Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh hay được sử dụng chương Nguyên hàm và tích phân phát hành tại Vted.vn

A – TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH TÍCH PHÂN

DẠNG 1: TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN DỰA TRÊN CẬN VÀ PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ

A – Với $y=f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b],$ ta có $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx},$ phép đổi biến $x=a+b-t.$

Do đó $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx}=\dfrac{1}{m+n}\int\limits_{a}^{b}{\left[ mf(x)+nf(a+b-x) \right]dx}.$

B – Với $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=-f(x),$ ta có
USD \ left \ { \ begin { array } { l } \ int \ limits_ { – a } ^ 0 { f ( x ) dx } = – \ int \ limits_0 ^ a { f ( x ) dx } \ \ \ int \ limits_ { – a } ^ a { f ( x ) dx } = 0 \ end { array } \ right .. $
Chứng minh:
Đổi biến USD x = – t \ Rightarrow dx = – dt ; x = – a \ Rightarrow t = a ; x = 0 \ Rightarrow t = 0 $ khi đó
USD \ int \ limits_ { – a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { a } ^ { 0 } { f ( – t ) ( – dt ) } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( – t ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { – f ( t ) dt } = – \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx } \ left ( f ( – x ) = – f ( x ) \ right ). $
và $ \ int \ limits_ { – a } ^ { a } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { – a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } + \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx } = 0. $
C – Với $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=f(x),$ ta có
USD \ left \ { \ begin { array } { l } \ int \ limits_ { – a } ^ 0 { f ( x ) dx } = \ int \ limits_0 ^ a { f ( x ) dx } = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { f ( x ) dx } \ \ \ int \ limits_ { – a } ^ a { \ frac { { f ( x ) } } { { 1 + { b ^ x } } } dx } = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { f ( x ) dx } = \ int \ limits_0 ^ a { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { – a } ^ 0 { f ( x ) dx } \ end { array } \ right .. $
Chứng minh:
Đổi biến USD x = – t \ Rightarrow dx = – dt ; x = – a \ Rightarrow t = a ; x = 0 \ Rightarrow t = 0 $ khi đó
USD \ int \ limits_ { – a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { a } ^ { 0 } { f ( – t ) ( – dt ) } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( – t ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( t ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx } \ left ( f ( – t ) = f ( t ) \ right ) USD
và $ \ int \ limits_ { – a } ^ { a } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { – a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } + \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx } = 2 \ int \ limits_ { – a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } = 2 \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx }. $
Xét \ [ g ( x ) = \ frac { f ( x ) } { 1 + { { b } ^ { x } } } \ ] khi đó theo đặc thù tích phân dựa trên phép đổi biến có :
\ [ \ begin { array } { c } \ int \ limits_ { – a } ^ a { g ( x ) dx } = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { \ left [ { g ( x ) + g ( – x ) } \ right ] dx } = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { \ left ( { \ frac { { f ( x ) } } { { 1 + { b ^ x } } } + \ frac { { f ( – x ) } } { { 1 + { b ^ { – x } } } } } \ right ) dx } \ \ = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { \ left ( { \ frac { { f ( x ) } } { { 1 + { b ^ x } } } + \ frac { { f ( x ) } } { { 1 + { b ^ { – x } } } } } \ right ) dx } = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { \ left ( { \ frac { { f ( x ) } } { { 1 + { b ^ x } } } + \ frac { { { b ^ x } f ( x ) } } { { 1 + { b ^ x } } } } \ right ) dx } \ \ = \ frac { 1 } { 2 } \ int \ limits_ { – a } ^ a { f ( x ) dx } \ left ( { f ( – x ) = f ( x ) } \ right ). \ end { array } \ ]
D – Với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $T,$ liên tục trên $\mathbb{R}$ tức $f(x+T)=f(x),$ ta có
USD \ left \ { \ begin { gathered } \ int \ limits_0 ^ { nT } { f ( x ) dx } = n \ int \ limits_0 ^ T { f ( x ) dx } \ hfill \ \ \ int \ limits_0 ^ T { f ( x ) dx } = \ int \ limits_a ^ { a + T } { f ( x ) dx }, \ forall a \ in \ mathbb { R } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Chứng minh:

Tách tích phân \[\int\limits_{0}^{nT}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}+\int\limits_{T}^{2T}{f(x)dx}+…+\int\limits_{(n-1)T}^{nT}{f(x)dx}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{(k-1)T}^{kT}{f(x)dx}}.\]

Đổi biến \ [ x = t + ( k-1 ) T \ Rightarrow dx = dt ; x = ( k-1 ) T \ Rightarrow t = 0 ; x = kT \ Rightarrow t = T. \ ]
Khi đó \ [ \ int \ limits_ { ( k-1 ) T } ^ { kT } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f \ left ( t + ( k-1 ) T \ right ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f ( t ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f ( x ) dx } \ left ( f ( t ) = f \ left ( t + ( k-1 ) T \ right ) \ right ) \ ]
Vậy \ [ \ int \ limits_ { 0 } ^ { nT } { f ( x ) dx } = \ sum \ limits_ { k = 1 } ^ { n } { \ int \ limits_ { ( k-1 ) T } ^ { kT } { f ( x ) dx } } = \ sum \ limits_ { k = 1 } ^ { n } { \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f ( x ) dx } } = n \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f ( x ) dx }. \ ]
Tính chất tiếp theo tách thành tổng các tích phân : \ [ \ int \ limits_ { a } ^ { a + T } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { a } ^ { 0 } { f ( x ) dx } + \ int \ limits_ { 0 } ^ { T } { f ( x ) dx } + \ int \ limits_ { T } ^ { a + T } { f ( x ) dx }. \ ]
Đổi biến \ [ x = t + T \ Rightarrow dx = dt ; x = T \ Rightarrow t = 0 ; x = a + T \ Rightarrow t = a. \ ]
Khi đó \ [ \ int \ limits_ { T } ^ { a + T } { f ( x ) dx } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( t + T ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( t ) dt } = \ int \ limits_ { 0 } ^ { a } { f ( x ) dx } = – \ int \ limits_ { a } ^ { 0 } { f ( x ) dx }. \ ]
Suy ra điều phải chứng tỏ .
DẠNG 2: $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}$ và $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}.$

• $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)+\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx};$
• $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)-\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx}.$

B – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ

Ngay sau khi BGD công bố đề tìm hiểu thêm THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán Vted sẽ update đề thi kèm giải thuật cụ thể bằng video + text ngay tại bài viết này .
Các thông tin hữu ích liên quan:
Cập nhật ngày 30/03/2020 : Trong tuần này ( từ ngày 30/03/2020 đến hết ngày 05/04/2020 ), Bộ GD-ĐT sẽ công bố hướng dẫn tinh giản chương trình và Đề tìm hiểu thêm kỳ thi THPTQG 2020 .
Cập nhật ngày 24/03/2020 : Đề THPTGQ 2020 không bỏ lớp 11 VD và VDC tập trung chuyên sâu hầu hết HKI lớp 12 HKII : Ôn luyện nhẹ nhàng .

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập