Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án

Phần Phương trình mũ Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình mũ hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Cách giải phương trình mũ – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bạn đang đọc: Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án – Toán lớp 12

Bài tập trắc nghiệm

Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình mũ cơ bản.
Phương trình mũ cơ bản có dạng : ax = m ( 1 ) .
Nếu m > 0 thì phương trình ( 1 ) có nghiệm duy nhất x = logam .
Nếu m ≤ 0 thì phương trình ( 1 ) vô nghiệm .
2. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Với a > 0 và a ≠ 1 ta có af ( x ) = ag ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .
3. Phương pháp lôgarit hoá.
af ( x ) = b ⇔ f ( x ) = logab
af ( x ) = bg ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) logab
logaf ( x ) = b ⇔ f ( x ) = ab

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 3: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình khởi đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ .
Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau :
Dạng 1: Phương trình αk + αk-1 a(k-1)x + … + α1 ax + α0 = 0
Khi đó ta đặt t = ax điều kiện kèm theo t > 0, ta được αk tk + αk-1 tk-1 + … + α1 t + α0 = 0
Mở rộng: Nếu đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > 0.

Dạng 2: Phương trình α1 ax + α2 ax + α3 = 0 với a.b = 1

Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = af(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra

Dạng 3: Phương trình α1 a2x + α2 (a.b)x + α3 b2x = 0 khi đó chia hai vế của phương trình cho b2x > 0 (hoặc a2x, (a.b)x), điều kiện t < 0, ta được
, điều kiện t < 0, ta được α1 t2 + α2 t+α3 = 0 Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a2f, b2f, (a.b)2f, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Chia 2 vế của phương trình cho b2f > 0 ( hoặc a2f, ( a. b ) f )
+ Đặt điều kiện hẹp t > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 9x-5.3x+6=0

Hướng dẫn:
Đặt t = 3 x ( t > 0 ), khi đó phương trình đã cho tương tự với

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)x-3(2-√3)x+2=0

Hướng dẫn:
Nhận xét rằng 7 + 4 √ 3 = ( 2 + √ 3 ) 2 ; ( 2 + √ 3 ) ( 2 – √ 3 ) = 1
Do đó nếu đặt t = ( 2 + √ 3 ) x điều kiện kèm theo t > 0 thì ( 2 – √ 3 ) x = 1 / t và ( 7 + 4 √ 3 ) x = t2
Khi đó phương trình đã cho tương tự với

Vậy phương trình có nghiệm x = 0Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)x+(√2+1)x-2√2=0

Hướng dẫn:
Đặt t = ( √ 2 + 1 ) x ta có phương trình đã cho tương tự :

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

Xem thêm: Hướng dẫn cách giải Rubik 2×2 cho người mới

• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
• Bước 3. Nhận xét :
+ Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k do đó x = x0 là nghiệm .
+ Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm .
+ Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm . • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình . Hướng 2:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( x ) = g ( x ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ). Khẳng định hàm số y = f ( x ) là hàm số đồng biến còn y = g ( x ) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng .
• Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 .
• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Hướng 3:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( u ) = f ( v ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ). Khẳng định hàm số đơn điệu .
• Bước 3. Khi đó f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn:
Ta có : ( * ) ⇔ 2.3 log2x = 3 – x ( 1 ) .
Nhận xét :
+ Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến .
+ Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến .
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất .
Mặt khác : x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .
Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇒ x2 – 3 x + 2 = u2 ⇒ 3 x – x2 – 1 = 1 – u2 .
Khi đó phương trình ( * ) có dạng

Xét hàm số :

+ Miền xác lập : D = [ 0 ; + ∞ ) .
+ Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Mặt khác f ( 1 ) = log3 ( 1 + 2 ) + ( 1/5 ). 5 = 2 .
Do đó, phương trình ( 1 ) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2×2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x – x2 + 5x (*).

Hướng dẫn:
Ta có : ( * ) ⇔ 2×2 – x + 36-4 x + x2 + 6 = 24 x – 6 + 3 x – x2 + 5 x .
⇔ 2×2 – x + x2 – x – 3 x – x2 = 24 x – 6 + 4 x – 6 – 36-4 x .

ta được 2 u + u – 3 – u = 2 v + v – 3 – v .
Xét hàm số :

⇒ f ‘ ( t ) là hàm số đồng biến trên R, mà f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .
Ta có phương trình :

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; 6 } .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác: