1 – Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát có dạng $ \ left \ { \ begin { gathered } { a_ { 11 } } { x_1 } + { a_ { 12 } } { x_2 } + … + { a_ { 1 n } } { x_1 } = { b_1 } \ hfill \ \ { a_ { 12 } } { x_1 } + { a_ { 22 } } { x_2 } + … + { a_ { 2 n } } { x_n } = { b_2 } \ hfill \ \ … \ hfill \ \ { a_ { m1 } } { x_1 } + { a_ { mét vuông } } { x_2 } + … + { a_ { mn } } { x_n } = { b_m } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Với \ [ A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 1 n } } } \ \ { { a_ { 21 } } } và { { a_ { 22 } } } và { … } và { { a_ { 2 n } } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { { a_ { m1 } } } và { { a_ { mét vuông } } } và { … } và { { a_ { mn } } } \ end { array } } \ right ), X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { x_1 } } \ \ { { x_2 } } \ \ { … } \ \ { { x_n } } \ end { array } } \ right ), B = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { b_1 } } \ \ { { b_2 } } \ \ { … } \ \ { { b_m } } \ end { array } } \ right ), \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 1 n } } } và { { b_1 } } \ \ { { a_ { 21 } } } và { { a_ { 22 } } } và { … } và { { a_ { 2 n } } } và { { b_2 } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { { a_ { m1 } } } và { { a_ { mét vuông } } } và { … } và { { a_ { mn } } } và { { b_m } } \ end { array } } \ right ). \ ]
Ta gọi là hệ phương trình tuyến tính gồm USD m USD phương trình và USD n $ ẩn .
Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=B.$
Đặt $A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {…} \\ {{a_{mj}}} \end{array}} \right),j = 1,2,…,n$ là véctơ cột thứ j của ma trận hệ số A. Khi đó hệ phương trình
Hệ phương trình đã cho hoàn toàn có thể được viết dưới dạng véctơ $ { { x } _ { 1 } } A_ { 1 } ^ { c } + { { x } _ { 2 } } A_ { 2 } ^ { c } + … + { { x } _ { n } } A_ { n } ^ { c } = B. $ Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi véctơ $ B $ màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ cột $ \ left \ { A_ { 1 } ^ { c }, A_ { 2 } ^ { c }, …, A_ { n } ^ { c } \ right \ } $ của ma trận $ A. $ Hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu cách trình diễn tuyến tính véctơ $ B $ qua hệ véctơ cột của ma trận $ A. $
Do mọi định thức con của $ A $ đều là định thức con của $ \ overline { A } $ do đó USD 0 \ le r ( A ) \ le r ( \ overline { A } ) \ le \ min \ left \ { m, n + 1 \ right \ }. $
2 – Điều kiện cần và đủ để hệ phương tuyến tính có nghiệm
Định lí Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính $ n $ ẩn $ AX = B. $ Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là $ r ( A ) = r ( \ overline { A } ). $
Chứng minh.
Ta có $ r ( A ) = r \ left \ { A_ { 1 } ^ { c }, A_ { 2 } ^ { c }, …, A_ { n } ^ { c } \ right \ }, r ( \ overline { A } ) = r \ left \ { A_ { 1 } ^ { c }, A_ { 2 } ^ { c }, …, A_ { n } ^ { c }, B \ right \ }. $
Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm thì véctơ B được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},…,A_{n}^{c} \right\}.$
Do đó \ [ r \ left \ { A_ { 1 } ^ { c }, A_ { 2 } ^ { c }, …, A_ { n } ^ { c }, B \ right \ } = r \ left \ { A_ { 1 } ^ { c }, A_ { 2 } ^ { c }, …, A_ { n } ^ { c } \ right \ } \ Rightarrow r ( \ overline { A } ) = r ( A ). \ ]
Điều kiện đủ: Nếu $r(A)=r(\overline{A})\Rightarrow r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},…,A_{n}^{c} \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},…,A_{n}^{c},B \right\}.$
Ta có điều phải chứng tỏ .
3 – Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính có USD n $ ẩn, các ma trận thông số và ma trận thông số lan rộng ra lần lượt là $ A, \ overline { A }. $ Khi đó :
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ 2{x_1} + 5{x_2} + {x_3} + 5{x_4} = 16 \hfill \\ 3{x_1} + 7{x_2} + {x_3} + 8{x_4} = 23 \hfill \\ 5{x_1} + 12{x_2} + 2{x_3} + 13{x_4} = m \hfill \\ 6{x_1} + 14{x_2} + 3{x_3} + 16{x_4} = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến đổi ma trận thông số lan rộng ra :
$ \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và 0 và 3 và 7 \ \ 2 và 5 và 1 và 5 và { 16 } \ \ 3 và 7 và 1 và 8 và { 23 } \ \ 5 và { 12 } và 2 và { 13 } và m \ \ 6 và { 14 } và 3 và { 16 } và { 46 } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { gathered } { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ hfill \ \ { \ mathbf { – 3 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ hfill \ \ { \ mathbf { – 5 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ hfill \ \ { \ mathbf { – 6 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 5 } } } \ hfill \ \ \ end { gathered } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và 0 và 3 và 7 \ \ 0 và 1 và 1 và { – 1 } và 2 \ \ 0 và 1 và 1 và { – 1 } và 2 \ \ 0 và 2 và 2 và { – 2 } và { m – 35 } \ \ 0 và 2 và 3 và { – 2 } và 4 \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 5 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và 0 và 3 và 7 \ \ 0 và 1 và 1 và { – 1 } và 2 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và { m – 39 } \ \ 0 và 0 và 1 và 0 và 0 \ end { array } } \ right ). $
+ Nếu USD m-39 = 0 \ Leftrightarrow m = 39 \ Rightarrow r ( A ) = r ( \ overline { A } ) = 2 < 4 USD hệ có vô số nghiệm và hệ khi đó tương tự với $ \ left \ { \ begin { gathered } { x_1 } + 2 { x_2 } + 3 { x_4 } = 7 \ hfill \ \ { x_2 } + { x_3 } - { x_4 } = 2 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_1 } = 2 { x_3 } - 5 { x_4 } + 3 \ hfill \ \ { x_2 } = - { x_3 } + { x_4 } + 2 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $ Nghiệm của hệ là $ \ left ( 2 { { x } _ { 3 } } - 5 { { x } _ { 4 } } + 3 ; - { { x } _ { 3 } } + { { x } _ { 4 } } + 2 ; { { x } _ { 3 } } ; { { x } _ { 4 } } \ right ), \ left ( { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } } \ in \ mathbb { R } \ right ). $
+ Nếu \[m-39\ne 0\Leftrightarrow m\ne 39\Rightarrow r(A)=2
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 2{x_1} – 2{x_2} + {x_3} – {x_4} + {x_5} = 1 \hfill \\ {x_1} + 2{x_2} – {x_3} + {x_4} – 2{x_5} = 1 \hfill \\ 4{x_1} – 10{x_2} + 5{x_3} – 5{x_4} + 7{x_5} = 1 \hfill \\ 2{x_1} – 14{x_2} + 7{x_3} – 7{x_4} + 11{x_5} = m \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến đổi ma trận thông số lan rộng ra :
USD \ begin { gathered } \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { – 2 } và 1 và { – 1 } và 1 và 1 \ \ 1 và 2 và { – 1 } và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 4 và { – 10 } và 5 và { – 5 } và 7 và 1 \ \ 2 và { – 14 } và 7 và { – 7 } và { 11 } và m \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { { { \ mathbf { doi \ _cho \ _ } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { \ và } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và { – 1 } và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 2 và { – 2 } và 1 và { – 1 } và 1 và 1 \ \ 4 và { – 10 } và 5 và { – 5 } và 7 và 1 \ \ 2 và { – 14 } và 7 và { – 7 } và { 11 } và m \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { \ mathbf { – 4 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và { – 1 } và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 0 và { – 6 } và 3 và { – 3 } và 5 và { – 1 } \ \ 0 và { – 18 } và 9 và { – 9 } và { 15 } và { – 3 } \ \ 0 và { – 18 } và 9 và { – 9 } và { 15 } và { m – 2 } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – 3 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – 3 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và { – 1 } và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 0 và { – 6 } và 3 và { – 3 } và 5 và { – 1 } \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 và 0 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 và { m + 1 } \ end { array } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } $
+ Nếu $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1\Rightarrow r(A)=2
+ Nếu \[m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\] hệ vô số nghiệm và khi đó hệ tương đương với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} – {x_3} + {x_4} – 2{x_5} = 1 \hfill \\ – 6{x_2} + 3{x_3} – 3{x_4} + 5{x_5} = – 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \frac{2}{3} – 2{x_4} + \frac{1}{3}{x_5} \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}{x_3} – \frac{1}{2}{x_4} + \frac{5}{6}{x_5} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Nghiệm của hệ là $ \ left ( { { x } _ { 1 } } = \ frac { 2 } { 3 } – 2 { { x } _ { 4 } } + \ frac { 1 } { 3 } { { x } _ { 5 } } ; \ frac { 1 } { 6 } + \ frac { 1 } { 2 } { { x } _ { 3 } } – \ frac { 1 } { 2 } { { x } _ { 4 } } + \ frac { 5 } { 6 } { { x } _ { 5 } } ; { { x } _ { 3 } } ; { { x } _ { 4 } } ; { { x } _ { 5 } } \ right ), \ left ( { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } }, { { x } _ { 5 } } \ in \ mathbb { R } \ right ). $
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (2 – a){x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + (2 – a){x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + {x_2} + (2 – a){x_3} = 0 \end{array} \right..$
a) Tìm $a$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất;
b) Tìm $a$ để hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc một tham số;
c) Tìm $a$ để hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.
Biến đổi ma trận thông số lan rộng ra :
USD \ begin { gathered } \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { 2 – a } và 1 và 1 và 0 \ \ 1 và { 2 – a } và 1 và 0 \ \ 1 và 1 và { 2 – a } và 0 \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { { { \ mathbf { doi \ _cho \ _ } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { \ và } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và { 2 – a } và 0 \ \ 1 và { 2 – a } và 1 và 0 \ \ { 2 – a } và 1 và 1 và 0 \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { \ mathbf { ( a – 2 ) } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và { 2 – a } và 0 \ \ 0 và { 1 – a } và { a – 1 } và 0 \ \ 0 và { a – 1 } và { ( 1 – a ) ( a – 3 ) } và 0 \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { { { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và { 2 – a } và 0 \ \ 0 và { 1 – a } và { a – 1 } và 0 \ \ 0 và 0 và { ( 1 – a ) ( a – 4 ) } và 0 \ end { array } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } $
a ) Hệ có nghiệm duy nhất $ \ Leftrightarrow r ( A ) = r ( \ overline A ) = 3 \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } 1 – a \ ne 0 \ hfill \ \ ( 1 – a ) ( 4 – a ) \ ne 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a \ ne 1 \ hfill \ \ a \ ne 4 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
b ) Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào một tham số $ \ Leftrightarrow r ( A ) = r ( \ overline { A } ) = 2 \ Leftrightarrow a = 4. USD
c ) Hệ có vô số nghiệm nhờ vào hai tham số $ \ Leftrightarrow r ( A ) = r ( \ overline { A } ) = 1 \ Leftrightarrow a = 1. $
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} kx + y + z = 1\\ x + ky + z = k\\ x + y + kz = {k^2} \end{array} \right..$
a) Tìm $k$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất;
b) Tìm $k$ để hệ phương trình vô nghiệm;
c) Tìm $k$ để hệ phương trình vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.
Biến đổi ma trận thông số lan rộng ra :
USD \ begin { gathered } \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } k và 1 và 1 và 1 \ \ 1 và k và 1 và k \ \ 1 và 1 và k và { { k ^ 2 } } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { { { \ mathbf { doi \ _cho \ _ } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { \ và } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và k và { { k ^ 2 } } \ \ 1 và k và 1 và k \ \ k và 1 và 1 và 1 \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { \ mathbf { – k } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và k và { { k ^ 2 } } \ \ 0 và { k – 1 } và { 1 – k } và { k – { k ^ 2 } } \ \ 0 và { 1 – k } và { 1 – { k ^ 2 } } và { 1 – { k ^ 3 } } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { { { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và k và { { k ^ 2 } } \ \ 0 và { k – 1 } và { 1 – k } và { k – { k ^ 2 } } \ \ 0 và 0 và { ( 1 – k ) ( 2 + k ) } và { ( 1 – k ) { { ( k + 1 ) } ^ 2 } } \ end { array } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } $
Hệ có nghiệm duy nhất $ \ Leftrightarrow r ( A ) = r ( \ overline A ) = 3 \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } k – 1 \ ne 0 \ hfill \ \ ( 1 – k ) ( 2 + k ) \ ne 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } k \ ne 1 \ hfill \ \ k \ ne – 2 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow r(A)
Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x – y + az + t = a \hfill \\ x + ay – z + t = – 1 \hfill \\ ax + ay – z – t = – 1 \hfill \\ x + y + z + t = – a \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến đổi ma trận thông số lan rộng ra :
\ [ \ begin { gathered } \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và a và 1 và a \ \ 1 và a và { – 1 } và 1 và { – 1 } \ \ a và a và { – 1 } và { – 1 } và { – 1 } \ \ 1 và 1 và 1 và 1 và { – a } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { \ mathbf { – a } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và a và 1 và a \ \ 0 và { a + 1 } và { – a – 1 } và 0 và { – a – 1 } \ \ 0 và { 2 a } và { – { a ^ 2 } – 1 } và { – a – 1 } và { – { a ^ 2 } – 1 } \ \ 0 và 2 và { – a + 1 } và 0 và { – 2 a } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { { { \ mathbf { doi \ _cho \ _ } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { \ và } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và a và 1 và a \ \ 0 và 2 và { – a + 1 } và 0 và { – 2 a } \ \ 0 và { 2 a } và { – { a ^ 2 } – 1 } và { – a – 1 } và { – { a ^ 2 } – 1 } \ \ 0 và { a + 1 } và { – a – 1 } và 0 và { – a – 1 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – a } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – ( a + 1 ) } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và a và 1 và a \ \ 0 và 2 và { – a + 1 } và 0 và { – 2 a } \ \ 0 và 0 và { – a – 1 } và { – a – 1 } và { { a ^ 2 } – 1 } \ \ 0 và 0 và { { a ^ 2 } – 2 a – 3 } và 0 và { 2 { a ^ 2 } – 2 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { { { \ mathbf { ( } } { { \ mathbf { a } } ^ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { – 2 a – 3 ) } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } { \ mathbf { + ( a + 1 ) } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và a và 1 và a \ \ 0 và 2 và { – a + 1 } và 0 và { – 2 a } \ \ 0 và 0 và { – a – 1 } và { – a – 1 } và { { a ^ 2 } – 1 } \ \ 0 và 0 và 0 và { ( 3 – a ) { { ( a + 1 ) } ^ 2 } } và { { { ( { a ^ 2 } – 1 ) } ^ 2 } } \ end { array } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]
+ Nếu $a=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ vô số nghiệm và hệ khi đó tương đương với \[\left\{ \begin{gathered} x - y + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{3a - 1}}{2}z - t \hfill \\ y = - a + \frac{{a - 1}}{2}z \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
Xem thêm: Hướng dẫn cách giải Rubik 4×4 cơ bản
+ Nếu $a=3\Rightarrow r(A)=3
+ Nếu $ a \ notin \ left \ { – 1,3 \ right \ } \ Rightarrow r ( A ) = r ( \ overline { A } ) = 4 USD hệ có nghiệm duy nhất và khi đó hệ tương tự với
\ [ \ left \ { \ begin { gathered } x – y + az + t = a \ hfill \ \ 2 y + ( 1 – a ) z = – 2 a \ hfill \ \ – ( a + 1 ) z – ( a + 1 ) t = { a ^ 2 } – 1 \ hfill \ \ ( 3 – a ) { ( a + 1 ) ^ 2 } t = { ( { a ^ 2 } – 1 ) ^ 2 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } x = \ frac { { 2 a – 2 } } { { 3 – a } } \ hfill \ \ y = – \ frac { { a + 1 } } { { 3 – a } } \ hfill \ \ z = \ frac { { 2 – 2 a } } { { 3 – a } } \ hfill \ \ t = \ frac { { { { ( a – 1 ) } ^ 2 } } } { { 3 – a } } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ ]
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours