Phương pháp giải các bài toán tương giao đồ thị – MÔN TOÁN Lớp 12

Dưới đây là một số dạng toán thường gặp về tương giao giữa hai đồ thị hàm số:

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

– Bước 2: Giải phương trình tìm \(x\), rồi từ đó suy ra \(y\) và tọa độ giao điểm.

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(h\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\) trên TXĐ.
+ Tính \ ( h ‘ \ left ( x \ right ) \ ), giải phương trình \ ( h ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ ) tìm các nghiệm và các điểm \ ( h ‘ \ left ( x \ right ) \ ) không xác lập .
+ Xét dấu \ ( h ‘ \ left ( x \ right ) \ ) và lập bảng biến thiên .
– Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ) và \ ( y = g \ left ( x \ right ) \ ) là số giao điểm của đồ thị hàm số \ ( h \ left ( x \ right ) \ ) với trục hoành ( đường thẳng \ ( y = 0 \ ) )

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
+ Tính \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ ), giải phương trình \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) = 0 \ ) tìm các nghiệm thuộc đoạn \ ( \ left [ { a ; b } \ right ] \ ) và các điểm \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ ) không xác lập .
+ Xét dấu \ ( f ‘ \ left ( x \ right ) \ ) và lập bảng biến thiên .
– Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = g\left( m \right)\) có một, hai,… nghiệm là đường thẳng \(y = g\left( m \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), từ đó suy ra điều kiện của \(g\left( m \right)\).

– Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn \(m\) ở trên và tìm điều kiện của \(m\).

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) cắt trục hoành.

( Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \ ( m \ ) và \ ( x \ ) )
– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

– Bước 2: Tính \(y’ = 3a{x^2} + 2bx + c,\Delta ‘ = {b^2} – 3ac\)

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm:
+ ) Phương trình có \ ( 1 \ ) nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía so với trục hoành
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ Delta ‘ \ le 0 \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta ‘ > 0 \ \ f \ left ( { { x_1 } } \ right ). f \ left ( { { x_2 } } \ right ) > 0 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ ) với \ ( { x_1 }, { x_2 } \ ) là hai nghiệm của phương trình \ ( y ‘ = 0 \ ) .
+ ) Phương trình có 2 nghiệm nếu \ ( f \ left ( { { x_1 } } \ right ) = 0 \ ) hoặc \ ( f \ left ( { { x_2 } } \ right ) = 0 \ ) với \ ( { x_1 }, { x_2 } \ ) là hai nghiệm của phương trình \ ( y ‘ = 0 \ ) .
+ ) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta ‘ > 0 \ \ f \ left ( { { x_1 } } \ right ). f \ left ( { { x_2 } } \ right ) < 0 \ end { array } \ right. \ ) – Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của \(m\).

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành.

( Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được \ ( m \ ) và \ ( x \ ) )
– Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = 0\)

– Bước 2: Đặt \(t = {x^2} \ge 0\), phương trình trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\left( * \right)\).

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:
+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu ( * ) có hai nghiệm phân biệt dương \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ S > 0 \ \ P > 0 \ end { array } \ right. \ )
+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu ( * ) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng \ ( 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ S > 0 \ \ P = 0 \ end { array } \ right. \ )
+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\S > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu ( * ) có 1 nghiệm kép bằng \ ( 0 \ ) hoặc có 1 nghiệm bằng \ ( 0 \ ) và 1 nghiệm âm \ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta = 0 \ \ S = 0 \ end { array } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } P = 0 \ \ S < 0 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ ) + Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu ( * ) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm \ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ Delta < 0 \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ S < 0 \ \ P > 0 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ ) .

– Bước 4: Kết luận điều kiện của \(m\)

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập