Bất phương trình bậc hai và cách giải hay, chi tiết

Bất phương trình bậc hai và cách giải

Với loạt Bất phương trình bậc hai và cách giải sẽ giúp học viên nắm vững triết lý, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt hiệu quả cao trong các bài thi môn Toán 10 .
1. Lý thuyết

– Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2+bx+c<0 (hoặc ax2+bx+c>0; ax2+bx+c≤0; ax2+bx+c≥0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0.

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực ra là tìm các khoảng chừng mà trong đó f ( x ) = ax2 + bx + c cùng dấu với thông số a ( trường hợp a < 0 ) hay trái dấu với thông số a ( trường hợp a > 0 ) .
2. Các dạng toán

Dạng 3.1: Dấu của tam thức bậc hai

a. Phương pháp giải:
– Tam thức bậc hai ( so với x ) là biểu thức dạng ax2 + bx + c. Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với a # 0 .
– Định lý về dấu của tam thức bậc hai :
Cho f ( x ) = ax2 + bx + c ( a # 0 ), Δ = b2 − 4 ac .
Nếu Δ < 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với thông số a với mọi x ∈ ℝ . Nếu Δ = 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với thông số a trừ khi x = − b2a . Nếu Δ>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi xx2 , trái dấu với hệ số a khi x1

Lưu ý: Có thể thay biệt thức Δ=b2−4ac  bằng biệt thức thu gọn Δ’=(b’)2−ac .
Ta có bảng xét dấu của tam thức bậc hai f ( x ) = ax2 + bx + c ( a # 0 ) trong các trường hợp như sau :
Δ < 0 :

Δ = 0 :

Δ > 0 :

Minh họa bằng đồ thị

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức fx=−x2−4x+5 

Hướng dẫn:
Ta có f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = – 5 và thông số a = – 1 < 0 nên : f ( x ) > 0 khi x ∈ ( − 5 ; 1 ) ; f ( x ) < 0 khi x ∈ ( − ∞ ; − 5 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) . Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức fx=3×2−10x+34x−5 .

Hướng dẫn:
Ta có : 3×2 − 10 x + 3 = 0 ⇔ x = 3 x = 13 và 4 x − 5 = 0 ⇔ x = 54 .
Lập bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy :
fx ≤ 0 ⇔ x ∈ − ∞ ; 13 ∪ 54 ; 3 ; fx ≥ 0 ⇔ x ∈ 13 ; 54 ∪ 3 ; + ∞ .
Dạng 3.2: Giải và biện luận bất phương trình bậc hai

a. Phương pháp giải:
Giải và biện luận bất phương trình bậc hai
Ta xét hai trường hợp :
+ ) Trường hợp 1 : a = 0 ( nếu có ) .
+ ) Trường hợp 2 : a # 0, ta có :
Bước 1 : Tính Δ ( hoặc Δ ‘ )
Bước 2 : Dựa vào dấu của Δ ( hoặc Δ ‘ ) và a, ta biện luận số nghiệm của bất phương trình
Bước 3 : Kết luận .
b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình x2+2x+6m>0. 

Hướng dẫn:
Đặt f ( x ) = x2 + 2 x + 6 m
Ta có Δ ‘ = 1 – 6 m ; a = 1. Xét ba trường hợp :
+ ) Trường hợp 1 : Nếu Δ ‘ < 0 ⇔ m > 16 ⇒ f ( x ) > 0 ∀ x ∈ ℝ .
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ .
+ ) Trường hợp 2 : Nếu Δ ‘ = 0 ⇔ m = 16 ⇒ f ( x ) > 0 ∀ x ∈ ℝ \ { – 1 } .
Suy ra nghiệm của bất phương trình là S = ℝ \ { – 1 } .
+ ) Trường hợp 3 : Nếu Δ ‘ > 0 ⇔ m < 16 . Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1=−1−1−6m ; x2=−1+1−6m ( dễ thấy x10 khi​ xx2. Suy ra nghiệm của bất phương trình là S=−∞;x1∪x2;+∞ . 
Vậy :
Với m > 16 tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ .
Với m = 16 tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ \ { – 1 } .
Với m < 16 tập nghiệm của bất phương trình là S = − ∞ ; x1 ∪ x2 ; + ∞ với x1 = − 1 − 1 − 6 m, x2 = − 1 + 1 − 6 m . Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 12×2 +2m+3x+m≤0. 

Hướng dẫn:
Đặt f ( x ) = 12×2 + 2 m + 3 x + m, ta có a = 12 và Δ ‘ = ( m − 3 ) 2 ≥ 0
Khi đó, ta xét hai trường hợp :
+ ) Trường hợp 1 : Nếu Δ ‘ = 0 ⇔ m = 3, suy ra f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ. Do đó, nghiệm của bất phương trình là x = − b2a = − 12 .
+ ) Trường hợp 2 : Nếu Δ ‘ > 0 ⇔ m ≠ 3, suy ra f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = − 12 ; x2 = − m6
Xét hai năng lực sau :
Khả năng 1: Nếu x1
Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S = − 12 ; − m6
Khả năng 2 : Nếu x1 > x2 ⇔ m > 3
Khi đó, theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, tập nghiệm của bất phương trình là S = − m6 ; − 12
Vậy : Với m = 3 tập nghiệm của bất phương trình là S = − 12 .
Với m < 3 tập nghiệm của bất phương trình là S = − 12 ; − m6 . Với m > 3 tập nghiệm của bất phương trình là S = − m6 ; − 12 .

Dạng 3.3: Bất phương trình chứa căn thức

a. Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức :
+ ) f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ f ( x ) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ g2 ( x )
+ ) f ( x ) ≥ g ( x ) ⇔ g ( x ) < 0 f ( x ) ≥ 0 g ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ g2 ( x ) b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2+2≤x−1 .

Hướng dẫn:
Ta có x2 + 2 ≤ x − 1 ⇔ x − 1 ≥ 0x2 + 2 ≥ 0x2 + 2 ≤ x2 − 2 x + 1
⇔ x ≥ 12 x ≤ − 1 ⇔ x ≥ 1 x ≤ − 12 ( vô lý ) .
Vậy bất phương trình vô nghiệm .
Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2−2x−15>2x+5 .

Hướng dẫn:
Ta có : x2 − 2 x − 15 > 2 x + 5 ⇔ x2 − 2 x − 15 ≥ 02 x + 5 < 02 x + 5 ≥ 0x2 − 2 x − 15 > 2 x + 52
⇔x≤−3x≥5x<−52x≥−523x2+22x+40<0⇔x≤−3x≥−52−4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : S = − ∞ ; − 3 .

3. Bài tập tự luyện

3.1 Tự luận

Câu 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2×2−3x−15≤0 

Hướng dẫn:
Xét fx = 2×2 − 3 x − 15 .
fx = 0 ⇔ x = 3 ± 1294 .
Ta có bảng xét dấu :

Tập nghiệm của bất phương trình là S = 3 − 1294 ; 3 + 1294 .
Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là : – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 .
Câu 2: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4 .

Hướng dẫn:
Ta có f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x = – 2, x = 2 và thông số a = 1 > 0 nên :
f ( x ) < 0 khi x ∈ ( − 2 ; 2 ) ; f ( x ) > 0 khi x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) .
Câu 3: Xét dấu biểu thức: f(x)=x2−4x+4.

Hướng dẫn:
x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2. Ta có bảng xét dấu :

Vậy f ( x ) > 0 với ∀ x ∈ ℝ \ { 2 } .
Câu 4: Giải bất phương trình xx+5≤2×2+2. 

Hướng dẫn:
Bất phương trình xx + 5 ≤ 2×2 + 2 ⇔ x2 + 5 x ≤ 2×2 + 4 ⇔ x2 − 5 x + 4 ≥ 0
Xét phương trình x2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ x − 1 x − 4 = 0 ⇔ x = 1 x = 4 .
Lập bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2 − 5 x + 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ − ∞ ; 1 ∪ 4 ; + ∞ .
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn x+3×2−4−1x+2<2x2x−x2 ? Hướng dẫn:
Điều kiện : x2 − 4 ≠ 0 x + 2 ≠ 02 x − x2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 x ≠ ± 2 .
Bất phương trình :
x + 3×2 − 4 − 1 x + 2 < 2x2 x − x2 ⇔ x + 3x2 − 4 − 1 x + 2 + 2 xx2 − 2 x < 0 ⇔ 2 x + 9x2 − 4 < 0 . Bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 2 x + 9×2 − 4 < 0 ⇔ x ∈ − ∞ ; − 92 ∪ − 2 ; 2 . Vậy chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x (x = 1) thỏa mãn yêu cầu.

Câu 6: Tìm các giá trị của m để biểu thức f(x)=x2+(m+1)x+2m+7>0  ∀x∈ℝ .

Hướng dẫn:
Ta có : fx > 0, ∀ x ∈ ℝ ⇔ a > 0 Δ < 0 ⇔ 1 > 0 m + 12 − 42 m + 7 < 0 ⇔m2−6m−27<0⇔−3

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình: m+1×2−2m+1x+4≥0 (1) có tập nghiệm S=R ?

Hướng dẫn:
+ ) Trường hợp 1 : m + 1 = 0 ⇔ m = − 1
Bất phương trình ( 1 ) trở thành 4 ≥ 0 ∀ x ∈ R ( Luôn đúng ) ( * )
+ ) Trường hợp 2 : m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ − 1
Bất phương trình ( 1 ) có tập nghiệm S = R
⇔a>0Δ’≤0⇔m+1>0Δ’=m2−2m−3≤0⇔−1
Từ ( * ) và ( * * ) ta suy ra với − 1 ≤ m ≤ 3 thì bất phương trình có tập nghiệm S = R .

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f(x) sau đây thỏa mãn fx=−x2+2x+m−2018<0 , ∀x∈ℝ . Hướng dẫn:
Vì tam thức bậc hai f ( x ) có thông số a = – 1 < 0 nên fx < 0, ∀ x ∈ ℝ khi và chỉ khi Δ ' < 0 ⇔ 1 − − 1 m − 2018 < 0 ⇔ m − 2017 < 0 ⇔ m < 2017 . Câu 9: Bất phương trình 2x−1≤2x−3 có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc khoảng (0; 7)?

Hướng dẫn:
Ta có : 2 x − 1 ≤ 2 x − 3 ⇔ 2 x − 1 ≥ 02 x − 3 ≥ 02 x − 1 ≤ 2 x − 32
⇔ x ≥ 12 x ≥ 324×2 − 14 x + 10 ≥ 0
⇔ x ≥ 32 x ≤ 1 x ≥ 52 ⇔ x ≥ 52
Kết hợp điều kiện kèm theo : x ∈ 0 ; 7 x ∈ ℤ, suy ra x ∈ 3 ; 4 ; 5 ; 6 .
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên thuộc khoảng chừng ( 0 ; 7 ) .
Câu 10: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2+2017≤2018x .

Hướng dẫn:
x2 + 2017 ≤ 2018 x ⇔ x2 + 2017 ≥ 0 x ≥ 0x2 + 2017 ≤ 2018×2
⇔ x ≥ 0x2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≤ − 1 x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T = 1 ; + ∞ .
3.2 Trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam thức fx=ax2+bx+c a≠0,Δ=b2−4ac. Ta có fx≤0 với ∀x∈ℝ khi và chỉ khi:

A. a<0Δ≤0 .   

B. a≤0Δ<0 .    

C. a<0Δ≥0 .   

D. a>0Δ≤0 .

Hướng dẫn:
Chọn A .
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có : fx ≤ 0 với ∀ x ∈ ℝ khi và chỉ khi a < 0 Δ ≤ 0 . Câu 2: Cho hàm số y=fx=ax2+bx+c có đồ thị như hình vẽ. Đặt Δ=b2−4ac , tìm dấu của a và Δ .

A. a > 0, Δ>0 .     

B. a < 0, Δ>0 .     

C. a > 0, Δ=0 .     

D. a < 0, Δ=0. Hướng dẫn:
Chọn A .
Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm quay lên nên a > 0 và đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên Δ > 0 .
Câu 3: Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c   (a≠0) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu  Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ .

B. Nếu  Δ<0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ . C. Nếu  Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ\−b2a .

D. Nếu  Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x∈ℝ . Hướng dẫn:
Chọn C. Theo định lý về dấu tam thức bậc hai
Câu 4: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x2−8x+7≥0 . Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?

A. −∞;0 .  

B. 6;+∞ .   

C. 8;+∞ .   

D. −∞;−1 .

Hướng dẫn:
Chọn B .
Ta có x2 − 8 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 x ≥ 7 .
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = − ∞ ; 1 ∪ 7 ; + ∞ .
Do đó 6 ; + ∞ ⊄ S .
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  x2+mx+4=0 có nghiệm

A. −4≤m≤4 .       

B.  m≤−4 hoặc m≥4 .

C. m≤−2 hoặc m≥2 .   

D. −2≤m≤2 .

Hướng dẫn:
Chọn B .
Phương trình x2 + mx + 4 = 0 có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ mét vuông − 16 ≥ 0 ⇔ m ≤ − 4 hoặc m ≥ 4 .
Câu 6: Tam thức fx=x2+2m−1x+m2−3m+4  không âm với mọi giá trị của x khi

A. m<3 .      B. m≥3 .     

C. m≤−3 .   

D. m≤3 .

Hướng dẫn:
Chọn D .
Yêu cầu bài toán ⇔ fx ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ
⇔ x2 + 2 m − 1 x + mét vuông − 3 m + 4 ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ
⇔ Δ ‘ = m − 12 − mét vuông − 3 m + 4 ≤ 0
⇔ m − 3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 3 .
Vậy m ≤ 3 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2−m+2x+8m+1≤0 vô nghiệm.

A. m∈0;28 .       

B. m∈−∞;0∪28;+∞ .

C. m∈−∞;0∪28;+∞ .        

D. m∈0;28 .

Hướng dẫn:
Chọn D .
Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi Δ=m+22−48m+1<0⇔m2−28m<0⇔0

Câu 8: Bất phương trình −x2+6x−5>8−2x có nghiệm là:

A. −5 .      

B. 3 . 

C. 2 . 

D. −3≤x≤−2 .

Hướng dẫn:
Chọn B .
Ta có : − x2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x ⇔ − x2 + 6 x − 5 ≥ 08 − 2 x < 08 − 2 x ≥ 0 − x2 + 6 x − 5 > 8 − 2×2
⇔1≤x≤5x>4x≤43

Vậy nghiệm của bất phương trình là 3

Câu 9: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 2×2+1≤x+1  là:

A. 3.  

B. 1.   

C. 4.  

D. 2.

Hướng dẫn:
Chọn B .
Ta có : 2×2 + 1 ≤ x + 1 ⇔ x + 1 ≥ 02×2 + 1 ≥ 02×2 + 1 ≤ x + 12
⇔ x + 1 ≥ 0x2 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x + 1 ≥ 0 x − 12 ≤ 0 ⇔ x = 1
Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên .
Câu 10: Nghiệm của bất phương trình 3x−1x+2≤0 (1) là:

A. x≤13 .     

B. −2 .       

C. x≤13  x≠−2 . 

D. −2 .

Hướng dẫn:
Chọn D .
Điều kiện xác lập : x > – 2 .
1 ⇔ 3 x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ 13 ( do x + 2 > 0 với mọi x > – 2 )
Kết hợp điều kiện   suy ra nghiệm của bất phương trình là −2
Xem thêm chiêu thức giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, cụ thể khác :

Đã có giải thuật bài tập lớp 10 sách mới :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập