Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án

Phần Nguyên hàm Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Nguyên hàm hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Bạn đang đọc : Các dạng bài tập Nguyên hàm tinh lọc, có đáp án

Bài tập trắc nghiệm

Cách tìm nguyên hàm của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1. Nguyên hàm

Bạn đang đọc: Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án – https://vietsofa.vn

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Định lí:

1 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .
2 ) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C, với C là một hằng số .
Do đó F ( x ) + C, C ∈ R là họ toàn bộ những nguyên hàm của f ( x ) trên K. Ký hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: (∫f(x)dx)’ = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C

Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp (u = u(x)

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi những hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của những biểu thức chứa x .
+ Đưa những mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm .
+ Áp dụng những công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn:

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn:

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

STT
Dạng tích phân
Cách đặt
Đặc điểm nhận dạng

t = f(x)
Biểu thức dưới mẫu

t = t(x)
Biểu thức ở phần số mũ

t = t(x)
Biểu thức trong dấu ngoặc

4

Căn thức
5

t = lnx
dx/x đi kèm biểu thức theo lnx

t = sinx
cosx dx đi kèm biểu thức theo sinx

t = cosx
sinx dx đi kèm biểu thức theo cosx

t = tanx
đi kèm biểu thức theo tanx

Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số

t = cotx
đi kèm biểu thức theo cotx

t = eax
eax dx đi kèm biểu thức theo eax
Đôi khi thay cách đặt t = t ( x ) bởi t = m. t ( x ) + n ta sẽ biến hóa thuận tiện hơn .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:
Xem thêm : Những bài thơ hay về mưa cho bé được thương mến nhất

Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

Hướng dẫn:

Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của những hàm số dạng tích ( hoặc thương ) của hai hàm số “ khác lớp hàm ” ta thường sử dụng giải pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số ít trường hợp thường gặp như vậy ( với P ( x ) là một đa thức theo ẩn x )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫ex sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
F ( x ) = ∫ xsinxdx = – xcosx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C

b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx

F ( x ) = ex sinx – ∫ ex cosx dx = ex sinx-G ( x ) ( 1 )
Với G ( x ) = ∫ ex cosx dx

G ( x ) = ex cosx + ∫ ex sinx dx + C ‘ = ex cosx + F ( x ) + C ‘ ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có F ( x ) = ex sinx-ex cosx – F ( x ) – C ‘

Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2x dx

Suy ra ∫ f ( x ) dx = ( x2-1 ) ex – ∫ 2x.ex dx

Suy ra ∫ f ( x ) dx = ( x2-1 ) ex – ∫ 2x.ex dx = ( x2-1 ) ex – ( 2x.ex – ∫ 2.ex dx )
= ( x2-1 ) ex – 2x.ex + 2.ex + C = ( x-1 ) 2 ex + C .