Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

Bài giảng: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu:

Kí hiệu:

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3×2 – 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y’ = 3×2 – 6x – 9 = 0 ⇔
Mà y ( – 2 ) = 0 ; y ( 2 ) = – 20 ; y ( – 1 ) = 7 .
Suy ra

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có:

Khi đó y’ = 0 ⇔

Có y ( √ 2 ) = 2 √ 2, y ( 2 ) = 2, y ( – 2 ) = – 2 .
Vậy

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn
Ta có y ‘ = 1 – 2 cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π / 3 ⇔ x = ± π / 6 + kπ .
Xét x ∈ [ ( – π ) / 2 ; π ] ta được x = ± π / 6 ; x = 5 π / 6 .
f ( ( – π ) / 2 ) = – π / 2 ; f ( π ) = π ; f ( ( – π ) / 6 ) = – π / 6 + √ 3/2 ; f ( π / 6 ) = π / 6 – √ 3/2 ; f ( 5 π / 6 ) = 5 π / 6 + √ 3/2 .
Suy ra

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3×2 – 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]

Hiển thị đáp án
Hàm số f ( x ) liên tục trên [ – 4 ; 4 ]
Ta có f'(x) = 3×2 – 6x – 9; f'(x) = 0 ⇔
f ( – 4 ) = – 41 ; f ( – 1 ) = 40 ; f ( 3 ) = 8 ; f ( 4 ) = 15 .
Do đó

Quảng cáo

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 2]
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập và liên tục trên đoạn [ 0 ; 2 ] .
Ta có
Tính y ( 0 ) = 1/3 ; y ( 2 ) = – 5 .
Suy ra

Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 4]. Tìm m.
Hiển thị đáp án
Hàm số liên tục trên đoạn [2;4].

Ta có
Tính y ‘ ( 2 ) = 7 ; y ‘ ( 4 ) = 19/3 ; y ‘ ( 3 ) = 6 .
Suy ra m = 6 .
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 6]
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập và liên tục trên đoạn [ – 1 ; 6 ] .
Ta có:
y ‘ = 0 ⇔ x = 5/2 ∈ [ – 1 ; 6 ] .
y ( – 1 ) = y ( 6 ) = 0, y ( 5/2 ) = 7/2 .
Vậy

Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = |x| + 3 trên [-1; 1]
Hiển thị đáp án
Ta có

Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho .

Vậy

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3]
Hiển thị đáp án
Hàm số đã cho xác lập và liên tục trên đoạn [ 0 ; 3 ] .
Ta có:

y’ = 0 ⇔
Tính y ( 1 ) = – 5 √ 5 ; y ( 0 ) = – 12 ; y ( 2 ) = – 8 √ 2 ; y ( 3 ) = – 3 √ 13 .
Suy ra

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 2sinx – 1 bằng
Hiển thị đáp án
TXĐ : D = R. Đặt t = sinx, – 1 ≤ t ≤ 1. Khi đó y = f ( t ) = 2 t2 + 2 t – 1
Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên đoạn [ – 1 ; 1 ]. Đó cũng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R .
Ta có : f ‘ ( t ) = 4 t + 2 ; f ‘ ( t ) = 0 ⇔ t = – 1/2 ∈ ( – 1 ; 1 ) ; f ( – 1 ) = – 1 ; f ( – 50% ) = – 3/2 ; f ( 1 ) = 3
Do đó

Câu 8: Cho hàm số Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Tìm M và m.
Hiển thị đáp án
Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1 ⇒

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so.jsp

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập