Cách giải bài dạng: Giải phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Toán lớp 9 | Chuyên đề toán 9

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Nâng lên lũy thừa

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Biến đổi bằng cách nâng lên lũy thừa
• $\sqrt{A}=B<=>A=B^{2}$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}<=>A=B$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}+\sqrt{C}<=>A=B+C+2\sqrt{B}\sqrt{C}$ <=> $2\sqrt{B}\sqrt{C}=A-B-C$ <=> 4.B.C = (A – B – C)$^{2}$
• Bước 3: Đối chiếu với điều kiện, thử lại và kết luận.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a, $ \ sqrt { x + 2 } = 3 x – 4 USD
b, $ \ sqrt { x-3 } = \ sqrt { x ^ { 2 } – 5 x + 6 } $
c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

Hướng dẫn :
a, $ \ sqrt { x + 2 } = 3 x – 4 USD
ĐKXĐ : USD x \ geq \ frac { 4 } { 3 } $
USD \ sqrt { x + 2 } = 3 x – 4 $ < => x + 2 = ( 3 x – 4 ) USD ^ { 2 } $ < => 9 USD ^ { 2 } $ – 25 x + 4 = 0
<=> (9x – 7)(x – 2) = 0 <=> 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 <=> x = $\frac{7}{9}$ hoặc x = 2
Kết hợp với điều kiện kèm theo USD x \ geq \ frac { 4 } { 3 } $ => phương trình có nghiệm x = 2 .
Vậy tập nghiệm của phương trình S = { 2 }
b, $ \ sqrt { x-3 } = \ sqrt { x ^ { 2 } – 5 x + 6 } $
ĐKXĐ : USD x \ geq 3 USD
USD \ sqrt { x-3 } = \ sqrt { x ^ { 2 } – 5 x + 6 } $ < => x – 3 = x USD ^ { 2 } $ – 5 x + 6
<=> x$^{2}$ – 6x + 9 <=> (x – 3) $^{2}$ = 0 <=> x – 3 = 0 <=> x = 3
Kết hợp với điều kiện kèm theo USD x \ geq 3 $ => x = 3 là nghiệm của phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình S = { 3 }
c, $ \ sqrt { x + 2 } + \ sqrt { x + 7 } = 5 USD
ĐKXĐ : USD x \ geq – 2 USD
USD \ sqrt { x + 2 } + \ sqrt { x + 7 } = 5 $ < => $ ( \ sqrt { x + 2 } + \ sqrt { x + 7 } ) ^ { 2 } = 25 USD
<=> 2x + 9 + 2$\sqrt{(x+2)(x+7)}$ = 25 <=> $\sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x

<=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+9x+14=(8-x)^{2} && \\ 8-x\geq 0 && \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}25x=50 && \\ x\leq 8 && \end{matrix}\right.$

<=> x = 2
Kết hợp với điều kiện kèm theo USD x \ geq – 2 $ => x = 2 là nghiệm của phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình S = { 2 }

2. Nhân biểu thức liên hợp

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a
• Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).
• Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
• Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$
Hướng dẫn :
ĐKXĐ : USD x \ geq 2 USD
Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình hoàn toàn có thể phanan tích về dạng ( x – 3 ). A ( x ) = 0. Ta tách và nhóm như sau :
USD 3 \ sqrt { x + 1 } + \ sqrt { x + 2 } = 3 x – 2 $ < => $ 3 ( \ sqrt { x + 1 } – 2 ) + ( \ sqrt { x + 2 } + 1 ) = 3 x – 9 USD
<=> $\frac{3.(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{\sqrt{x}+2}+\frac{(\sqrt{x-2}-1)(\sqrt{x-2}+1)}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$

<=> $3\frac{(x+1)-4}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{(x-2)-1}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=>  $3\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=> $(x-3).\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$

<=> x – 3 = 0 (1) hoặc $\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$ (2)
Với điều kiện kèm theo USD x \ geq 2 $ ta có $ \ sqrt { x } + 2 > 2 $ và $ \ sqrt { x-2 } + 1 \ geq 1 $, kéo theo
$ \ left ( \ frac { 3 } { \ sqrt { x + 1 } + 2 } + \ frac { 1 } { \ sqrt { x-2 } + 1 } – 3 \ right ) < \ frac { 3 } { 2 } + 1-3 < 0 USD Do đó phương trình ( 2 ) vô nghiệm . Xét phương trình (1) x - 3 = 0 <=> x = 3

Kết hợp với điều kiện kèm theo USD x \ geq 2 $ => phương trình dã cho có nghiệm x = 3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 3 }

3. Đưa về phương trình trị tuyệt đối

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về phương trình trí tuyệt đối
• Bước 3: Xét dấu giá trị tuyệt đối để giải phương trình

USD \ sqrt { f ^ { 2 } ( x ) } = g ( x ) $ < => | f ( x ) | = g ( x ) < => $ \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ) = g ( x ) ( f ( x ) \ geq 0 ) và và \ \ f ( x ) = – g ( x ) ( f ( x ) < 0 ) và và \ end { matrix } \ right. $ Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$
Hướng dẫn :
USD \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x + 1 } = 3 x + 2 $ < => $ \ sqrt { ( x-1 ) ^ { 2 } } = 3 x + 2 $ < => | x – 1 | = 3 x + 2
Với USD x – 1 \ geq 0 $ < => $ x \ geq 1 $, ta có :
x – 1 = 3 x + 2 < => x = $ \ frac { – 3 } { 2 } $ ( loại vì không thảo mãn USD x \ geq 1 $ )
Với x – 1 < 0 < => x < 1, ta có : x - 1 = - 3 x - 2 < => x = $ \ frac { – 1 } { 4 } $ ( thỏa mãn nhu cầu x < 1 ) Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { $ \ frac { - 1 } { 4 } $ }

4. Đặt ẩn phụ

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.
• Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.
• Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$
Hướng dẫn :
ĐKXĐ : USD x ^ { 2 } – 2 x – 3 \ geq 0 USD
USD x ^ { 2 } – 2 x + 3 \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x – 3 } = 7 $ < => $ x ^ { 2 } – 2 x – 3 + 3 \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x – 3 } – 4 = 0 USD
Đặt t = $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x – 3 } $ ( t $ \ geq 0 USD ), phương trình trở thành :
t USD ^ { 2 } $ + 3 t – 4 = 0 < => ( t + 4 ) ( t – 1 ) = 0
<=> t + 4 = 0 hoặc t – 1 = 0 <=> t = – 4 (loại) hoặc t = 1 ™
+ Với t = 1 < => $ \ sqrt { x ^ { 2 } – 2 x – 3 } USD = 1 < => $ x ^ { 2 } – 2 x – 3 = 1 USD
<=> x = $1-\sqrt{5}$ hoặc x = $1+\sqrt{5}$
Kiểm tra thấy hai nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .
Vật tập nghiệm của phương trình S = { USD 1 – \ sqrt { 5 } USD ; USD 1 + \ sqrt { 5 } $ }

5. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1 : Dùng hằng đẳng thức
Đưa 1 vế về dạng $ A ^ { 2 } + B ^ { 2 } = 0 USD
Phương trình có nghiệm < => A = B = 0
+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để nhìn nhận .
BĐT cô-si : Với hai số a, b $ \ geq 0 $ thì ta có : a + b $ \ geq 2 \ sqrt { ab } $ .
Dấu ” = ” xảy ra < => a = b
BĐTB Bunhiakôpxki : Cho hai bộ số ( a, b ) và ( x, y ) thì ta có : USD ( ax + by ) ^ { 2 } \ leq ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $
Dấu ” = ” xảy ra < => $ \ frac { a } { x } = \ frac { b } { y } $
…..

• Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$  (1)
Hướng dẫn :
Ta có ( 1 ) < => $ \ sqrt { 3 ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 + \ frac { 4 } { 3 } ) } + \ sqrt { 5 ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 + \ frac { 9 } { 5 } ) } = – ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 ) + 5 USD
<=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$

Ta có Vế trái $\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. Dấu “=” xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

Vế phải $ \ leq 5 USD. Dấu ” = ” xảy ra < => x + 1 = 0 < => x = – 1
Suy ra hai vế của phương trình đều bằng 2 < => x = – 1
Vậy tập nghiệm của phương trình S = { – 1 }

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập