5/5 – ( 7 votes )
Ở bài học trước, chúng ta đã được học về hàm lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản, biết được trong toán học có những lượng giác nào. Sang đến bài học này, chúng ta sẽ đi vào tìm hiểu kỹ hơn Một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải của chúng để sau khi qua một số bước biến đổi đơn giản các em vẫn có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Hãy cùng Toppy khám phá bài học ngay nhé!
Mục tiêu bài học
Qua bài giảng này, các em cần nắm được các kỹ năng và kiến thức sau :
- Củng cố các phương trình lượng giác cơ bản và các công thức cộng
- Nắm được khái niệm và giải pháp giải các phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm số lượng giác
- Biết giải phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giác
- Biết biến hóa 1 số ít phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giác nhờ các công thức lượng giác
- Vận dụng thành thạo các công thức lượng giác vào việc giải các phương trình lượng giác
- Giải thành thạo các phương trình lượng giác thưòng gặp như phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác và các, phương trình bậc nhất so với sinx và cosx
- Biết vận dụng các công thức lượng giác để đưa các pt các dạng trên
Lý thuyết cần nắm Phương trình lượng giác
Tổng hợp lý thuyết cơ bản nhất, được trình diễn một cách cụ thể, giúp các em nắm được kiến thức và kỹ năng một cách hiệu suất cao !
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at+b=0
Với a, b là các hằng số a ≠ 0 và t là một hàm số lượng giác nào đó .
2. Cách giải
at + b = 0 ⇔ t = − ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản .
Ví dụ
3 – √ cotx − 3 = 0 ⟺ cotx = 3 – √ = cotπ6
⇔ x = π6 + kπ, k ∈ Z
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. 5 cosx − 2 sin2x = 0 ;
b. 8 sinxcosxcos2x = − 1 .
Giải
a. Ta có 5 cosx − 2 sin2x = 0 ⇔ 5 cosx − 4 sinxcosx = 0
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at ^ 2 + bt + c = 0
Trong đó a, b, c là các hằng số ( a ≠ 0 ) và t là một trong các hàm số lượng giác .
2. Cách giải
Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện kèm theo cho các ẩn phụ ( nếu có ) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản .
Ta có bảng sau :
3. Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải hoàn toàn có thể đưa về phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác .
Ví dụ:
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx
2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c
- Xét phương trình
asi
nx
+
bco
sx
=c
, với
a,b,
c∈R
;a,b
không đồng thời bằng
0
(
a ^2
+
b ^2
≠0
)
.
- Nếu
a=0
,
b≠0
hoặc
a≠0
,
b=0
, phương trình
asi
nx
+
bco
sx
=c
có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu
a≠0
,
b≠0
, ta áp dụng công thức (I).
Ví dụ: Giải phương trình
sinx + √ 3 cosx = 1 .
Giải
Theo công thức ( I ) ta có
Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác
Bài 1: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0
Lời giải:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z).
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a ) 2 cos2x – 3 cos x + 1 = 0
b ) 2 sin 2 x + √ 2. sin4x = 0 .
Lời giải:
a. 2 cos2x – 3 cosx + 1 = 0 ( 1 )
đặt t = cosx, điều kiện kèm theo – 1 ≤ t ≤ 1
( 1 ) trở thành 2 t2 – 3 t + 1 = 0
(thỏa mãn điều kiện).
+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k. 2 π ( k ∈ Z )
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z).
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
(Phương trình bậc hai với ẩn 
).
Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π ( k ∈ Z )
b. 8 cos2x + 2 sinx – 7 = 0 ( 1 )
⇔ 8 ( 1 – sin2x ) + 2 sinx – 7 = 0
⇔ 8 sin2x – 2 sinx – 1 = 0 ( Phương trình bậc hai với ẩn sin x )
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ k2π; 
+ k2π; arcsin
+ k2π; π – arcsin
+ k2π (k ∈ Z).
c. Điều kiện: 
2 tan2x + 3 tanx + 1 = 0 ( Phương trình bậc 2 với ẩn tan x ) .
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ kπ; arctan
+ kπ} (k ∈ Z)
d. Điều kiện 
tanx – 2.cotx + 1 = 0
(Thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có tập nghiệm {
+ kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)
Bài 4 : Giải các phương trình sau:
a. 2 sin2 x + sinx.cosx – 3 cos2 x = 0
b. 3 sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x = 2
c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2
d. 2 cos2x – 3 √ 3 sin2x – 4 sin2x = – 4
Lời giải:
a ) 2 sin2x + sinx.cosx – 3 cos2x = 0 ( 1 )
+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1
Phương trình ( 1 ) trở thành : 2 = 0 ( loại )
+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của ( 1 ) cho cos2x ta được :
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
b ) 3 sin2x – 4sinx.cosx + 5 cos2x = 2
⇔ 3 sin2x – 4sinx.cosx + 5 cos2x = 2 ( sin2x + cos2x )
⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 ( 1 )
+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 .
Phương trình ( 1 ) trở thành 1 = 0 ( Vô lý ) .
+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1
( 1 ) trở thành 1 = 0 ( Vô lý ) .
+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được :
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Bài 5: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Ta có: 
nên tồn tại α thỏa mãn 
( 1 ) trở thành : cos α. sin3x – sin α. cos 3 x = 1
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z)
với α thỏa mãn 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
(k ∈ Z)
Vì 
nên tồn tại α thỏa mãn 
( * ) ⇔ cos α. cos 2 x + sin α. sin 2 x = 1
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z)
với α thỏa mãn 
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. tan ( 2 x + 1 ). tan ( 3 x – 1 ) = 1
b. tanx + tan ( x + π / 4 ) = 1
Lời giải:
a. Điều kiện: 
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z).
b. Điều kiện :
⇔ tan x. ( 1 – tanx ) + tanx + 1 = 1 – tan x .
⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0
⇔ tan2x – 3 tanx = 0
⇔ tanx ( tanx – 3 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : { arctan 3 + kπ ; k ∈ Z }
Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác
Bài tập tự luyện do iToan biên soạn sẽ giúp các em rèn luyện cách tâm lý, giải nhanh và tư duy logic !
Phần câu hỏi
Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:
A. x = − π / 2 + k2π .
B. x = − π / 4 + kπ .
C. x = − π / 4 + k2π .
D. x = − π / 2 + kπ
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Phần đáp án
1. B 2. B 3. B 4. B
Lời kết
Để làm tốt các bài toán về phương trình lượng giác, các em cần hiểu và nhớ rõ tập xác định, tập nghiệm của các phương trình cơ bản. Các em có thể làm thêm nhiều bài tập tự luyên từ tự luận đến nâng cao tại Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, phân phối thưởng thức học tập cá thể cho hàng trăm nghìn học viên, sinh viên và nhà trường để giải đáp những nhu yếu trong việc học tập trải qua mạng lưới các chuyên viên và giáo viên khắp toàn thế giới mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kỹ năng và kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tân tiến hơn từng ngày .
Việc học không khó, hãy để Toppy lo !
Xem thêm:
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours