Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – TOÁN HỌC

Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. Lý thuyết và các kiến thức bổ sung

1. Định nghĩa:

\[\left| f(x) \right|=\left\{ \begin{matrix}
f(x) \\
-f(x) \\
\end{matrix}\begin{matrix}
khi \\
khi \\
\end{matrix} \right.\begin{matrix}
f(x)\ge 0 \\
f(x)<0 \\ \end{matrix}\]

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

3. Dấu tam thức bậc 2: $\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)=\text{ }\mathbf{a}{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}+\mathbf{bx}+\mathbf{c}$

$+)\Delta <0:af(x)>0;\forall x\in R$
$+)\Delta =0:af(x)>0;\forall x\ne -\frac{b}{2a}$
$+)\Delta >0:\left[ \begin{matrix}
a.f(x)>0;\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right) \\
a.f(x)<0;\forall x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right) \\
\end{matrix} \right.$

Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1

Bảng xét dấu

II. Dạng cơ bản và phương pháp giải

1. Dạng cơ bản thường gặp

Dạng 1. $\left| f(x) \right|>\left| g(x) \right|$

Dạng 2. $\left| f(x) \right|>g(x)$

Dạng 3. $\left| {f(x)} \right| < g(x)$

2. Phương pháp giải

Phương pháp 1. Khử căn bằng định
nghĩa.

$\left| {f(x)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) > 0}
\end{array}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x) < 0} \end{array}} \end{array}} \right.$

Phương pháp 2. Phương pháp lập bảng.

Sử dụng phối hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối .

Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.

a ) USD BPT : \ left | { f ( x ) } \ right | > \ left | { g ( x ) } \ right | \ Leftrightarrow { \ left ( { f ( x ) } \ right ) ^ 2 } > { \ left ( { g ( x ) } \ right ) ^ 2 } $
b ) $ \ left | { f ( x ) } \ right | > g ( x ) \ Leftrightarrow \ left [ { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { g ( x ) < 0 } \ \ { \ left \ { { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { g ( x ) \ ge 0 } \ \ { { f ^ 2 } ( x ) > { g ^ 2 } ( x ) } \ end { array } } \ right. } \ end { array } } \ right. $
c)$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(x) > 0}\\
{{{\left[ {f(x)} \right]}^2} < {{\left[ {g(x)} \right]}^2}} \end{array}} \right.$

III. Ví dụ minh họa

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau : $ \ left | 2-5 x \ right | \ ge x + 1 USD

Giải:

• Trường hợp 1: $2-5x\ge 0\Leftrightarrow x\le
  \frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng : $ 2-5 x \ ge x + 1 \ Leftrightarrow 6 x \ le 1 \ Leftrightarrow x \ le \ frac { 1 } { 6 } $ .
Kết hợp điều kiện kèm theo : USD x \ in \ left ( – \ infty ; \ frac { 1 } { 6 } \ right ] $ ( 1 )

• Trường hợp 2: $2-5x<0\Leftrightarrow x>\frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng : USD 5 x – 2 \ ge x + 1 \ Leftrightarrow 4 x \ ge 3 \ Leftrightarrow x \ ge \ frac { 3 } { 4 } $
Kết hợp điều kiện kèm theo : USD x \ in \ left [ \ frac { 3 } { 4 } ; + \ infty \ right ) USD ( 2 )

• Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm :
  $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{6} \right]\cup \left[
  \frac{3}{4};+\infty  \right)$.

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình sau : $ { { x } ^ { 2 } } – \ left | x-3 \ right | – 5 \ ge 0 USD

Giải

• Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$
Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x\le -1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$
Kết hợp điều kiện: $x\ge 3$ (1).
• Trường hợp 2: $x-3<0\Leftrightarrow x<3$ Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}+x-8\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\le \frac{-1-\sqrt{33}}{2} \\ x\ge \frac{-1+\sqrt{33}}{2} \\ \end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x\in \left( -\infty ;\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-1+\sqrt{33}}{2};3 \right)$ (2) Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left( -\infty ;\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-1+\sqrt{33}}{2};+\infty \right)$.

Phương pháp 2: Khử trị
tuyệt đối bằng bảng

Ví dụ 1:  

Giải bất phương trình sau : $ \ left | x-3 \ right | + \ left | x-1 \ right | \ ge x + 1 USD

Giải

Trước tiên ta lưu ý:

Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.

Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

• Với $x\in \left( -\infty ;1 \right)$ :
Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\ 4-2x\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<1 \\ 3x\le 3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x<1 \\ x\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x<1$ (1) • Với USD 1 \ le x <3 USD : Bất phương trình $ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } 1 \ le x <3 \ \ 2 \ ge x + 1 \ \ \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } 1 \ le x <3 \ \ x \ le 1 \ \ \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow x = 1 USD ( 2 ) • Với $x\ge 3$ :
Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
2x-4\ge x+1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\ge 5 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 5$ (3)
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) suy ra bất phương trình có nghiệm : USD x \ in \ left ( – \ infty ; 1 \ right ] \ cup \ left [ 5 ; + \ infty \ right ) USD .

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình : $ \ left | 3 x – \ left | x-1 \ right | \ right | \ ge x + 2 USD

Giải

• Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái

Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:
* Trường hợp 1 : Với USD x < \ frac { 1 } { 4 } $ Bất phương trình \ [ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x < \ frac { 1 } { 4 } \ \ 1-4 x \ ge x + 2 \ \ \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x < \ frac { 1 } { 4 } \ \ 5 x \ le - 1 \ \ \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x < \ frac { 1 } { 4 } \ \ x \ le - \ frac { 1 } { 5 } \ \ \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow x \ le - \ frac { 1 } { 5 } \ ] ( 1 ) * Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x<1$ Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ 4x-1\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ 3x\ge 3 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{4}\le x<1 \\ x\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\phi $ (2)

• Trường hợp 3: Với $x\ge 1$
  Bất phương trình [\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}
  x\ge 1 \
  2x+1\ge x+2 \
  \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left{ \begin{matrix}
  x\ge 1 \
  x\ge 1 \
  \end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge 1] (3)
  Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) suy ra bất phương trình có nghiệm : USD x \ in \ left ( – \ infty ; – \ frac { 1 } { 5 } \ right ] \ cup \ left [ 1 ; + \ infty \ right ) USD .

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau : $ \ left | 2 x – 1 \ right | > \ left | x-2 \ right | $

Giải

Bpt $\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}>{{\left( x-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x<-1 \\ x>1 \
\end{matrix} \right.$ .
Lưu ý :
$\begin{array}{l}
\left| {2x – 1} \right| > \left| {x – 2} \right|\
\Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} > {\left( {x – 2} \right)^2}\
\Leftrightarrow {\left( {2x – 1} \right)^2} – {\left( {x – 2} \right)^2} > 0\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x – 3} \right) > 0\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < – 1}\
{x > 1}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Ví dụ 2:  

Giải bất phương trình sau : $ \ left | 2-5 x \ right | \ ge x + 1 USD

Giải

BPT$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{x + 1 < 0}\
{\left{ {\begin{array}{{20}{c}}
{x + 1 \ge 0}\
{\left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{2 – 5x \ge x + 1}\
{2 – 5x \le – x – 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{x < – 1}\
{\left{ {\begin{array}{{20}{c}}
{x \ge – 1}\
{\left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{6x \le – 1}\
{4x \ge 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{x < – 1}\
{\left{ {\begin{array}{{20}{c}}
{x \ge – 1}\
{\left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{ – 1 \le x \le – \frac{1}{6}}\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < – 1\
\begin{array}{{20}{c}}
{ – 1 \le x \le – \frac{1}{6}}\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}
\end{array} \right.\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le – \frac{1}{6}}\
{x \ge \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.
\end{array}$

Tổng quát: $\left| f \right|>g\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
g<0 \\ \left\{ \begin{matrix} g\ge 0 \\ \left[ \begin{matrix} f>g \
f<-g \
\end{matrix} \right. \
\end{matrix} \right. \
\end{matrix} \right.$

Ví dụ 3:  

Giải bất phương trình sau : $ \ left | 3 x + 1 \ right | \ le x-2 USD

Giải

$\begin{array}{l}
\left| {3x – 1} \right| \le x + 2\
\Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}}
{x + 2 \ge 0}\
{3x – 1 \le x + 2}\
{3x – 1 \ge – x – 2}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{{20}{c}}
{x \ge – 2}\
{2x \le 3}\
{4x \ge – 1}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \ge – 2}\
{x \le \frac{3}{2}}\
{x \ge – \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.\
\Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{2}
\end{array}$

Tổng quát:
$\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow \left{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g(x) > 0}\
{{{\left[ {f(x)} \right]}^2} < {{\left[ {g(x)} \right]}^2}}
\end{array}} \right.$

Bài luyện tập

Giải các bất phương trình sau :
USD a ) \ left | 4 x – 1 \ right | \ le \ left | 2 x + 3 \ right | $
USD b ) \ left | 3 x + 5 \ right | \ ge 2 x – 1 USD
USD c ) \ left | 5-3 x \ right | \ le x + 3 USD
USD d ) { { x } ^ { 2 } } – 2 \ left | x-1 \ right | + 1 \ le 0 USD
USD e ) \ left | x + 3 \ right | + \ left | x-1 \ right | \ le 2 x – 1 USD
USD f ) \ left | x – \ left | x-1 \ right | \ right | + \ left | 2 x – \ left | x-3 \ right | \ right | \ ge x + 1 USD
— — — — — — — — — — — — —
Download tài liệu:
PDF-Tại đây

Word-Tại đây:

— — — — — — — — — — — –
Xem thêm :
— — — — — — — — — — —
</x2.ta>

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập