Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình a. sinx + b = 0 hoặc a.cosx + b = 0 ( với a ≠ 0 ) có nghiệm nếu :- 1 ≤ sinx ( hoặc cosx ) ≤ 1 .+ Xét phương trình a. sin2 x + bsinx + c = 0 hoặc a. cos2 x + b. cosx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) :Đặt sinx = t ( hoặc cosx = t ) phương trình đã cho trở thành :at2 + bt + c = 0 ( * )để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình ( * ) có nghiệm t0 và – 1 ≤ t0 ≤ 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. – 2 ≤ m ≤ 2B. – 1 ≤ m ≤ 1C. – 4 ≤ m ≤ 4D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : 2 sinx + cos900 = m⇒ 2 sinx + 0 = m⇒ sinx = m / 2 ( * )Với mọi x ta luôn có : – 1 ≤ sinx ≤ 1⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi :- 1 ≤ m / 2 ≤ 1 ⇒ – 2 ≤ m ≤ 2Chọn A .

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
có nghiệm

A. 2B. 4C. 3D. 1Lời giải

Ta có:

⇒ sinx – 2 sinx = m⇒ – sinx = m ⇒ sinx = – mVới mọi x ta luôn có : – 1 ≤ sinx ≤ 1⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi :- 1 ≤ – m ≤ 1 ⇒ – 1 ≤ m ≤ 1⇒ m ∈ { – 1 ; 0 ; 1 }Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m
có nghiệm?

A. 0 ≤ m ≤ 1B.m > 1C. 0 < m < 1D.m ≤ 0

Lời giải

Ta có : sin2 x – 2 ( m – 1 ) sinx. cosx – ( m – 1 ) cos2 x = m

Ta có:

⇒ 1 – cos2x – 2 ( m – 1 ). sin2x – ( m – 1 ). ( 1 + cos2x ) = 2 m⇒ 1 – cos2x – 2 ( m-1 ) sin2x – m + 1 – ( m-1 ). cos2x – 2 m = 0⇒ – 2 ( m – 1 ) sin2x – mcos2x = 3 m – 2Phương trình có nghiệm

Ta có:

Chọn A .

Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Đặt t = sinx .Điều kiện .Phương trình trở thành : t2 + 2 ( m + 1 ). t – 3 m ( m – 2 ) = 0 ( 1 ) .Đặt f ( t ) = t2 + 2 ( m + 1 ) t – 3 m ( m – 2 ) .Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [ – 1 ; 1 ] khi phương trình ( 1 ) có một nghiệm thuộc [ – 1 ; 1 ] hoặc có hai nghiệm thuộc [ – 1 ; 1 ]

Chọn B .

Ví dụ 5: Để phương trình có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Phương trình ( 1 ) trở thành 3 t2 + 4 at – 4 = 0 ( 2 ) .Để phương trình ( 1 ) có nghiệm thì phương trình ( 2 ) phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình (2), ta có:

nên ( 2 ) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu .

Chọn D .

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1B. 1/2 ≤ m ≤ 1C. 1/2 ≤ m ≤ 2D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : cos6 x + sin6 x = m⇒ ( cos2 x + sin2 x ). ( cos4 x – cos2x. sin2 x + sin4 x ) = m⇒ 1. [ ( cos2x + sin2 x ) 2 – 3. cos2 x. sin2 x = m

Với mõi ta a luôn có : – 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2 x ≤ 1Do đó ; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( * ) có nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x ) -8(sin6 x + cos6 x) -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A. .

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có :

+ Ta tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm .( 1 ) có nghiệm thì ( 2 ) phải có nghiệm thỏa t0 thuộc [ – 1 ; 1 ] .

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình cos(x-300) + sin( x+ 600)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 0 ≤ m ≤ 1B. – 1 ≤ m ≤ 2C. – 1 ≤ m ≤ 1D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : cos ( x – 300 ) – sin ( x + 600 ) + sinx = m⇒ cosx. cos300 + sinx. sin300 – sinx. cos600 – cosx. sin600 + sinx = m

⇒ sinx = m ( * )Với mọi x ta luôn có : – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( * ) có nghiệm⇒ – 1 ≤ m ≤ 1Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. – 1 ≤ m ≤ 2C. – 2 ≤ m ≤ 1D. – 1 ≤ m ≤ 1
Hiển thị lời giải
Ta có : cosx.sinx – 2 m – 2 sinx + m. cosx = 0⇒ ( cosx. sinx – 2 sinx ) + ( m. cosx – 2 m ) = 0⇒ sinx ( cosx – 2 ) + m ( cosx – 2 ) = 0⇒ ( sinx + m ). ( cosx – 2 ) = 0

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx = – m có nghiệm⇒ – 1 ≤ m ≤ 1Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. – 7 ≤ m ≤ 1B. – 5 ≤ m ≤ 2C. – 6 ≤ m ≤ 2D. – 4 ≤ m ≤ 2
Hiển thị lời giải
Ta có : cos2x + 4 cosx + m = 0⇒ 2 cos2 x – 1 + 4 cosx + m = 0⇒ 2 cos2 x + 4 cosx + 2 + m-3 = 0⇒ 2 ( cosx + 1 ) 2 + m – 1 = 0⇒ 2 ( cosx + 1 ) 2 = 1 – m⇒ ( cosx + 1 ) 2 = ( 1 – m ) / 2 ( * )Với mọi x ta luôn có : – 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx + 1 ≤ 2⇒ 0 ≤ ( cosx + 1 ) 2 ≤ 4Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( * ) có nghiệm⇒ 0 ≤ ( 1 – m ) / 2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1 – m ≤ 8⇒ – 7 ≤ m ≤ 1Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. – 3 ≤ m ≤ 1B. – 2 ≤ m ≤ 2C. – 3 ≤ m ≤ 1D. – 4 ≤ m ≤ 2
Hiển thị lời giải
Ta có : cos ( x + y ) – cos ( x – y ) = m⇔ cosx. cosy – sinx. siny – ( cosx. cosy + sinx. sin y ) = m⇔ – 2 sinx. sin y = m ( * )Với mọi x ; y ta có ; – 1 ≤ sin ⁡ 〖 x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1⇒ – 1 ≤ sin ⁡ 〖 x.siny ≤ 1 ⇔ – 2 ≤ – 2.sinx.siny ≤ 2Do đó ; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( * ) có nghiệm⇔ – 2 ≤ m ≤ 2Chọn B .

Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2B. – 1C. 0D. 1
Hiển thị lời giải
Ta có : sin6 x – cos6 x + cos2x = m⇒ ( sin2 x – cossin2 x ). ( sinsin4 x + sin2 x. cos2 x + cossin4x ) + cos2x = m⇒ – cos2x. [ ( sinsin2 x + cossin2 x ) sin2 – sinsin2 x. cossin2 x ] + cos2x = m

Chon C.

Câu 5:Cho phương trình:
, trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Điều kiện : cos2x # 0Ta có : sin6 x + cos6 x = ( sin2 x + cos2x ). ( sin4 x – sin2x. cos2x + cos4 x )= 1. [ ( sin2 x + cos2 x ) 2 – 3 sin2 x. cos2 x ] = 1 – 3/4 sin2 2 xKhi đó phưởng trình đã cho trở thành :

Chọn C

Câu 6:Cho phương trình cos( 900- x)+ sin( 1800- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3B. 4C. 2D. 5
Hiển thị lời giải
Ta có : cos ( 900 – x ) + sin ( 1800 – x ) + sinx = 3 m⇒ sinx + sin x + sinx = 3 m⇒ 3 sinx = 3 m ⇒ sin x = m ( * )Với mọi x ta luôn có : – 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử ( * ) suy ra phương trình đã cho có nghiệm⇒ – 1 ≤ m ≤ 1⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1 ; 0 ; 1 để phương trình đã cho có nghiệm .Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2B. m < 1C. 1 < m < 10D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m Hiển thị lời giải
Ta có ; sin2 x + ( m-1 ) sinx – m = 0⇒ sin2 x – sinx + m.sinx – m = 0⇒ sinx ( sinx – 1 ) + m. ( sinx – 1 ) = 0⇒ ( sinx – 1 ). ( sinx + m ) = 0

Vì phương trình sinx = 1 có nghiệm là x = π / 2 + k2π⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x = π / 2 + k2π làm nghiệm⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệmChọn D.

Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. – 3 √ 2 ≤ m ≤ 3 √ 2B. 3 – √ 2 ≤ m ≤ √ 2 + 3C. 2 – √ 2 ≤ m ≤ √ 2 + 2D. – 2 √ 2 ≤ m ≤ 2 √ 2
Hiển thị lời giải
Ta có : sin2x + 2 sin2 x + 4 cos2 x = m⇒ sin2x + 2 ( sin2 x + cos2 x ) + 2 cos2 x = m⇒ sin2x + 2.1 + cos2x + 1 = m⇒ sin2x + cos2x + 3 = m⇒ sin2x + cos2x = m – 3⇒ √ 2 sin ⁡ ( 2 x + π / 4 ) = m-3Với mọi x ta luôn có – 1 ≤ sin ⁡ ( 2 x + π / 4 ) ≤ 1⇒ – √ 2 ≤ √ 2 sin ⁡ ( 2 x + π / 4 ) ≤ √ 2⇒ – √ 2 ≤ m-3 ≤ √ 2⇒ 3 – √ 2 ≤ m ≤ √ 2 + 3Chọn B .

Câu 9:Để phương trình có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. – 1 ≤ m < - 1/4B. - 2 ≤ m ≤ - 1C. 0 ≤ m ≤ 2D. ( - 1 ) / 4 ≤ m ≤ 0 Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 10:Để phương trình: có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:

A. – 1 ≤ a ≤ 0 .B. – 2 ≤ a ≤ 2 .C. – 1/2 ≤ m ≤ 1/4 .D. – 2 ≤ m ≤ 0
Hiển thị lời giải

Chọn B .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập