2 + 2 abcd + b2d2 + a2d2 – 2 abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2 ( a2 + b2 ) + d2 ( a2 + b2 )
= ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 )
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng tỏ .
Câu 8: Chứng tỏ rằng:
a, x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x
b, 4 x – x2 – 5 < 0 với mọi x
Lời giải:
a, Ta có : x2 – 6 x + 10 = x2 – 2. x. 3 + 9 + 1 = ( x – 3 ) 2 + 1
Vì ( x – 3 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên ( x – 3 ) 2 + 1 > 0 mọi x
Vậy x2 – 6 x + 10 > 0 với mọi x .
b, Ta có : 4 x – x2 – 5 = – ( x2 – 4 x + 4 ) – 1 = – ( x – 2 ) 2 – 1 Vì ( x – 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x nên – ( x – 2 ) 2 ≤ 0 với mọi x .
Suy ra : – ( x – 2 ) 2 – 1 ≤ 0 với mọi x
Vậy 4 x – x2 – 5 < 0 với mọi x .
Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a, P = x2 – 2 x + 5
b, Q = 2×2 – 6 x
c, M = x2 + y2 – x + 6 y + 10
Lời giải:
a, Ta có : P = x2 – 2 x + 5 = x2 – 2 x + 1 + 4 = ( x – 1 ) 2 + 4
Vì ( x – 1 ) 2 ≥ 0 nên ( x – 1 ) 2 + 4 ≥ 4
Suy ra : P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ ( x – 1 ) 2 = 0 ⇒ x = 1
Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1 .
b, Ta có : Q = 2×2 – 6 x = 2 ( x2 – 3 x ) = 2 ( x2 – 2.3 / 2 x + 9/4 – 9/4 )
= 2 [ ( x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2 ( x – 2/3 ) 2 – 9/2
Vì ( x – 2/3 ) 2 ≥ 0 nên 2 ( x – 2/3 ) 2 ≥ 0 ⇒ 2 ( x – 2/3 ) 2 – 9/2 ≥ – 9/2
Suy ra : Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ ( x – 2/3 ) 2 = 0 ⇒ x = 2/3
Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .
c, Ta có : M = x2 + y2 – x + 6 y + 10 = ( y2 + 6 y + 9 ) + ( x2 – x + 1 )
= ( y + 3 ) 2 + ( x2 – 2.1 / 2 x + 1/4 + 3/4 ) = ( y + 3 ) 2 + ( x – 1/2 ) 2 + 3/4
Vì ( y + 3 ) 2 ≥ 0 và ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên ( y + 3 ) 2 + ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0
⇒ ( y + 3 ) 2 + ( x – 12 ) 2 + 3/4 ≥ 3/4
⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi ( y + 3 ) 2 = 0 ⇒ y = – 3 và ( x – 1/2 ) 2 = 0 ⇒ x = 1/2
Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = – 3 và x = 1/2
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a, A = 4 x – x2 + 3
b, B = x – x2
c, N = 2 x – 2×2 – 5
Lời giải:
a, Ta có : A = 4 x – x2 + 3
= 7 – x2 + 4 x – 4
= 7 – ( x2 – 4 x + 4 )
= 7 – ( x – 2 ) 2
Vì ( x – 2 ) 2 ≥ 0 nên A = 7 – ( x – 2 ) 2 ≤ 7
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2
b, Ta có : B = x – x2
= 1/4 – x2 + x – 1/4
= 1/4 – ( x2 – 2. x. 1/2 + 1/4 )
= 1/4 – ( x – 1/2 ) 2
Vì ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên B = 1/4 – ( x – 1/2 ) 2 ≤ 1/4
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .
c, Ta có : N = 2 x – 2×2 – 5
= – 2 ( x2 – x + 5/2 )
= – 2 ( x2 – 2. x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )
= – 2 [ ( x – 1/2 ) 2 + 9/4 ]= – 2 ( x – 1/2 ) 2 – 9/2
Vì ( x – 1/2 ) 2 ≥ 0 nên – 2 ( x – 1/2 ) 2 ≤ 0
Suy ra : N = – 2 ( x – 1/2 ) 2 – 9/2 ≤ – 9/2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là – 9/2 tại x = 1/2 .
Câu 11:
Chứng minh các đẳng thức sau :
a ) ( a – b ) 3 = – ( b – a ) 3 ; b ) ( – a – b ) 2 = ( a + b ) 2
Đáp án và hướng dẫn giải
a ) ( a – b ) 3 = – ( b – a ) 3
Biến đổi vế phải thành vế trái :
– ( b – a ) 3 = – ( b3 – 3 b2a + 3 ba2 – a3 ) = – b3 + 3 b2a – 3 ba2 + a3

= a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3 = ( a – b ) 3
Sử dụng đặc thù hai số đối nhau :
( a – b ) 3 = [ ( – 1 ) ( b – a ) ] 3 = ( – 1 ) 3 ( b – a ) 3 = – 13. ( b – a ) 3 = – ( b – a ) 3
b ) ( – a – b ) 2 = ( a + b ) 2
Biến đổi vế trái thành vế phải :
( – a – b ) 2 = [ ( – a ) + ( – b ) ] 2
= ( – a ) 2 + 2. ( – a ). ( – b ) + ( – b ) 2
= a2 + 2 ab + b2 = ( a + b ) 2
Sử dụng đặc thù hai số đối nhau :
( – a – b ) 2 = [ ( – 1 ). ( a + b ) ] 2 = ( – 1 ) 2. ( a + b ) 2 = 1. ( a + b ) 2 = ( a + b ) 2

Tải tài liệu bài tập hằng đẳng thức lớp 8

1. Hằng đẳng thức bình phương một tổng, hiệu, hiệu hai bình phương

2. Hằng đẳng thức lập phương của một tổng, một hiệu

3. Tổng và hiệu hai lập phương

4. Bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản đến nâng cao

Bài viết cùng series:

• Tải app VietJack. Xem giải thuật nhanh hơn !

Bài giảng: Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ – Cô Phạm Thị Huệ Chi (Giáo viên VietJack)

1. Bình phương của một tổng

Quảng cáo Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : ( A + B ) 2 = A2 + 2AB + B2.

Ví dụ:
a ) Tính ( a + 3 ) 2 .
b ) Viết biểu thức x2 + 4 x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng. Hướng dẫn:
a ) Ta có : ( a + 3 ) 2 = a2 + 2. a. 3 + 32 = a2 + 6 a + 9 .
b ) Ta có x2 + 4 x + 4 = x2 + 2. x. 2 + 22 = ( x + 2 ) 2 .
2. Bình phương của một hiệu
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : ( A – B ) 2 = A2 – 2AB + B2 .
Ví dụ:
a ) Tính ( 5 x – y ) 2
b ) Viết biểu thức 4×2 – 4 x + 1 dưới dạng bình phương của một hiệu Hướng dẫn:

Quảng cáo a ) Ta có ( 5 x – y ) 2 = ( 5 x ) 2 – 2.5 x. y + ( y ) 2 = 25×2 – 10 xy + y2 .
b ) Ta có 4×2 – 4 x + 1 = ( 2 x ) 2 – 2.2 x. 1 + 1 = ( 2 x – 1 ) 2.

3. Hiệu hai bình phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : A2 – B2 = ( A – B ) ( A + B ) .
Ví dụ:
a ) Tính ( x – 2 ) ( x + 2 ) .
b ) Tính 56.64
Hướng dẫn:
a ) Ta có : ( x – 2 ) ( x + 2 ) = ( x ) 2 – 22 = x2 – 4 .
b ) Ta có : 56.64 = ( 60 – 4 ) ( 60 + 4 ) = 602 – 42 = 3600 – 16 = 3584. 4. Lập phương của một tổng

Quảng cáo Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : ( A + B ) 3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 .

Ví dụ:
a ) Tính ( x + 2 ) 3 .
b ) Viết biểu thức x3 + 3×2 + 3 x + 1 dưới dạng lập phương của một tổng. Hướng dẫn:

a ) Ta có ( x + 2 ) 3 = x3 + 3. x2. 2 + 3 x. 22 + 23 = x3 + 6×2 + 12 x + 8 .
b ) Ta có x3 + 3×2 + 3 x + 1 = x3 + 3×2. 1 + 3 x. 12 + 13 = ( x + 1 ) 3.

5. Lập phương của một hiệu.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : ( A – B ) 3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 .

Ví dụ :
a ) Tính ( 2 x – 1 ) 3 .
b ) Viết biểu thức x3 – 6×2 y + 12 xy2 – 8 y3 dưới dạng lập phương của một hiệu. Hướng dẫn:

a ) Ta có : ( 2 x – 1 ) 3 = ( 2 x ) 3 – 3. ( 2 x ) 2.1 + 3 ( 2 x ). 12 – 13 = 8×3 – 12×2 + 6 x – 1
b ) Ta có : x3 – 6×2 y + 12 xy2 – 8 y3 = ( x ) 3 – 3. x2. 2 y + 3. x. ( 2 y ) 2 – ( 2 y ) 3 = ( x – 2 y ) 3

6. Tổng hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 – AB + B2 ) .
Chú ý : Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B. Ví dụ:
a ) Tính 33 + 43 .
b ) Viết biểu thức ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương. Hướng dẫn:

a ) Ta có : 33 + 43 = ( 3 + 4 ) ( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91 .
b ) Ta có : ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 ) = x3 + 13 = x3 + 1.

7. Hiệu hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có : A3 – B3 = ( A – B ) ( A2 + AB + B2 ) .
Chú ý : Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B. Ví dụ:
a ) Tính 63 – 43 .
b ) Viết biểu thức ( x – 2 y ) ( x2 + 2 xy + 4 y2 ) dưới dạng hiệu hai lập phương Hướng dẫn:
a ) Ta có : 63 – 43 = ( 6 – 4 ) ( 62 + 6.4 + 42 ) = 2.76 = 152 .
b ) Ta có : ( x – 2 y ) ( x2 + 2 xy + 4 y2 ) = ( x ) 3 – ( 2 y ) 3 = x3 – 8 y3. Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Hướng dẫn:
a ) Ta có :( vận dụng hằng đẳng thức a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b ) )
Vậy A = 25/47 .
b ) Ta có( vận dụng hằng đẳng thức ( a + b ) 2 = a2 + 2 ab + b2 ; ( a – b ) 2 = a2 – 2 ab + b2 )
Vậy B = 1. Bài 2: Tìm x biết

a ) ( x – 3 ) ( x2 + 3 x + 9 ) + x ( x + 2 ) ( 2 – x ) = 0 .
b ) ( x + 1 ) 3 – ( x – 1 ) 3 – 6 ( x – 1 ) 2 = – 10.

Hướng dẫn:

a ) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) = a3 – b3 .
( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2 .
Khi đó ta có ( x – 3 ) ( x2 + 3 x + 9 ) + x ( x + 2 ) ( 2 – x ) = 0. ⇔ x3 – 33 + x ( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x ( 4 – x2 ) = 0
⇔ x3 – x3 + 4 x – 27 = 0
⇔ 4 x – 27 = 0 ⇔ x = 27/4 .
Vậy giá trị x cần tìm là x = 27/4 .
b ) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b ) 3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 – b3
( a + b ) 3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 ( a – b ) 2 = a2 – 2 ab + b2
Khi đó ta có : ( x + 1 ) 3 – ( x – 1 ) 3 – 6 ( x – 1 ) 2 = – 10 .
⇔ ( x3 + 3×2 + 3 x + 1 ) – ( x3 – 3×2 + 3 x – 1 ) – 6 ( x2 – 2 x + 1 ) = – 10 ⇔ 6×2 + 2 – 6×2 + 12 x – 6 = – 10 ⇔ 12 x = – 6 ⇔ x = – 50% .
Vậy giá trị x cần tìm là x = – 50%

Bài giảng: Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) – Cô Vương Thị Hạnh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các phần triết lý, các dạng bài tập Toán lớp 8 có đáp án cụ thể hay khác : Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác :

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack vấn đáp không lấy phí !

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.