Bất phương trình dạng tích, thương

Tailieumoi. vn xin ra mắt đến các quý thầy cô, các em học viên đang trong quy trình ôn tập bộ bài tậpBất phương trình dạng tích, thương lớp 8, tài liệu gồm có 15 trang, tuyển chọn 9 ví dụ và 17 bài tập Bất phương trình dạng tích, thương khá đầy đủ triết lý, chiêu thức giải chi tiết cụ thể, giúp các em học viên có thêm tài liệu tìm hiểu thêm trong quy trình ôn tập, củng cố kiến thức và kỹ năng. Chúc các em học viên ôn tập thật hiệu suất cao và đạt được tác dụng như mong đợi .
Tài liệu Bất phương trình dạng tích, thương gồm các nội dung sau :
I. Phương pháp giải

– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn

II. Một số ví dụ
– Gồm 9 ví dụ minh họa phong phú cho dạng bài Bất phương trình dạng tích, thương có giải thuật chi tiết cụ thể
III. Bài tập vận dụng
– Gồm 17 bài tập vận dụng có giải thuật chi tiết cụ thể giúp học viên rèn luyện cách giải các bài tập Bất phương trình dạng tích, thương
Mời các quý thầy cô và các em học viên cùng tìm hiểu thêm và tải về chi tiết cụ thể tài liệu dưới đây :

BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG

I. Phương pháp giải
1. Bất phương trình dạng tích : A ⁢ ( x ). B ⁢ ( x ) > 0 ;
( hoặc A ⁢ ( x ). B ⁢ ( x ) < 0 ; A ⁢ ( x ). B ⁢ ( x ) ≥ 0 ; A ⁢ ( x ). B ⁢ ( x ) ≤ 0 ) ; 2. Bất phương trình dạng thương : A ⁢ ( x ) B ⁢ ( x ) > 0
( hoặc A ⁢ ( x ) B ⁢ ( x ) < 0 ; A ⁢ ( x ) B ⁢ ( x ) ≥ 0 ; A ⁢ ( x ) B ⁢ ( x ) ≤ 0 ) . 3. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 ) : Nhị thức bậc nhất cùng dấu với a khi x > – ba
Nhị thức bậc nhất trái dấu với a khi x < - ba Do - ba là nghiệm của nhị thức a ⁢ x + b nên định lý được phát biểu : Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 ) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức . 4. Phương pháp giải các bất phương trình dạng tích, thương : Phân tích thành nhân tử chứa các nhị thức bậc nhất. Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất a ⁢ x + b

x		– ba
a ⁢ x + b	trái dấu với a	0	cùng dấu với a

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải bất phương trình (2⁢x-9)⁢(1945+x)>0.
Tìm cách giải : Với tích A.B > 0 xảy ra khi A và B cùng dấu. Do đó A > 0 và B > 0 hoặc A < 0 và B < 0. Ta có cách giải :

Giải

Cách 1 : Bất phương trình đã cho tương tự với :
\ [ \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { array } { l } 2 x – 9 > 0 \ \ 1945 + x > 0 \ end { array } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } 2 x – 9 < 0 \ \ 1945 + x < 0 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { array } { l } 2 x > 9 \ \ x > – 1945 \ end { array } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } 2 x < 9 \ \ x < - 1945 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { array } { l } x > 4,5 \ \ x > – 1945 \ end { array } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { array } { l } x < 4,5 \ \ x < - 1945 \ end { array } \ right. \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x > 4,5 \ \ x < - 1945 \ end { array } \ right. \ end { array } \ ] Vậy nghiệm của bất phương trình là \ [ x > 4,5 ; { \ rm { } } x < - 1945 \ ] . * Chú ý : Bằng việc lập bảng xét dấu của từng thừa số của tích là nhị thức bậc nhất ta có cách 2 : Lập bảng xét dấu :

\ [ x \ ]		\ [ – 1945 \ ]		4,5
\ [ 2 x – 9 \ ]	–	0	–	|	+
\ [ 1945 + x \ ]	–	|	+	0	+
\ [ \ left ( { 2 x – 9 } \ right ) \ left ( { 1945 + x } \ right ) \ ]	+	0	–	0	+

Vậy nghiệm của bất phương trình : \ [ x > 4,5 \ ] hoặc \ [ x < - 1945 \ ] .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \[\left( {x – 6} \right)\left( {x + 10} \right) <  - {x^2} + x + 30\].

* Tìm cách giải : Ta nghiên cứu và phân tích vế phải thành nhân tử, Open nhân tử chung và chuyển vế để đưa về phương trình tích .

Giải

a ) Ta có :
\ [ \ begin { array } { l } – { x ^ 2 } + x + 30 \ \ = – { x ^ 2 } + 6 x – 5 x + 30 \ \ = – \ left ( { x – 6 } \ right ) \ left ( { x + 5 } \ right ) \ end { array } \ ]
Do đó bất phương trình thành \ [ \ left ( { x – 6 } \ right ) \ left ( { x + 10 } \ right ) + \ left ( { x – 6 } \ right ) \ left ( { x + 5 } \ right ) < 0 \ ] \ [ \ Leftrightarrow \ left ( { x - 6 } \ right ) \ left ( { 2 x + 15 } \ right ) < 0 \ ]. Lập bảng xét dấu :

\ [ x \ ]		\ [ – 7,5 \ ]		6
\ [ x – 6 \ ]	–	|	–	0	+
\ [ 2 x + 15 \ ]	–	0	+	|	+
\ [ \ left ( { x – 6 } \ right ) \ left ( { 2 x + 15 } \ right ) \ ]	+	0	–	0	+

Nghiệm của bất phương trình là : \ [ – 7,5 < x < 6 \ ] .

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \[{x^4} + 36 \ge 13{x^2}\] sau đó biểu diễn nghiệm trên trục số.

* Tìm cách giải : Chuyển tổng thể về một vế rồi nghiên cứu và phân tích vế đó thành nhân tử và giải bất phương trình tích .

Giải

Ta có \ [ { x ^ 4 } + 36 \ ge 13 { x ^ 2 } \ Leftrightarrow { x ^ 4 } – 13 { x ^ 2 } + 36 \ ge 0 \ ]
\ [ \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow { x ^ 4 } – 9 { x ^ 2 } – 4 { x ^ 2 } + 36 \ ge 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } – 9 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 4 } \ right ) \ ge 0 \ end { array } \ ]
\ [ \ Leftrightarrow \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) \ ge 0 \ ]. Lập bảng xét dấu :

\ [ x \ ]		\ [ – 3 \ ]		\ [ – 2 \ ]		2		3
\ [ x – 2 \ ]	–	|	–	|	–	0	+	|	+
\ [ x + 2 \ ]	–	|	–	0	+	|	+	|	+
\ [ x – 3 \ ]	–	|	–	|	–	|	–	0	+
\ [ x + 3 \ ]	–	0	+	|	+	|	+	|	+
Vế trái	+	0	–	0	+	0	–	0	+

Nghiệm của bất phương trình là : \ [ \ left [ \ begin { array } { l } x \ le – 3 \ \ – 2 \ le x \ le 2 \ \ x \ ge 3 \ end { array } \ right. \ ]. Biểu diễn nghiệm :

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: \[\frac{{2016 – 6x}}{{x\left( {x + 8} \right)}} \le 0\].

* Tìm cách giải : Đây là bất phương trình dạng thương của \ [ \ left ( { năm nay – 6 x } \ right ) \ ] chia cho \ [ x \ left ( { x – 8 } \ right ) \ ] .
Ta có :
\ [ \ begin { array } { l } năm nay – 6 x = 0 \ Leftrightarrow x = 336 ; \ \ { \ rm { } } x + 8 = 0 \ Leftrightarrow x = – 8 \ end { array } \ ] .

Giải

ĐKXĐ : \ [ x \ ne 0 \ ] và \ [ x \ ne – 8 \ ]. Đặt \ [ A = \ frac { { năm nay – 6 x } } { { x \ left ( { x + 8 } \ right ) } } \ ]. Lập bảng xét dấu :

\ [ x \ ]		\ [ – 8 \ ]		0		336
\ [ năm nay – 6 x \ ]	+	|	+	|	+	0	–
\ [ x \ ]	–	|	–	0	+	|	+
\ [ x + 8 \ ]	–	0	+	|	+	|	+
A	+	| |	–	| |	+	0	–

\ [ A \ le 0 \ ] khi \ [ \ left [ \ begin { array } { l } – 8 < x < 0 \ \ x \ ge 336 \ end { array } \ right. \ ] .

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \[\frac{{ – {x^2} – 5x + 28}}{{{x^2} + 2x – 15}} \ge  – 2{\rm{          }}\left( 1 \right)\]

Và màn biểu diễn nghiệm trên trục số .
* Tìm cách giải : Nếu chuyển vế, rút gọn vế trái ta được bất phương trình dạng thương. Phân tích các tử, mẫu thành nhân tử rồi lập bảng xét dấu .

Giải

ĐKXĐ: \[x \ne 3;{\rm{ }}x \ne  – 5\]

\ [ \ begin { array } { l } \ left ( 1 \ right ) \ Leftrightarrow \ frac { { – { x ^ 2 } – 5 x + 28 } } { { { x ^ 2 } + 2 x – 15 } } + 2 \ ge 0 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { { { x ^ 2 } – x – 2 } } { { { x ^ 2 } + 2 x – 15 } } \ ge 0 \ \ \ Leftrightarrow \ frac { { \ left ( { x + 1 } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) } } { { \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { x + 5 } \ right ) } } \ ge 0 \ end { array } \ ]
Lập bảng xét dấu ta có :

\ [ x \ ]		\ [ – 5 \ ]		\ [ – 1 \ ]		2		3
\ [ x + 1 \ ]	–	|	–	0	+	|	+	|	+
\ [ x – 2 \ ]	–	|	–	|	–	0	+	|	+
\ [ x – 3 \ ]	–	|	–	|	–	|	–	0	+
\ [ x + 5 \ ]	–	0	+	|	+	|	+	|	+
Vế trái	+	| |	–	0	+	0	–	| |	+

Nghiệm của bất phương trình là \ [ \ left [ \ begin { array } { l } x < - 5 \ \ - 1 \ le x \ le 2 \ \ x > 3 \ end { array } \ right. \ ]. Biểu diễn nghiệm :

Ví dụ 6: Cho biểu thức \[A = \left[ {\frac{5}{{x + 3}} – \frac{{5x – 15}}{{2x – 9}}.\left( {\frac{{2x – 9}}{{{x^2} – 9}} – 2x + 9} \right)} \right]:\frac{{1 – x}}{{1 + x}}\].

Tìm x để \ [ A < 0 \ ] * Tìm cách giải : Khi rút gọn biểu thức và khi tìm x để \ [ A < 0 \ ] cần quan tâm ĐKXĐ. Do sau khi chia \ [ 1 - x \ ] cũng thành mẫu số nên \ [ x \ ne \ pm 1 \ ] .

Giải

Rút gọn A : ĐKXĐ : \ [ x \ ne \ pm 3 ; { \ rm { } } x \ ne \ pm 1 ; { \ rm { } } x \ ne 4,5 \ ]. Ta có :
\ [ A = \ left [ { \ frac { 5 } { { x + 3 } } – \ frac { { 5 \ left ( { x – 3 } \ right ) } } { { \ left ( { 2 x – 9 } \ right ) } }. \ frac { { \ left ( { 2 x – 9 } \ right ) \ left ( { 1 – { x ^ 2 } + 9 } \ right ) } } { { \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) } } } \ right ]. \ frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } \ ]
\ [ \ begin { array } { l } = \ left [ { \ frac { 5 } { { x + 3 } } – \ frac { { 5 \ left ( { 1 – { x ^ 2 } + 9 } \ right ) } } { { x + 3 } } } \ right ]. \ frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } \ \ = \ frac { { 5 \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) } } { { x + 3 } }. \ frac { { 1 + x } } { { 1 – x } } \ \ = \ frac { { 5 \ left ( { x – 3 } \ right ) \ left ( { 1 + x } \ right ) } } { { 1 – x } } \ end { array } \ ]
Lập bảng xét dấu :

\ [ x \ ]		\ [ – 1 \ ]		1		3
\ [ x – 3 \ ]	–	|	–	|	–	0	+
\ [ 1 + x \ ]	–	0	+	|	+	|	+
\ [ 1 – x \ ]	+	|	+	0	–	|	–
A	+	| |	–	| |	+	| |	–

Vậy để \ [ A < 0 \ ] thì \ [ \ left [ \ begin { array } { l } - 1 < x < 1 \ \ x > 3 ; x \ ne 4,5 \ end { array } \ right. \ ] .

Ví dụ 7: Giải bất phương trình:

\ [ \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } – x } } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 5 x + 6 } } + … + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } – 39 x + 380 } } < 0 \ ] . * Tìm cách giải : Bất phương trình có ẩn ở mẫu nên chú ý quan tâm ĐKXĐ . Ta có \ [ { x ^ 2 } - x = x \ left ( { x - 1 } \ right ) ; { \ rm { } } { x ^ 2 } - 3 x + 2 = \ left ( { x - 1 } \ right ) \ left ( { x - 2 } \ right ) ; ... \ ] có dạng tổng quát \ [ A. \ left ( { A - 1 } \ right ) \ ] . Mà \ [ \ frac { 1 } { { A \ left ( { A - 1 } \ right ) } } = \ frac { { A - \ left ( { A - 1 } \ right ) } } { { A \ left ( { A - 1 } \ right ) } } = \ frac { 1 } { { A - 1 } } - \ frac { 1 } { A } \ ]. Ta nghiên cứu và phân tích các phân thức ở vế trái rồi rút gọn, sẽ được một phân thức dạng thương .

Giải

ĐKXĐ : \ [ x \ notin \ left \ { { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …. ; 19 ; 20 } \ right \ } \ ] .
Biến đổi bất đẳng thức thành :
\ [ \ frac { 1 } { { x \ left ( { x – 1 } \ right ) } } + \ frac { 1 } { { \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) } } + \ frac { 1 } { { \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x – 3 } \ right ) } } + … + \ frac { 1 } { { \ left ( { x – 19 } \ right ) \ left ( { x – 20 } \ right ) } } < 0 \ ] \ [ \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { { x - 1 } } - \ frac { 1 } { x } + \ frac { 1 } { { x - 2 } } - \ frac { 1 } { { x - 1 } } + ... + \ frac { 1 } { { x - 20 } } - \ frac { 1 } { { x - 19 } } < 0 \ ] \ [ \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { { x - 20 } } - \ frac { 1 } { x } < 0 \ Leftrightarrow \ frac { { 20 } } { { x \ left ( { x - 20 } \ right ) } } < 0 \ ] . Đặt \ [ A = \ frac { { 20 } } { { x \ left ( { x - 20 } \ right ) } } \ ]. Lập bảng xét dấu

\ [ x \ ]		0		20
\ [ x \ ]	–	0	+	|	+
\ [ x – 20 \ ]	–	|	–	0	+
\ [ A \ ]	+	| |	–	| |	+

\ [ A < 0 \ ] khi \ [ x \ notin \ left \ { { 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 19 } \ right \ } \ ] và \ [ 0 < x < 20 \ ] .

Ví dụ 8: Giải bất phương trình \[\frac{{m – 5}}{{x – 2}} > 3\] với m là tham số.

* Tìm cách giải : Bất phương trình có ẩn ở mẫu là có tham số nên phải chú ý quan tâm ĐKXĐ và biện luận tham số m khi giải bất phương trình .

Giải

ĐKXĐ : \ [ x \ ne 2 \ ]
\ [ \ frac { { m – 5 } } { { x – 2 } } > 3 \ Leftrightarrow \ frac { { m – 5 } } { { x – 2 } } – 3 > 0 \ Leftrightarrow \ frac { { \ left ( { m + 1 } \ right ) – 3 x } } { { x – 2 } } > 0 \ ]
Ta thấy \ [ m + 1 – 3 x = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { m + 1 } } { 3 } \ ] .
Ta có \ [ \ frac { { m + 1 } } { 3 } > 2 \ Leftrightarrow m > 5 \ ] và \ [ \ frac { { m + 1 } } { 3 } < 2 \ Leftrightarrow m < 5 \ ] . Đặt \ [ B = \ frac { { \ left ( { m + 1 } \ right ) - 3 x } } { { x - 2 } } \ ] . Lập bảng xét dấu : khi \ [ m > 5 \ ]

\ [ x \ ]		2		\ [ \ frac { { m + 1 } } { 3 } \ ]
\ [ m + 1 – 3 x \ ]	+	|	+	0	–
\ [ x – 2 \ ]	–	0	+	|	+
\ [ B \ ]	–	| |	+	0	–

Với \ [ m > 5 \ ] ta có nghiệm của bất phương trình là : \ [ 2 < x < \ frac { { m + 1 } } { 3 } \ ] . Lập bảng xét dấu : khi \ [ m < 5 \ ]

\ [ x \ ]		\ [ \ frac { { m + 1 } } { 3 } \ ]		2
\ [ m + 1 – 3 x \ ]	+	0	–	|	–
\ [ x – 2 \ ]	–	|	–	0	+
\ [ B \ ]	–	0	+	|| Xem thêm: Cách nén và giải nén file [RAR, ZIP, PDF] đơn giản, nhanh chóng nhất	–

Với \ [ m < 5 \ ] ta có nghiệm của bất phương trình là : \ [ \ frac { { m + 1 } } { 3 } < x < 2 \ ] Xem thêm

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập