Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx = m thì phương trình này có hai họ nghiệm là :

Chú ý : phương trình sinx = m chỉ có nghiệm khi : – 1 ≤ m ≤ 1 .

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx = m thì phương trình này có nghiệm là : x = α + kπ+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là : x = α + kπ+ Các trường hợp đặc biệt quan trọng :• Sinx = 0 ⇔ x = kπ• Sinx = 1 ⇔ x = π / 2 + k2π• Sinx = – 1 ⇔ x = ( – π ) / 2 + k2π• cos = 0 ⇔ x = π / 2 + kπ• cosx = 1 ⇔ x = k2π• cosx = – 1 ⇔ x = π + k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2 sinx – √ 3 = 0 .B. 2 sinx + √ 3 = 0 .C. 2 cosx – √ 3 = 0D. 2 cosx + √ 3 = 0 .

Lời giải

Chọn ACách 1 .

Với x=7π/3, suy ra .

Cách 2. Thử x = 7 π / 3 lần lượt vào các phương trình .

Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

A. x = kπ ( k ∈ Z )

B..

C. .

D. .

Lời giải.

Chọn D .Ta có : sin ( 2 x / 3 – π / 3 ) = 0 .⇔ 2 x / 3 – π / 3 = kπ ( k ∈ Z )⇔ 2 x / 3 = π / 3 + kπ ⇔ x = π / 2 + k3π / 2 ( k ∈ Z ) .

Quảng cáo

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

A.

B.

C.

D.

Lời Giải .Chọn B .Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : sin 3 x = sinx

Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

A.

B.

C.

D.

Lời Giải .Chọn A .Ta có cot ( 3 x – 1 ) = – √ 3 ⇒ cot ( 3 x – 1 ) = cot ( – π / 6 ) .⇔ 3 x – 1 = ( – π ) / 6 + kπ ⇔ x = 1/3 – π / ( 18 ) + k. π / 3 = 1/3 + 5 π / ( 18 ) + ( k-1 ). π / 3Đặt k – 1 = l suy ra nghiệm phương trình x = 1/3 + 5 π / ( 18 ) + l. π / 3

Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?

A. sinx = √ 2/2B. sinx = √ 2/2C. cotx = 1D.cot 2 x = 1

Lời giải

Chọn C .Ta có : tanx = 1 ⇒ x = π / 4 + kπ ( k ∈ Z ) .Xét đáp án C, ta có cotx = 1 ⇒ x = π / 4 + kπ ( k ∈ Z ) .Cách 2. Ta có đẳng thức tanx = 1 / cotx. Kết hợp giả thiết tanx = 1, ta được cotx = 1. Vậy hai phương trình tanx = 1 và cotx = 1 là tương tự .

Quảng cáo

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

A. 1B. 2C. 3D. Vô số .

Lời giải

Chọn C .Áp dụng điều kiện kèm theo có nghiệm của phương trình cosx = a .+ Phương trình có nghiệm khi | a | ≤ 1 .+ Phương trình vô nghiệm khi | a | > 1 .Do đó, phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm .

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T = 6B. T = 3C. T = – 3D. T = – 6

Lời giải

Chọn D .Phương trình cos ( 2 x – π / 3 ) – m = 2 ⇔ cos ( 2 x – π / 3 ) = m + 2 .Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :- 1 ≤ m + 2 ≤ 1 ⇔ – 3 ≤ m ≤ – 1 .Mà m nguyên nên m ∈ { – 3 ; – 2 ; – 1 }Suy ra : T = – 3 + ( – 2 ) + ( – 1 ) = – 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

A. – π / 12 + kπB. π / 12 + kπC. – π / 3 + kπD. – π / 4 + kπ

Lời giải

Ta có : tan ⁡ ( π / 3 + x ) = tan π / 4⇔ π / 3 + x = π / 4 + kπ ( k ∈ Z )⇔ x = π / 4 – π / 3 + kπ = ( – π ) / 12 + kπChọn D .

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

A. x = π / 3 + 4 kπ hoặc x = ( – π ) / 3 + k4π )B. x = π / 12 + 4 kπ hoặc x = ( – π ) / 12 + k4π )C. x = π / 3 + 4 kπ hoặc x = ( – 7 π ) / 3 + k4π )D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : cos ⁡ ( ( x + π ) / 4 ) = 1/2 hay cos ⁡ ( ( x + π ) / 4 ) = cos π / 3

Chọn C

Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

A. x = α + k2π hoặc x = – α + k2πB. x = α + k2π hoặc x = π + α + k2πC. x = α + kπ hoặc x = π – α + kπD. x = α + k2π hoặc x = π – α + k2πVới sinα = 2/5

Lời giải

Vì – 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5Khi đó sinx = 2/5 ⇔ sinx = sinα nên x = α + k2π hoặc x = π - α + k2πChọn D

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

A. 2 + kπB. arctan 2 + kπC. 2 + k2πD. arctan 2 + k 2 π

Lời giải

Ta có : tanx = 2 ⇒ x = arctan2 + kπ ( k ∈ Z )Chọn B.

Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

A. π / 3 + k4πB. π / 3 + k2πC. π / 3 + kπD. π / 6 + kπ

Lời giải

Ta có : cot ⁡ ( π / 3 + x ) = cot ( π + x ) / 2⇒ π / 3 + x = ( π + x ) / 2 + kπ với k ∈ Z⇒ x – x / 2 = π / 2 – π / 3 + kπ

⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

Chọn B .

Ví dụ 13. Giải phương trình cos(400+ x)= cos( 800 –x)

A. x = 200 + k. 1800B. x = 200 + k. 3600C. x = – 400 + k. 1800D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có : cos ( 400 + x ) = cos ( 800 – x )

Chọn A.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 100) = 1/3

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : cos ( x + 100 ) = 1/3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình cos(π/3-x)=0

A. – π / 2 + l2πB. – π / 3 + l2πC. π / 6 + l2πD. – π / 6 + l2π
Hiển thị lời giải
Ta có : cos ( π / 3 – x ) = 0⇒ cos ( π / 3 – x ) = cos π / 2⇒ π / 3 – x = π / 2 + k2π⇒ – x = π / 2 – π / 3 + k2π⇒ – x = π / 6 + k2π ⇒ x = – π / 6 – k2πVậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x = – π / 6 + l2π ( với l = – k và nguyên )Chọn D.

Câu 2:Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

A.

B.x = kπ .

C.

D.

Hiển thị lời giải
Chọn D .sin ( 2 x / 3 – π / 3 ) = 0 ⇒ 2 x / 3 – π / 3 = kπ⇒ 2 x / 3 = π / 3 + kπ ⇒ x = π / 2 + k3π / 2
Câu 3:Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Chọn AD.

Câu 4:Cho phương trình sin(x-100) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. 1B. 2C. 3D. 4
Hiển thị lời giải
Ta có : phương trình sin ( x-100 ) = 2 m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi :- 1 ≤ 2 m + 1 ≤ 1⇒ – 2 ≤ 2 m ≤ 0 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m = – 1 hoặc m = 0Chọn B .

Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Chọn C.Ta có : sinx = – 1/3D.

Câu 6:Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π ( k ∈ Z )B. arctan 3 + k. π ( k ∈ Z )C. arccot 3 + k. 2 π ( k ∈ Z )D. – arccot 3 + k. π ( k ∈ Z )
Hiển thị lời giải
Ta có : cotx = 3⇒ x = arccot 3 + k. π ( k ∈ Z )Chọn A .

Câu 7:Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Chọn B

Câu 8:Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Chọn D.

Câu 9:
Hiển thị lời giải

Câu 10:Giải phương trình tanx=(- √3)/3

A. – π / 6 + kπB. π / 6 + kπC. – π / 3 + kπD. π / 3 + k2π
Hiển thị lời giải
Ta có : tanx = ( – √ 3 ) / 3⇒ tanx = tan ( – π ) / 6⇒ x = – π / 6 + kπChọn A.

Câu 11:Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

A. 3 π / 8 + kπB. 3 π / 8 + kπ / 2C. 3 π / 4 + kπ / 2D. 3 π / 4 + kπ
Hiển thị lời giải
Ta có : cot ( x – π / 2 ) = cot ⁡ ( ( π / 4 – x ) )⇒ x – π / 2 = π / 4 – x + kπ⇒ 2 x = 3 π / 4 + kπ ⇒ x = 3 π / 8 + kπ / 2Chọn B.

Câu 12:Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

A. π / 12 + kπB. π / 6 + kπ / 2C. π / 12 – kπ / 2D. π / 3 + kπ
Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có : tanx = cot ( x + π / 3 )⇒ cot ⁡ ( π / 2 – x ) = cot ⁡ ( x + π / 3 )⇒ π / 2 – x = x + π / 3 + kπ⇒ – 2 x = ( – π ) / 6 + kπ⇒ x = π / 12 – kπ / 2Chọn C.

Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx

A. π / 4 + k2πB. π / 4 + kπC. π / 2 + kπD. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

Lời giải

Ta có : sinx = cosx⇒ sinx = sin ( π / 2 – x )

.

Chọn B.

Câu 14:Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

A..

B..

C..

D..

Hiển thị lời giải
Lời giải

Chọn A.Ta có : sin3x = cosx

.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập