Các dạng bài tập Tích phân chọn lọc, có đáp án

Các dạng bài tập Tích phân chọn lọc, có đáp án

Phần Tích phân và ứng dụng Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 300 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tích phân và ứng dụng hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bài tập trắc nghiệm

Phương pháp tính tích phân cơ bản

Dạng 1. Tính chất của tích phân

1. Phương pháp giải
Giả sử cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kể thuộc K. Khi đó ta có

Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

Nếu ∀x ∈ [a, b]: f(x) ≥ g(x)

Nếu ∀x ∈ [a, b] nếu M ≤ f(x) ≤ N thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tích phân . Tính tích phân

A. I = 40 B. I = 10 C. I = 20 D. I = 5
Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận : với x = 0 => t = 0
Với x = 6 => t = 3
Ta có :

Suy ra:

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
và
. Tính giá trị của biểu thức

A. P = 4 B. P = 16 C. P = 8 D. P = 10
Hướng dẫn:

Đáp án: A
Ta có :

Dạng 2. Tính trực tiếp

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
.
Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần :
• Bước 1 : Xác định F ( x ) là nguyên hàm của hàm số .
• Bước 2. Tính F ( b ) − F ( a ) .

Dạng 2.1. Hàm đa thức

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng
A.I = 1 B.I = 2 C.I = 3 D. I = − 1
Hướng dẫn:

Đáp án: A

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị của m sao cho
:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn:

Đáp án: A
Ta có :




Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu .

Dạng 2.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng


Hướng dẫn:

Đáp án: D

Ví dụ 2. Tích phân
bằng


Hướng dẫn:

Đáp án: B
Ta có :

Dạng 2.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: C

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Dạng 2.4. Hàm lượng giác

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
có giá trị là


Hướng dẫn:

Đáp án: B

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là


Hướng dẫn:

Đáp án: A
Ta có

Dạng 2.5. Hàm mũ, logarit

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng


Hướng dẫn:

Đáp án: D

Vậy:

Ví dụ 2. Tích phân
có giá trị là:


Hướng dẫn:

Đáp án: D
Ta có :

Cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp giải

Trong đó u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f ( u ) liên tục và sao cho hàm hợp f [ u ( x ) ] xác lập trên K ; a và b là hai số thuộc K

Dạng 3.1. Hàm đa thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Đặt t = 1 − x => − dt = dx. Đổi cận : x = 0 => t = 1 ; x = 1 => t = 0

Dạng 3.2. Hàm phân thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Đặt t = x + 1 => dt = dx. Đổi cận : x = 0 => t = 1 ; x = 1 => t = 2

Ví dụ 2. Tích phân

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt

Đổi cận :

Khi đó


Vậy

Dạng 3.3. Hàm căn thức

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt

Đổi cận x = 0 => t = 1 ; x = 1 => t = √


Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Đặt x = sint

Do đó

Dạng 3.4. Hàm lượng giác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt : t = √ ( 1 + 3 cosx )

Khi đó

Ví dụ 2. Tính

A. 2 ln2 − 1 B.ln 2 − 1 C. ln2 − 2 D.ln 2 + 1
Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt : t = 1 + cosx

Khi đó

Dạng 3.5. Hàm mũ, logarit

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho

A. I = cos1 B. I = 1 C. I = sin1 D. Đáp án khác
Hướng dẫn:

Đáp án: B

Đặt

Đổi cận:

Khi đó :

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A


Đặt

Đổi cận:

Khi đó :

Dạng 3.6. Tích phân

1. Phương pháp giải
Chứng minh :
• Đặt: b − x= t, suy ra x = b − t và dx = −dt,

• Do đó:

Vì tích phân không nhờ vào vào biến số
2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn:

Đáp án: C

Đặt :

=> dt = −dx; x = 0

Nhưng tích phân không phụ thuộc vào và biến số, vì vậy :

Lấy ( 1 ) + ( 2 ) vế với vế ta có :

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Đặt

=> dx = −dt; x = 0

=> f(x)dx = log2(1 + tanx)dx

Hay :

Vậy :

Dạng 3.7. Dạng khác

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt lnx = t, ta có .
Đặt : u = ln ( 1 + t2 ) ; dv = dt

Từ đó có :

Tiếp tục đặt t = tanu, ta tính được

Thay vào (*) ta có

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: D

+ Tính

Đặt t = √(1 + lnx) => t2 = 1 + lnx;

Khi x = 1 => t = 1 ; x = e => x = √ 2

+ Tính .
Đặt

Phương pháp tính tích phân từng phần

Dạng 4.1. Tích phân có dạng:
trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải
Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. π2 − 4 B. π2 + 4 C. 2 π2 − 3 D. 2 π2 + 3
Hướng dẫn:

Đáp án: A

*Đặt

Khi đó :

Đặt

Khi đó :

Vậy : I = π2 + 2 ( − 2 ) = π2 − 4
Ví dụ 2. Tính

Đáp án: B
Ta có

Đặt

Dạng 4.2. Tích phân có dạng
trong đó P(x) là đa thức

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Đặt u = x ; dv = e − x.dx, suy ra du = dx ; v = − e − x


Ví dụ 2. Tìm a > 0 sao cho

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt u = x,
, suy ra du = dx,

Theo giả thiết ta có :

Dạng 4.3. Tích phân có dạng:

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tích phân
bằng:


Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt u = lnx, dv = (2x − 1)dx suy ra
, v = x2 − x

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A

Đặt

Do đó

Dạng 4.4. Tích phân có dạng: .

1. Phương pháp giải

Đặt

Vậy

Bằng phương pháp tương tự ta tính được
sau đó thay vào I.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: A
Ta có :

Trong đó

* Ta tính H
Đặt:

Từ (1) và (2) suy ra,

Ví dụ 2. Tính

Hướng dẫn:

Đáp án: D

Đặt

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập