50 bài tập về Hàm số liên tục (có đáp án 2022) – Toán 11

Với cách giải các dạng toán về Hàm số liên tục môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm giải pháp giải chi tiết cụ thể, bài tập minh họa có giải thuật và bài tập tự luyện sẽ giúp học viên biết cách làm bài tập các dạng toán về Hàm số liên tục lớp 11. Mời các bạn đón xem :Hàm số liên tục và cách giải bài tập – Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên K và x0 ∈ K .
– Hàm số y = f ( x ) liên tục tại x0 khi và chỉ khi limx → x0f ( x ) = f ( x0 ) .
– Hàm số y = f ( x ) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0 .
b) Hàm số liên tục trên một khoảng
– Hàm số y = f ( x ) liên tục trên một khoảng chừng ( a ; b ) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 của khoảng chừng đó .
– Hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] nếu nó liên tục trên ( a ; b ) và limx → a + f ( x ) = f ( a ), limx → b − f ( x ) = f ( b )
c) Các định lý cơ bản
Định lý 1 :
– Hàm số đa thức liên tục trên hàng loạt tập R .
– Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng chừng xác lập của chúng .
Định lý 2 : Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục tại x0. Khi đó :
– Các hàm số : y = f ( x ) + g ( x ) ; y = f ( x ) – g ( x ) ; y = f ( x ). g ( x ) liên tục tại x0 .
– Hàm số y = fxgx liên tục tại x0 nếu gx0 ≠ 0 .
Định lý 3 : Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] và f ( a ). f ( b ) < 0. Khi đó phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu một nghiệm trên ( a ; b ) . 2. Các dạng toán

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0 tại x = x0.
Phương pháp giải :
Bước 1 : Tính f ( x0 ) = f2 ( x0 ) .
Bước 2 : Tính limx → x0fx = limx → x0f1x = L .
Bước 3 : Nếu f2 ( x0 ) = L thì hàm số f ( x ) liên tục tại x0 .
Nếu f2x0 ≠ L thì hàm số f ( x ) không liên tục tại x0 .
( Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x0, ta thay bước 3 thành : Giải phương trình L = f2 ( x0 ), tìm m )
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = – 1.
fx = x2 + 5 x + 4 x + 1 khi x ≠ − 13 khi x = − 1
Lời giải
Hàm đã cho xác lập trên R .
Ta có : f ( – 1 ) = 3
limx → − 1 fx = limx → − 1×2 + 5 x + 4 x + 1 = limx → − 1 x + 1 x + 4 x + 1 = limx → − 1 x + 4 = 3
Ta thấy limx → − 1 fx = f − 1
Vậy hàm số liên tục tại x = – 1 .
Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x−1x−1khi  x≠1m2xkhi  x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1.

Lời giải
Hàm đã cho xác lập trên 0 ; + ∞
Ta có
f ( 1 ) = mét vuông .
limx → 1 x − 1 x − 1 = limx → 11 x + 1 = 12
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì limx → 1 fx = f1 ⇔ mét vuông = 12 ⇔ m = ± 12 = ± 22 .
Vậy m = ± 22 .
Loại 2: Xét tính liên tục của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi x tại x = x0.
Phương pháp giải :
Bước 1 :
Tính f ( x0 ) = f2 ( x0 ) .
Tính số lượng giới hạn trái : limx → x0 − fx = limx → x0 − f2x = L1
Tính số lượng giới hạn phải : limx → x0 + fx = limx → x0 + f1x = L2
Bước 2 :
Nếu L = L1 thì hàm số liên tục bên trái tại x0 .
Nếu L = L2 thì hàm số liên tục bên phải tại x0 .
Nếu L = L1 = L2 thì hàm số liên tục tại x0 .
( Nếu cả 3 trường hợp trên không xảy ra thì hàm số không liên tục tại x0 )
* Đối với bài toán tìm m để hàm số liên tục tại x0 ta giải phương trình : L = L1 = L2. Tìm m .
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1.
Xét tính liên tục của hàm số tại x = – 1 .
Lời giải

Ví dụ 2: Cho hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 1

Lời giải

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp giải :
Bước 1 : Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng chừng đơn
Bước 2 : Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao
Bước 3 : Kết luận .
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x<12xkhi x≥1. Xét sự liên tục của hàm số. Lời giải
Hàm số xác lập và liên tục trên − ∞ ; 1 và 1 ; + ∞ .
Xét tính liên tục tại x = 1
f ( 1 ) = 2.1 = 2 .
limx → 1 fx = limx → 11 − x2 − x − 1 = limx → 11 − x2 − x + 12 − x − 1 = limx → 12 − x + 1 = 2
Ta thấy limx → 1 fx = f1 nên hàm số liên tục tại x = 1 .
Vậy hàm số liên tục trên R .
Ví dụ 2: Cho hàm số fx=3−9−xx , 0

Lời giải
Với x ∈ 0 ; 9 : fx = 3 − 9 − xx xác lập và liên tục trên 0 ; 9 .
Với x ∈ 9 ; + ∞ : fx = 3 x xác lập và liên tục trên 9 ; + ∞ .
Với x = 9, ta có f9 = 39 = 13 = limx → 9 + fx
và limx → 9 − fx = limx → 9 − 3 − 9 − xx = 3 − 9 − 99 = 13
Ta thấy limx → 9 − fx = limx → 9 + fx = f9 nên hàm số liên tục tại x = 9 .
Với x = 0 ta có f ( 0 ) = m .
limx → 0 + fx = limx → 0 + 3 − 9 − xx = limx → 0 + 32 − 9 + xx3 + 9 − x = limx → 0 + 13 + 9 − x = 16
Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0
⇒ limx → 0 + fx = f0 ⇔ m = 16 .
Vậy m = 16 thì hàm số liên tục trên 0 ; + ∞ .
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp giải :
Sử dụng định lý : Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] và f ( a ). f ( b ) < 0. Khi đó phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu một nghiệm trên ( a ; b ) . Chú ý : Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm trên R . * Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu một nghiệm . - Tìm hai số a và b sao cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ). f ( b ) < 0 . - Phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu một nghiệm * Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu k nghiệm  - Tìm k cặp số ai; bi sao cho các khoảng (ai; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) < 0; i = 1; 2; … k. - Phương trình f ( x ) = 0 có tối thiểu một nghiệm . Khi đó f ( x ) = 0 có tối thiểu k nghiệm . Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Phương trình: x4−3×3+x−18=0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
b ) Phương trình 2 x + 61 − x3 = 3 có bao nhiêu nghiệm .
Lời giải
a ) Xét hàm số fx = x4 − 3×3 + x − 18 liên tục trên [ – 1 ; 3 ] .
Ta có : f − 1 = 238 ; f0 = − 18 ; f12 = 116 ; f1 = − 98 ; f3 = 238
Ta thấy :
f ( – 1 ). f ( 0 ) < 0, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc ( - 1 ; 0 ) f0. f12 < 0, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc 0 ; 12 f12. f1 < 0, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc 12 ; 1 f ( 1 ). f ( 3 ) < 0, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc ( 1 ; 3 ) Do đó phương trình có tối thiểu 4 ngiệm thuộc khoảng chừng ( - 1 ; 3 ) . Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm . Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng chừng ( - 1 ; 3 ) . b ) Đặt t = 1 − x3 ⇒ x = 1 − t3. Khi đó phương trình đã cho có dạng 2 t3 – 6 t + 1 = 0 Xét hàm f ( t ) = 2 t3 – 6 t + 1 liên tục trên R Ta có f ( - 2 ) = - 3, f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = - 3, f ( 2 ) = 5 . Ta thấy : f ( - 2 ). f ( 0 ) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t1 ∈ ( − 2 ; 0 ). Khi đó x1 = 1 − t13, x1 ∈ ( 1 ; 9 ) . f ( 0 ). f ( 1 ) = - 3 < 0, phương trình có một nghiệm t2 ∈ ( 0 ; 1 ). Khi đó x2 = 1 − t23, x2 ∈ ( 0 ; 1 ) . f ( 1 ). f ( 2 ) = - 15 < 0, phương trình có một nghiệm t3 ∈ ( 1 ; 2 ). Khi đó x3 = 1 − t33, x3 ∈ ( − 7 ; 0 ) . Do đó phương trình 2 t3 – 6 t + 1 = 0 có tối thiểu 3 nghiệm thuộc ( - 2 ; 2 ) . Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm Suy ra, phương trình 2 t3 – 6 t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc ( - 2 ; 2 ) . Vậy phương trình 2 x + 61 − x3 = 3 có tối thiểu 3 nghiệm thuộc ( - 7 ; 9 ) . Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải
Xét hàm số f ( x ) = ( 1 – mét vuông ) x5 – 3 x – 1
Ta có : f ( 0 ) = – 1 và f ( – 1 ) = mét vuông + 1
nên f−1.f0=−m2+1<0,∀m∈ℝ

Mặt khác : f ( x ) = ( 1 – mét vuông ) x5 – 3 x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [ – 1 ; 0 ]
Suy ra, phương trình ( 1 – mét vuông ) x5 – 3 x – 1 = 0 có tối thiểu một nghiệm thuộc ( – 1 ; 0 ) .
Vậy phương trình ( 1 – mét vuông ) x5 – 3 x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m .
3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số f(x)=x−2x−4  khi  x≠414         khi  x=4.
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x = 4.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x = 4.

C. Hàm số không liên tục tại x = 4.

D. Tất cả đều sai.

Câu 2. Cho hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1
Khẳng định nào sau đây đúng nhất :
A. Hàm số liên tục tại x0 = -1.                               

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm.                           

C. Hàm số gián đoạn tại x0 = -1.                           

D. Tất cả đều sai.

Câu 3. Cho hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02                   khi x=0
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0 = 0.

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng gián đoạn tại x0 = 0.

C. Hàm số liên tục tại mọi điểm.

D. Tất cả đều sai.

Câu 4. Cho hàm số fx=x2−4. Chọn câu đúng trong các câu sau:
( I ) f ( x ) liên tục tại x = 2 .
( II ) f ( x ) gián đoạn tại x = 2 .
( III ) f ( x ) liên tục trên đoạn [ – 2 ; 2 ] .
A. Chỉ (I) và (III).

B. Chỉ (I).

C. Chỉ (II).

D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5. Cho hàm số f(x)=x+2×2−x−6 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục trên R.

B. Hàm số liên tục tại mọi R\{-2; 3} và hàm số gián đoạn tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.

D. Tất cả đều sai.

Câu 6. Tìm m để các hàm số f(x)=x−23+2x−1x−1  khi x≠13m−2              khi x=1 liên tục trên R

A. m = 1.

B. m=139.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 7. Tìm m để các hàm số f(x)=x+1−1x    khi x>02×2+3m+1  khi x≤0 liên tục trên R.

A. m = 1.

B. m=−16.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 8. Cho hàm số f(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1
Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1 .
A. −23.

B. 2.

C. −32.

D. -2.

Câu 9. Cho hàm số fx=a2x2        khi  x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi  x>2.
Giá trị của a để f ( x ) liên tục trên R là :
A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. Cho hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323      khi x=3.
Tìm chứng minh và khẳng định đúng trong các chứng minh và khẳng định sau :
( I ). f ( x ) liên tục tại x = 3
( II ). f ( x ) gián đoạn tại x = 3
( III ). f ( x ) liên tục trên R
A. Chỉ (I) và (II).                                                      

B. Chỉ (II) và (III).

C. Chỉ (I) và (III).                                                     

D. Cả (I),(II),(III) đều đúng.

Câu 11. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và f ( a ). f ( b ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm . II. f ( x ) không liên tục trên [ a ; b ] và fa.fb ≥ 0 thì phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm . A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I và II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 12. Cho phương trình 2×4 – 5×2 + x + 1 = 0  (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1).                      

B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0).                       

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1).                    

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2×3 – 6x + 1 = 0 thuộc khoảng (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0  (1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c.

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c.

Câu 15. Cho hàm số f(x) = x3 – 1000×2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
I. ( – 1 ; 0 ). II. ( 0 ; 1 ). III. ( 1 ; 2 ) .
A. Chỉ I.

B. Chỉ I và II. 

C. Chỉ II. 

D. Chỉ III.

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	C	B	A	B	B	B	A	D	C	A	D	D	B	B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập
Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập

Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập
Phép quay và cách giải các dạng bài tập
Phép vị tự và cách giải các dạng bài tập

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập