Toán cao cấp 1 ma trận định thức – 1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1 Ma trận 1.1 Định nghĩa. Ma trận – StuDocu

1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

1 Ma trận

1.1 Định nghĩa.

Ma trận A cấp m n  trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được

biểu diễn như sau:

11 12 1 21 22 21 2… ……n nm m mna a a a a a A a a a             

= a ij m n ,  i 1,, m j 1, n

Trong đó :aij  R : là thành phần thuộc dòng i và cột j của ma trận A .m : số dòng của ma trận A. n : số cột của ma trận A .

 ai 1 ai 2 … ain  : dòng thứ i của ma trận A.

1 2 …j jmja aa             : cột thứ j của ma trận A .Ký hiệu Mm n  ( ) R là tập hợp các ma trận cấp m n  trên R .

Ví dụ. Xét ma trận 102
1 2 0

B       . Ma trận B là ma trận cấp 2 3  .

1.1 Các dạng đặc biệt của ma trận.

1. Ma trận dòng

Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A =  a 1 a 2 … an 

# # # # # # # Ví dụ. A   2  8 3 

2. Ma trận cột

Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là :1 2ma A aa            

Ví dụ.

1 2 4 0A             

3. Ma trận không:

Ma trận không là ma trận có tổng thể các thành phần đều bằng 0, ký hiệu 0  0 m n 

Ví dụ. 3 2

0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0                  

4. Ma trận vuông cấp n:

Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là

 

11 12 1 21222 ij1 2… ……n n n n n nna a a A a a a aa a a               Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : A M R  n ( ) .Đường thẳng đi qua các thành phần a a 11, 22, a 33, …, ann được gọi là đường chéo chính củama trận A. Đường thẳng đi qua các thành phần a a 1 n, 2 ( n  1 ), a 3 ( n  2 ), …, an 1 được gọi là đườngchéo phụ của ma trận A .

Ví dụ.

Ma trận1 1 4 1 2 0 4 0 3A             là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các thành phần 1,2, – 3 làđường chéo chính .

5. Ma trận tam giác

Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các thành phần nằm phía dưới đường chéo chínhđều bằng 0 .

Ví dụ.

1 2 3 0 2 4 0 0 1A           Hai ma trận cùng cấp A M  n m  ( ) R và B  Mn m  ( ) R gọi là bằng nhau nếu các thành phần tươngứng của chúng bằng nhau, tức là : A     B aij bij (, ) i j .

Ví dụ. Cho 12, 1 2
A a a b B 2 1
   
      . Tìm a b, sao cho A  B

Theo định nghĩa trên giải được a    2, b 1 .

2. Phép nhân một số với ma trận.

Cho c  0 và ma trận A  a ij m n   Mm n ( ) R. Khi đó : cA ( caij m n )

Ví dụ. Cho 1 2 3
A 2 1 0
 
 . Khi đó

1 2 3 2 4 6 2 A 2 2 1 0 4 2 0                     .1 2 3 A 2 1 0              và 3 3 6 9 A 6 3 0       

3. Phép cộng hai ma trận.

Cho A  a ij m n  và B  b ij m n . Tổng của A và B là ma trận C  c ij m n được xác định như

sau :

cij     aij bij , i 1,, m j 1, n 

Ví dụ. Với 1 2 3
2 3 1

A       và 1 1 1 0 1 0B        , 1 3 1 0 4 0C        . Khi đó0 3 4 2 3 2 A B 2 4 1 ; A B 2 C 2 4 1                   

Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.

4. Phép nhân một dòng với một cột

Cho A M  1  n ( ) R và B M  n  1 ( ) R

A  a 1 a 2 … an  ;

1 2nb B bb            Khi đó AB gọi là tích ( vô hướng ) của một dòng với một cột :AB     a b 1 1 a b 2 2 … a bn n

Ví dụ. A   1 2 0 7 và

3 2 6 2B             thì : AB  ( – 1 ). 3 + 2. ( – 2 ) + 0 + 7  7 .

5. Phép nhân hai ma trận

Cho A  Mm k  ( ) R và B  Mk n  ( ) R. Gọi A 1, A 2, …, Am là m dòng của A ; B ( 1 ), B ( 2 ), …, B ( ) n làn cột của B .Ta viết :1 2mA A AA            

và B  B (1) B (2) … B ( ) n 

Với Ai  ai 1 ai 2 … aik  và

1 ( ) 2j j jkjb b B b               .Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và thành phần cij của C được xác lập nhưsaucij  A Bi ( ) j  a bi 1 1 j  a bi 2 2 j   … a bik kj

Nhận xét

Phép nhân hai ma trận AB chỉ triển khai được khi số cột của ma trận A là số dòng của matrận B. Với A M  m k  ( ) R và B M  k n  ( ) R thì C  Mm n  ( ) RNói chung AB  BA. Trường hợp AB  BA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán .

Ví dụ. Cho 1 0
1 1

A       và 1 2 0 1B       . Khi đó 1 2 3 2 1 3 1 1AB        BA        .

Ví dụ. Cho

1 2 3 0 2 4A           , B     1 2 1 0 32 3 4    .

Ta có: A 1 1 2 , A 2   3 0 , A 3 2 4 và

( 1 ) 1, ( 2 ) 2, ( 3 ) 3, ( 4 ) 4 2 1 0 3B      B      B      B              . Khi đó ma trận AB xác lập bởi :

Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :
A  di  dj A ‘
Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i ( c 0), ký hiệu :

A  di  cdi A ‘
Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j ( c  0, i j ), ký hiệu :

A      di   dicdj A ‘

Ví dụ. Cho ma trận

1 2 3 4 5 6 7 8 9A          . Ta có2 221 2 3 1 2 3 4 5 6 ‘ 8 10 12 7 8 9 7 8 9A d  d A                          2 2211 2 3 1 2 3 4 5 6 ‘ 6 9 12 7 8 9 7 8 9A d   d d A                           2 11 2 3 4 5 6 4 5 6 ‘ 1 2 3 7 8 9 7 8 9A d  d A                         

1.1 Ma trận bậc thang

1. Ma trận khác không A M  m n ( ), (, R m n 2)được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có

một số nguyên r (0  r min m n, ), và một dãy các chỉ số cột 1  j j 1, ,…, 2 jr  n, sao

cho :i a ) ij  0 nếu r   i m hoặc 1 1 ii r j j       ii a a ) 1 j 1 2 j 2 … arjr  0Các thành phần a 1 j 1, a 2 j 2, … arjr gọi là các thành phần được lưu lại của A. Nếu ngoài i ) và ii )còn có thêm :iii a ) 1 j 1     a 2 j 2 … arjr 1iv a ) kji     0,1 k i rthì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn .

Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:

1 2 3 1 2 3 4 0 5 6 ; 0 1 4 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1A B                       

2. Ma trận khác không B M  m n ( ), (, R m n 2)được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc

thang cột rút gọn ) nếu chuyển vị Bt của B là một ma trận bậc thang dòng ( bậc thang dòngrút gọn ) .

1.1 Hạng của ma trận

Cho A M  m n  ( ) R và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số ít hữu hạncác phép biến hóa sơ cấp. Khi đó số dòng ( số cột ) khác không của B được gọi là hạng củaA, kí hiệu là rank ( A ) hoặc r ( A ) .

Ví dụ .Tìm hạng của ma trận

1 2 3 4 5 6 3 3 9A           .Dùng phép đổi khác sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang :2 2 1 3 3 2 3 3 14 3 ‘ 31 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 0 3 6 0 3 6 3 3 9 0 9 18 0 0 0d d d d d d A d d d A                                                    Ma trận bậc thang A ’ có hai dòng khác 0 nên rank A ( )  2

Nhận xét.

Ma trận bậc thang có các đặc thù sau :

1. Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của

dòng dưới .

2. Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.

Ta hoàn toàn có thể dùng phép biến hóa sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kể về dạng bậc thang .

Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn

1 2 3 4 2 4 1 10 3 6 1 15A            Dùng phép đổi khác dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau :

Cho A  a ij n  M Rn ( ). Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:

11 12 1 21 22 2 1 1 2… det … …n n n j pj pj n n nna a a A a a a a A a a a

     (khai triển theo dòng p) hoặc

1detn

A  i  a Aiq iq (khai triển theo cột q).

Ví dụ. Cho

1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1A            . Tính det A .Ta khai triển theo dòng 1 ta có :11 1 12 1 2 ( 1 ) 1 2 1 3 2 2 1A      ; 12 1 21 1 2 ( 1 ) 2 2 1 0 2 2 1A     ;13 1 31 2 2 ( 1 ) 2 1 1 3 2 2 1A     ; 14 1 41 2 1 ( 1 ) 2 1 2 0 2 2 2A    Do đó4

det A  j  1 a A 1 j 1 j      1.( 3) 1 2 2 3

1.2 Các tính chất của định thức

Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các đặc thù sau :

1. Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi, tức là

det A  det At

2. Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:

A      di  dj A ‘ det ( ) A   det ( ‘ ) A

3. Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số c  0

thì định thức không đổiA      di   dicdj A ‘ khi đó det ( ‘ ) A  det ( ) A .

4. Ta có thể đưa thừa số chung c  0 ra ngoài định thức, tức là:

A     di  cdi A ‘ khi đó det ( ‘ ) A  c det ( ) A .

5. Cho A M R  n ( ), nếu mỗi phần tử trên dòng (cột) của A là tổng của hai phần tử thì định

thức của A tách ra được thành tổng của hai định thức .

Ví dụ. a a  c ‘ b b  d ‘  a bc d  ac ‘ bd ‘ hoặc a ac c  ” bd  ac bd  ac ” db

6. Cho A B,  M Rn ( ) khi đó det AB det det A B.

Nhận xét.

1. Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định

thức cấp n .

Ví dụ. Cho

1 2 5 1 1 2 1 2 1A           . Khi đó :1 2 5 23231112513 det ( ) 1 1 2 0 1 3 1 4 6 6 1 2 1 0 4 6hh hh hh A                 

2) Cho A  a ij m n . Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0.

3) Cho A  a ij n là ma trận vuông cấp n. Khi đó rank A ( )  n det A  0

Ví dụ. Cho ma trận

1 2 3 4 5 6 3 3A m           

. Tìm hạng của ma trận A theo m.

Ta có det A   m 9. Nếu m  9 thì rank A ( )  2 ; nếu m  9 thì rank A ( ) 3  .

1 Ma trận nghịch đảo

1.3 Định nghĩa

Cho ma trận A  M Rn ( ). Ta nói ma trận A khả nghịch nếu   B M Rn ( ) thỏa mãn nhu cầu :BA   AB InTa nói B ( sống sót duy nhất ) là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu B  A  1

1.3 Định lí

Cho A M R  n ( ). Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A  0

1.3 Tính chất

Nếu A B,  M Rn ( ) là hai ma trận khả nghịch thì :dd 11     dd 1132 dd 23

  3 1 

1 0 0 6 3 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1I A               .Vậy 16 3 2 1 1 0 1 0 1A               

1.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức

Ta gọi ma trận phụ hợp PA của ma trận A là ma trận được xác lập như sau :

 PA ij   Aji ; i j, 1, n

Để tìm A  1 ta triển khai hai bướcBước 1. Tính D  det ANếu det A  0 thì A không khả nghịchNếu det A  0 thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2 .Bước 2. Lập ma trận phụ hợp PA. Khi đó : A 11 PA D  .

Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm A  1 của

1 3 2 1 4 2 1 3 3A          Ta có : D  det A  11 32 111 1 1 12 1 2 1321 22 2 2 23 2 331 3 1 32 3 2 33 3 34 2 1 2 1 4 ( 1 ) 3 3 6 ; ( 1 ) 1 3 1 ; ( 1 ) 1 3 1 ;( 1 ) 3 2 3 ; ( 1 ) 1 2 1 ; ( 1 ) 1 3 0 ; 3 3 1 3 1 3( 1 ) 3 2 2 ; ( 1 ) 1 2 0 ; ( 1 ) 1 3 1 4 2 1 2 1 4A A AA A AA A A                                Khi đó : 16 3 2 1110 1 0 1A  DPA               .Trong chương này tất cả chúng ta đã làm quen một đối tượng người tiêu dùng mới là ma trận, và các yếu tốxoay quanh ma trận. Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình ,và để giải hệ phương trình đó đã phát sinh ra khái niệm mới là ma trận. Để thấy rõ điều đóta sẽ điều tra và nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính .

BÀI TẬP CHƯƠNG I

1 Thực hiện các phép toán trên ma trận

 

   

4 1 1 3 2 221 ) 1 2 3 4 ) 4 2 3 0510 2 0 1 5 1 2 4 2 1 2 0 ) 3 1 3 2 3 1 ) 3 4 1 4 1 2 4 3a bc d                                                                     e ) Cho2 2 1 2 1 1 1 2, 4 2 3, 7 2 5 1 3 2 0 1 1 6A B C                                .Tính 3A + 2B, AB, AB-BA, BC, ABC, BA-3C+IT 3f ) Cho ( ) 2 2 3 1, ( ) 223, 1 2 2 5f x x x g x x x A x            . Tính f A g A ( ), ( ) .g ) Cho 1, 2 1, 1. 0 1 1 3 0A a B C a a                     Tính A Bn, 10, C 2011

1 Cho

1 0 3 2 2 1 2 1 1, 4 2 3 3 2 2 2 0 1A B                       . Tìm ma trận nghịch đảo A  1, B  1 ( nếu có )bằng 2 giải pháp đã học .

1 Tính các định thức sau:

2 3 231 1 0 3 221 ) 1 2 ) 0 2 2 ) 2 1 1, ) 4 2 3 1 3 3 2 2 2 0 11 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ) 2 3 4 1 ) 0 ) 3 4 1 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 4 1 2 3 0 1 1 1 1 0a b c d B ma b c e f a c b g b b a c c a   

1 Giải các phương trình sau:

1 2mb B b b             : cột thông số tự do ,1 2nx X x x             : cột ẩn số .

 

11 12 1 1 21 22 2 21 2… ……n nm m mn ma a a b A B a a a ba a a b                 gọi là ma trận bổ trợ ( lan rộng ra ) của hệ ( 3 ) .Với cách đặt như trên hệ ( 3 ) được viết lại : AX  BKhi B = 0 hệ ( 3 ) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ngược lại ta gọi là hệkhông thuần nhất .

2.1 Nghiệm của hệ phương trình

Nghiệm của hệ ( 3 ) là bộ số1 2nc c C c            sao cho AC  B. Quá trình đi tìm tậpnghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính .Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn ( số phương trình hoàn toàn có thể khác nhau ) gọi làtương tự nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm .

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3 1 2 3 1 2 33 2 1 4 2 2 3 3 3x x x x x x x x x             ( 1 )Ma trận thông số của hệ phương trình tuyến tính là :1 3 2 1 4 2 1 3 3A          Ma trận nghịch đảo của A ( đã có được từ ví dụ trước ) là16 3 2 1 1 0 1 0 1A               Hệ 16 3 2 1 6 ( 1 ) 1 1 0 2 1 1 0 1 3 2AX B X A B                                         Vậy hệ phương trình có nghiệm là :1 2 36 1 2x x x        .

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3 1 2 3 1 2 31 3 4 3 3 2 2 3x x x x x x x x x m             

Hệ phương trình tương đương A Xt    C X  At  1 C

  1

6 1 1 1 3 3 1 0 3 0 2 0 1 2tm X A C m m                                        

2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

2.2 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính ( 3 ) được gọi là hệ Cramer nếu m  n và det A  011 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 21 1 2 2… … … …n n n nn n nn n na x a x a x b a x a x a x ba x a x a x b                  ( 3 )Đặt D  det ( ) A và Dj ( j  1, ) n là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tựdo. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác lập theo công thức 😡 1 D 1, x 2 D 2, …, xn Dn D D D   .

Ví dụ. Giải hệ phương trình :

1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 6 0 3 4 2 0x x x x x x x x x             .Ta có :1 1 1 2 6 1 3 4 2A            , D  det ( ) 11 0 A   ,1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40 2 5 1 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15 1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11                                                 Hệ có nghiệm duy nhất là : x 1   40, x 2  15, x 3  11

Ví dụ. Giải hệ phương trình :

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 42 3 1 3 5 3 1 4 3 8 4 0x x x x x x x x x x x x                .Ta có

 

1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 3 1 5 3 1 0 7 4 0 4 4 3 8 4 0 0 0 0 0 2A B                               .Suy ra : r A B ( ) 3 . Mà r A ( )   2 r A B ( ). Vậy hệ vô nghiệm .

Ví dụ. Giải hệ phương trình :

1 2 3 1 2 31 2 3 2x x x x x x        .

Ta có :  

1 1 1 1 1 1 1 1 A B 2 1 3 2 0 1 5 0                1 0 4 1 0 1 5 0       .Suy ra : r A ( )  r A B ( )    2 n 3, vậy hệ có vô số nghiệm .Ta viết hệ thành1 3 1 3 2 3 2 34 1 1 4 5 0 5x x x x x x x x             .Vậy tập nghiệm của hệ có dạng1 2 31 4 5 ( )x t x t t R x t         .Như vậy việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng chiêu thức Crammer yên cầu hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma trận thông số phải là ma trận khả nghịch trong khi đó chiêu thức Gauss lại được cho phép ta giải một hệ bất kể. Thực chất chiêu thức Gauss là giải pháp cộng mà trước đây ta đã học nhưng trong quy trình giải chỉ có thông số biến hóa chứ các ẩn số vẫn giữ nguyên nên ta chăm sóc đến những thông số và được viết thành ma trận .

BÀI TẬP CHƯƠNG II

2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 32 3 2 2 1 ) 1 ) 3 2 6 5 2 7 3 2 3 2 1 2214322 ) 3 2 1 ) 16 9 3 3 2504774x x x x x x a x x x b x x x x x x x x x y z t x y z t x y z t c x y z t c x y z t x y z t x y t z                                                                        

2 Cho ma trận

1 0 1 1 1 1 1 2 2A            . Tìm A  1, rồi giải các hệ phương trình sau :1 1 1 ) 2 ) 2 1 ) 2 2 2 5 2 2 2 2 5x z x y z x z a x y z b y z m c x y z x y z x y z x y z                                            

2 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau:

3 1 2 3 1 3 3 ) 2 2 ) 1 ) 2 6 2 3 4 3 2 2 2 2 2 1x y z x y z x y z a x y mz b x y z m c x y z m x my z x y z x y z m                                              

2 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g

Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1 g thức ăn A và B như sau :

Chất dinh dưỡng Thức ăn
A B
Protit (g) 0,1 0,

Lipit ( g ) 0,2 0, Gluxit ( g ) 0,6 0 ,Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biết các ẩn số trong phương trìnhma trận trên cho biết điều gì ?

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập