Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng – Tự Học 365

Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng

Dưới đây là một số bài tập góc giữa hai mặt phẳng có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có : USD { { S } _ { ABC } } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } { 4 } USD. Gọi $ \ varphi = \ widehat { \ left ( \ left ( MBC \ right ) ; \ left ( ABC \ right ) \ right ) } $
Do $\Delta ABC$ là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt phẳng (ABC) do đó $\cos \varphi =\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{MBC}}}=\frac{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi =60{}^\circ .$

Lời giải chi tiết

Đặt $ \ varphi = \ widehat { \ left ( \ left ( NCD \ right ) ; \ left ( ABCD \ right ) \ right ) }. $
Do USD CD / / AB \ Rightarrow \ left ( NCD \ right ) USD cắt ( SAB ) theo thiết diện USD NM / / AB \ Rightarrow $ MN là đường trung bình của tam giác SAB .
Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC .
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( ABCD ) thì
H là trung điểm của AB và $ { { S } _ { ABCD } } = \ frac { a + 2 a } { 2 }. 2 a = 3 { { a } ^ { 2 } }. $
Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên
mặt phẳng ( ABCD ) $ \ Rightarrow \ cos \ varphi = \ frac { { { S } _ { AHCD } } } { { { S } _ { NMCD } } } = \ frac { 3 { { a } ^ { 2 } } } { 2 { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } = \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 }. $
Do đó $ \ varphi = 30 { } ^ \ circ. $

Lời giải chi tiết

Ta có : USD BC = { B } ‘ { C } ‘ = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + A { { C } ^ { 2 } } – 2AB. AC \ cos \ widehat { BAC } } = a \ sqrt { 3 }. $
Mặt khác $ \ left \ { \ begin { array } { } A { B } ‘ = \ sqrt { A { { B } ^ { 2 } } + B { { { { B } ‘ } } ^ { 2 } } } = a \ sqrt { 2 } \ \ { } AI = \ sqrt { A { { C } ^ { 2 } } + C { { I } ^ { 2 } } } = \ frac { a \ sqrt { 5 } } { 2 } \ \ { } { B } ‘ I = \ sqrt { { B } ‘ { { { { C } ‘ } } ^ { 2 } } + { C } ‘ { { I } ^ { 2 } } } = \ frac { a \ sqrt { 13 } } { 2 } \ \ \ end { array } \ right .. $
Do $ A { { { B } ‘ } ^ { 2 } } + A { { I } ^ { 2 } } = { B } ‘ I = \ frac { 13 { { a } ^ { 2 } } } { 4 } \ Rightarrow \ Delta { B } ‘ AI $ vuông tại A .
Ta có : USD { { S } _ { A { B } ‘ I } } = \ frac { 1 } { 2 } A { B } ‘. AI = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 10 } } { 4 }. $
USD { { S } _ { ABC } } = \ frac { 1 } { 2 } AB.ACsin \ widehat { BAC } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } \ sqrt { 3 } } { 4 } \ Rightarrow \ cos \ widehat { \ left ( \ left ( A { B } ‘ I \ right ) ; \ left ( ABC \ right ) \ right ) } = \ frac { { { S } _ { ABC } } } { { { S } _ { A { B } ‘ I } } } = \ frac { \ sqrt { 30 } } { 10 }. $

Lời giải chi tiết

Gọi $ \ varphi = \ widehat { \ left ( \ left ( { B } ‘ MN \ right ) ; \ left ( ABCD \ right ) \ right ) }. $
Ta có : USD { { S } _ { BCD } } = \ frac { { { a } ^ { 2 } } } { 2 } ; { D } ‘ N = 2 a ; { C } ‘ M = 4 a USD
Lại có : USD { B } ‘ { D } ‘ = a \ sqrt { 2 } \ Rightarrow { B } ‘ N = \ sqrt { { B } ‘ { { { { D } ‘ } } ^ { 2 } } + { D } ‘ { { N } ^ { 2 } } } = a \ sqrt { 6 } $
USD { B } ‘ M = \ sqrt { { B } ‘ { { { { C } ‘ } } ^ { 2 } } + { C } ‘ { { M } ^ { 2 } } } = a \ sqrt { 17 }, USD
$MN=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}.$

Theo công thức Herong $ S = \ sqrt { p \ left ( p-a \ right ) \ left ( p-b \ right ) \ left ( p-c \ right ) } $
Ta tính được : USD { { S } _ { BMN } } = \ frac { \ sqrt { 21 } } { 2 }. $
Do $ \ Delta BCD $ là hình chiếu của USD \ Delta { B } ‘ MN $ trên mặt phẳng ( ABCD ) nên $ \ cos \ varphi = \ frac { { { S } _ { BCD } } } { { { S } _ { { B } ‘ MN } } } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 21 } }. $

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập