Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải

Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải

Với Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải môn Toán lớp 8 sẽ giúp học viên nắm vững kim chỉ nan, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu suất cao để đạt hiệu quả cao trong các bài thi môn Toán 8 .

A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương. 

I. Lý thuyết: 

1. Bình phương của một tổng: 
( A + B ) 2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu 
( A – B ) 2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = ( A – B ) ( A + B )
II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Thực hiện phép tính

a. Phương pháp giải: 
Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức
b, Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính :
a, ( x – 2 ) 2
= x2 – 2. x. 2 + 22
= x2 – 4 x + 4
b, ( 2 x + 1 ) 2
= ( 2 x ) 2 + 2.2 x. 1 + 12
= 4×2 + 4 x + 1
c, ( 3 x – 1 ) ( 3 x + 1 )
= 3×2 – 12
= 9×2 – 1
Ví dụ 2 : Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu :
a, 4×2 + 4 x + 1
b, x2 – 8 x + 16
Lời giải 
a, 4×2 + 4 x + 1
= ( 2 x ) 2 + 2.2 x. 1 + 12
= ( 2 x + 1 ) 2
b, x2 – 8 x + 16
= x2 – 2. x. 4 + 42
= ( x – 4 ) 2
2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

a. Phương pháp giải: 
Áp dụng linh động các hằng đẳng thức, lựa chọn vế hoàn toàn có thể thuận tiện vận dụng các hằng đẳng thức .
b. Ví dụ minh họa: 
Chứng minh các đẳng thức sau :
a, x2 + y2 = ( x + y ) 2 – 2 xy
Xét VP = ( x + y ) 2 – 2 xy
= x2 + 2 xy + y2 – 2 xy
= x2 + y2 = VT ( đpcm )
b, ( a – b ) 2 = ( a + b ) 2 – 4 ab
Xét VP = ( a + b ) 2 – 4 ab
= a2 + 2 ab + b2 – 4 ab
= a2 – 2 ab + b2
= ( a – b ) 2 = VT ( đpcm )
c, 4×2 + 1 = ( 2 x – 1 ) 2 + 4 x
Xét VP = ( 2 x – 1 ) 2 + 4 x
= ( 2 x ) 2 – 2.2 x. 1 + 12 + 4 x
= 4×2 – 4 x + 1 + 4 x
= 4×2 + 1 = VT ( đpcm )
3. Dạng 3: Tính nhanh

a. Phương pháp giải: 
Áp dụng linh động các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên
b. Ví dụ minh họa: 
Tính nhanh :
a, 222 = ( 20 + 2 ) 2
= 202 + 2.20.2 + 22
= 400 + 80 + 4
= 484
b, 992 = ( 100 – 1 ) 2
= 1002 – 2.100.1 + 12
= 10000 – 200 + 1
= 9801
c, 19.21 = ( 20 – 1 ) ( 20 + 1 )
= 202 – 12
= 400 – 1
= 399
4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a. Phương pháp giải: 
Sử dụng các hằng đẳng thức và cần quan tâm :
A2 ≥ 0 và – A2 ≤ 0
b. Ví dụ minh họa: 
a, Chứng minh 9×2 – 6 x + 3 luôn dương với mọi x
Lời giải 
Xét : 9×2 – 6 x + 3 = 9×2 – 6 x + 2 + 1
= ( 3 x ) 2 – 2.3 x. 1 + 12 + 2
= ( 3 x + 1 ) 2 + 2
Ta có : ( 3 x + 1 ) 2 ≥ 0 với mọi x
=> ( 3 x + 1 ) 2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x
Vậy 9×2 – 6 x + 3 luôn dương với mọi x
b, Chứng minh : – x2 – 4 x – 7 luôn âm với mọi x
Xét : – x2 – 4 x – 7 = – x2 – 4 x – 4 – 3
= – ( x2 + 4 x + 4 ) – 3
= – ( x + 2 ) 2 – 3
Ta có : ( x + 2 ) 2 ≥ 0 với mọi x
=> – ( x + 2 ) 2 ≤ 0 với mọi x
=> – ( x + 2 ) 2 – 3 ≤ – 3 < 0 với mọi x Vậy - x2 - 4 x - 7 luôn âm với mọi x . c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 - 3 x + 5 Ta có : M = x2 - 3 x + 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi  

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu: 

I. Lý thuyết: 

1. Lập phương của một tổng: 
( A + B ) 3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
2. Lập phương của một hiệu: 
( A – B ) 3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3
II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:  

a. Phương pháp giải: 
Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức .
b. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính :
a, ( 2 x – 1 ) 3
= ( 2 x ) 3 – 3. ( 2 x ) 2.1 + 3.2 x. 12 – 13
= 8×3 – 12×2 + 6 x – 1
b, ( x + 4 ) 3
= x3 + 3. x2. 4 + 3. x. 42 + 43
= x3 + 12×2 + 48 x + 64
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :
A = ( 3 x – 1 ) 3 – 4 x ( x – 2 ) + ( 2 x – 1 ) 2
= ( 3 x ) 3 – 3. ( 3 x ) 2.1 + 3.3 x. 12 – 13 – 4×2 + 8 x + 4×2 – 4 x + 1
= 27×3 – 27×2 + 9 x – 1 + 4 x + 1
= 27×3 – 27×2 + 13 x
B = ( x + 1 ) 3 – 2×2 ( x – 2 ) + x3
= x3 + 3×2 + 3 x + 1 – 2×3 + 4×2 + x3
= 7×2 + 3 x + 1
Ví dụ 3 : Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu :
a, x3 + 12×2 + 48 x + 64
b, + 8xy2 – 8y3

Lời giải 
a, x3 + 12×2 + 48 x + 64
= x3 + 3. x2. 4 + 3. x. 42 + 43
= ( x + 4 ) 3

Ví dụ 4 : Tính giá trị các biểu thức sau :
a, A = x3 + 6×2 + 12 x + 8 tại x = 48
b, B = x3 – 3×2 + 3 x – 1 tại x = 1001
Lời giải 
a, A = x3 + 6×2 + 12 x + 8
Ta có : A = x3 + 6×2 + 12 x + 8
= x3 + 3×2. 2 + 3. x22 + 23
= ( x + 2 ) 3
Thay x = 48 vào biểu thức A ta được :
A = ( 48 + 2 ) 3 = 503 = 125000
b, B = x3 – 3×2 + 3 x – 1 tại x = 101
Ta có B = x3 – 3×2 + 3 x – 1
= x3 – 3×2. 1 + 3. x. 12 – 13
= ( x – 1 ) 3
Thay x = 1001 vào biểu thức B ta được :
B = ( 101 – 1 ) 3 = 1003 = 1000000
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh: 

a. Phương pháp giải:
Sử dụng linh động các hằng đẳng thức để tính nhanh
b. Ví dụ minh họa: 
Tính nhanh :
a, 1993
= ( 200 – 1 ) 3
= 2003 – 3.2002.1 + 3.200.12 – 13
= 8000000 – 120000 + 600 – 1
= 7880599 .
b, 1013
= ( 100 + 1 ) 3
= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13
= 1000000 + 30000 + 300 + 1
= 1030301
C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương: 

I. Lý thuyết: 

1. Tổng hai lập phương: 
A3 + B3 = ( A + B ) ( A2 – AB + B2 )
2. Hiệu hai lập phương: 
A3 – B3 = ( A – B ) ( A2 + AB + B2 )
II. Các dạng bài: 

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức: 

a. Phương pháp giải: 
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức .
b. Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính :
a, x3 + 64
= x3 + 43
= ( x + 4 ) ( x2 + 4 x + 42 )
= ( x + 4 ) ( x2 + 4 x + 16 )
b, 8×3 – 27
= ( 2 x ) 3 – 33
= ( 2 x – 3 ) [ ( 2 x ) 2 + 2 x. 3 + 32 ]
= ( 2 x – 3 ) ( 4×2 + 6 x + 9 )
Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức :
a, ( x – 2 ) 3 + ( x + 1 ) 3
= ( x – 2 + x + 1 ) [ ( x – 2 ) 2 – ( x – 2 ) ( x + 1 ) + ( x + 1 ) 2 ]
= ( 2 x – 1 ) [ x2 – 4 x + 4 – ( x2 – x – 2 ) + x2 + 2 x + 1 ]
= ( 2 x – 1 ) ( x2 – x + 7 )
= 2×3 – 2×2 + 14 x – x2 + x – 7
= 2×3 – 3×2 + 15 x – 7
b, ( 3 x + 4 ) ( 9×2 – 12 x + 16 )
= ( 3 x + 4 ) [ ( 3 x ) 2 – 3.4 x + 42 ]
= ( 3 x ) 3 + 43
= 27×3 + 64
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh

a, Phương pháp giải: 
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để nghiên cứu và phân tích và tính
Chú ý thêm :
A3 + B3 = ( A + B ) 3 – 3AB ( A + B )
A3 – B3 = ( A – B ) 3 – 3AB ( A – B )
b, Ví dụ minh họa: 
Tính nhanh :
a, 203 + 1
= ( 20 + 1 ) ( 202 – 20 + 1 )
= 21. ( 400 – 20 + 1 )
= 8400 – 420 + 21
= 7980 + 21   

= 8001
b, 523 – 8
= 523 – 23
= ( 52 – 2 ) 3 + 3.52.2. ( 52 – 2 )
= 503 + 6.52.50
= 125000 + 300.52
= 125000 + 15600
= 140600
c, 193
= ( 20 – 1 ) 3
= 203 – 13 – 3.20.1 ( 20 – 1 )
= 8000 – 1 – 60.19
= 8000 – 1 – 1140
= 6859

III. Bài tập tự luyện: 

Bài 1: Thực hiện phép tính: 
a, ( x – 4 ) 2
b, ( 3 x + 2 ) 2
c, ( 2 x – 3 ) 2
d, ( x – 4 ) ( x + 4 )
Hướng dẫn giải: 
a, ( x – 4 ) 2
= x2 – 4 x + 16
b, 9×2 + 12 x + 4
c, 4×2 – 12 x + 9
d, x2 – 16
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
a, ( x – 3 ) 3
b, ( 1 + 2 x ) 3
c,  
d, ( x – 3 y ) ( x2 + 3 xy + 9 y2 )
Hướng dẫn giải: 
a, x3 – 9×2 + 27 x – 27
b, 1 + 6 x + 12×2 + 8×3
c,  
d, x3 – 27 y3
Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu: 
a, 9×2 – 12 + 4
b,  
c, 4×2 y2 – 12 xy2 + 9
d, ( x + y ) 2 – 4 ( x + y ) + 4
Hướng dẫn giải: 
a, ( 3 x – 2 ) 2
b,  
c, ( 2 xy2 – 3 ) 2
d, [ ( x + y ) – 2 ] 2
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau: 

a,  
b, 2 ( x2 + y2 ) = ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
Hướng dẫn giải: 

= ab = VP ( đpcm )
b, 2 ( x2 + y2 ) = ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
Xét VP = ( x + y ) 2 + ( x – y ) 2
= x2 + 2 xy + y2 + x2 – 2 xy + y2
= 2×2 + 2 y2
= 2 ( x2 + y2 ) = VT ( đpcm )
Bài 5: Rút gọn biểu thức: 
a, A = ( 2 x – 1 ) 2 – 2 ( 2 x – 3 ) 2 + 4
b, B = ( 3 x + 2 ) 2 + 2 ( 2 + 3 x ) ( 1 – 2 y ) + ( 2 y – 1 ) 2
c, C = ( x2 + 2 xy ) 2 + 2 ( x2 + 2 xy ) y2 + y4
d, D = ( x – 1 ) 3 + 3 x ( x – 1 ) 2 + 3×2 ( x – 1 ) + x3
Hướng dẫn giải: 
a, A = – 4×2 + 20 x – 13
b, B = [ ( 3 x + 2 ) + ( 1 – 2 y ) ] 2
= ( 3 x – 2 y + 3 ) 2
c, C = [ ( x2 + 2 xy ) + y2 ] 2
= ( x2 + 2 xy + y2 ) 2
= [ ( x + y ) 2 ] 2
= ( x + y ) 4
d, D = [ ( x – 1 ) + x ] 3
= ( 2 x – 1 ) 3
Bài 6: Rút gọn biểu thức: 
a, N = ( 2 x + 3 y ) ( 4×2 – 6 xy + 9 y2 )
b, P = ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) – ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )
c, Q = ( x2 – 2 y ) ( x4 + 2×2 y + 4 y2 ) – x3 ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) + 8 y3
Hướng dẫn giải: 
a, N = [ ( 2 x ) 3 + ( 3 y ) 3 ]
= ( 8×3 + 27 y3 )
b, P = [ ( x3 – y3 ) – ( x3 + y3 ) ]
= – 2 y3
c, Q = [ ( x2 ) 3 – ( 2 y ) 3 ] – x3 ( x3 – y3 ) + 8 y3
= x6 – 8 y3 – x6 + x3y3 + 8 y3
= x3y3
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:  
a, A = 25×2 – 10 xy2 + y4 tại x = 5, y = 4
b, B = (x + 3)2 + (x – 3)(x + 3) – 2(x + 2)(x – 4) với x = – 
c, C = 27×3 – 54×2 y + 36 xy2 – 8 y3 tại x = 4, y = 6
d, D =  tại x = 206, y = 1
e, E = 27×3 z6 – 54×2 yz4 + 36 xy2z2 – 8 y3 tại x = 25, y = 150, z = 2
f, F = (6x + 2)(9×2 – 3x + 1) – (x + 1)(x2 – x + 1) tại x =  

Hướng dẫn giải: 
a, A = 81
b, B = 11
c, C = 0
d, D = 997552
e, E = 0
f, F =  

Bài 8: Tính nhanh: 
a, 292
b, 62.58
c, 1022
d, 1013
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29
g, 183 + 23
h, 233 – 27
Hướng dẫn giải: 
a, 292
= ( 30 – 1 ) 2
= 841
b, 62.58
= ( 60 + 2 ) ( 60 – 2 )
= 602 – 22
= 3596
c, 1022
= ( 100 + 2 ) 2
= 10404
d, 1013
= ( 100 + 1 ) 3
= 1030301
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
= ( 91 + 9 ) 3
= 1003
= 1000000
f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29
= ( 18 – 8 ) 3
= 103
= 1000
g, 183 + 23
= ( 18 + 2 ) 3 – 3.18.2 ( 18 + 2 )
= 203 – 6.18.20
= 5840
h, 233 – 27
= 233 – 33
= ( 23 – 3 ) 3 + 3.23.3. ( 23 – 3 )
= 203 + 9.23.20
= 12140
Bài 9: Tính giá trị biểu thức: 
a, A = 2 ( x3 + y3 ) – 3 ( x2 + y2 ) biết x + y = 1
b, B = x3 + y3 + 3 xy biết x + y = 1
c, C = 8×3 – 27 y3 biết xy = 4 và 2 x – 3 y = 5
Hướng dẫn giải: 
a, A = – 1
b, B = 1
C = 485
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: 
a, A = 3 ( x – 1 ) 2 – ( x + 1 ) 2 + 2 ( x – 3 ) ( x + 3 ) – ( 2 x + 3 ) 2 – ( 5 – 20 x )
b, B = – x ( x + 2 ) 2 + ( 2 x + 1 ) 2 + ( x + 3 ) ( x2 – 3 x + 9 ) – 1
Hướng dẫn giải: 
a, A = – 30
b, B = 27
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
a, A = x2 + x – 2
b, B = x2 + x – 3
c, C = x2 + y2 – 3 x + 2 y + 3
d, D = x2 + 10 y2 – 6 xy – 10 y + 26
Hướng dẫn giải:
a, A = x2 + x – 2

b, B = x2 + x – 3

c, C = x2 + y2 – 3 x + 2 y + 3

d, D = x2 + 10 y2 – 6 xy – 10 y + 26
Ta có : D = ( x2 – 6 xy + 9 y2 ) + ( y2 – 10 y + 25 ) + 1
= ( x – 3 y ) 2 + ( y – 5 ) 2 + 1 ≥ 1 với mọi x
=> Dmin = 1 khi x = 15, y = 5
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a, A = 12 x – 4×2 + 3
b, B = 6 x – x2 + 3
c, C = 12 x – 8 y – 4×2 – y2 + 1
d, D = 2 x – 6 y – x2 – y2 – 2
Hướng dẫn giải: 
a, A = 12 x – 4×2 + 3
Ta có : A = – ( 2 x – 3 ) 2 + 12 ≤ 12 với mọi x
=> Amax = 12 khi x =  
b, Bmax = 12 khi x = 3
c, Cmax = 26 khi x =  và y  = – 4
d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = – 3
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: 
( a + b + c ) 3 = a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )
Hướng dẫn giải: Hướng dẫn: 
Đặt a + b = A, B = c
Ta có : VT = ( a + b + c ) 3
= ( A + B ) 3 = A3 + B3 + 3A2 B + 3AB2
Thay vào ta được :
( A + B ) 3 = A3 + B3 + 3A2 B + 3AB2
= ( a + b ) 3 + c3 + 3 ( a + b ) 2. c + 3 ( a + b ). c2
= a3 + b3 + c3 + 3 a2b + 3 ab2 + 3 ( a + b ) 2. c + 3 ( a + b ). c2
= a3 + b3 + c3 + 3 ab ( a + b ) + 3 ( a + b ) 2. c + 3 ( a + b ). c2
= a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) [ ab + ( a + b ). c + c2 ]
= a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( ab + ac + bc + c2 )
= a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) [ ( a ( b + c ) + c ( b + c ) ]
= a3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( a + c ) + ( b + c ) = VP ( đpcm )
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 tinh lọc, có đáp án hay khác :

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 8 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập