Các dạng bài tập giải phương trình lớp 9

Mùa hè đến cũng là lúc các bạn học sinh lớp 9 đang bận rộn ôn tập để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong đó, Toán học là một môn thi bắt buộc và điểm số của nó luôn được nhân hệ số hai. Vậy phải ôn tập môn Toán thế nào thật hiệu quả đang là thắc mắc của rất nhiều em học sinh. Hiểu được điều đó, Kiến guru xin được giới thiệu tài liệu tổng hợp các dạng toán thi vào lớp 10. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chọn lọc các dạng toán cơ bản nhất trong chương trình lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào 10 các năm gàn đây. Ở mỗi dạng toán, chúng tôi đều trình bày phương pháp giải và đưa ra những ví dụ của thể để các em dễ tiếp thu. Các dạng toán bao gồm cả đại số và hình học, ngoài các dạng toán cơ bản thì sẽ có thêm các dạng toán nâng cao để phù hợp với các bạn học sinh khá, giỏi. Rất mong, đây sẽ là một bài viết hữu ích cho các bạn học sinh tự ôn luyện môn Toán thật hiệu quả trong thời gian nước rút này.

Dạng I: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Trong các dạng toán thi vào lớp 10, đây là dạng toán ta đã học ở đầu chương trình lớp 9.Yêu cầu các em cần phải nắm vững định nghĩa căn bậc hai số học và các quy tắc biến đổi căn bậc hai. Chúng tôi sẽ chia ra làm 2 loại : biểu thức số học và biểu thức đại số.

1/ Biểu thức số học

Phương pháp:
Dùng các công thức biến hóa căn thức : đưa ra ; đưa vào ; khử ; trục ; cộng, trừ căn thức đồng dạng ; rút gọn phân số ) để rút gọn biểu thức .

2/ Biểu thức đại số:

Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử ;
– Tìm ĐK xác lập
– Rút gọn từng phân thức
– Thực hiện các phép biến hóa như nhau như :
+ Quy đồng ( so với phép cộng trừ ) ; nhân, chia .
+ Bỏ ngoặc : bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn : cộng, trừ các hạng tử đồng dạng .
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Ví dụ: Cho biểu thức:
a / Rút gọn P .
b / Tìm a để biểu thức P nhận giá trị nguyên .
Giải: a/ Rút gọn P:
Bài tập:
1. Rút gọn biểu thức B ;
2. Tìm x để A > 0

Dạng II: Đồ thị y = ax + b (a 0) & y = ax2 (a 0) và tương quan giữa chúng

Trong các dạng toán thi vào lớp 10, thì dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số yêu cầu các em học sinh phải nắm được định nghĩa và hình dạng đồ thị hàm bậc nhất ( đường thẳng) và hàm bậc hai (parabol).

1/ Điểm thuộc đường đường đi qua điểm.

Phương pháp : Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA).

VD: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)

Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 2 ; 4 ) nên : 4 = a. 22 a = 1

2/ Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).

Phương pháp:

Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2 : Lấy x tìm được thay vào 1 trong hai công thức y = f ( x ) hoặc y = g ( x ) để tìm tung độ y .
Chú ý : Số nghiệm của phương trình ( * ) là số giao điểm của hai đường trên .

3/ Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = ax2 (a0).

3.1. Tìm tọa độ giao điểm của ( d ) và ( P ) .

Phương pháp:
Bước 1 : Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của pt :
ax2 = ax + b (#) ax2– ax b = 0
Bước 2 : Lấy nghiệm đó thay vào hàm số y = ax + b hoặc y = ax2 để tìm tung độ y của giao điểm .
Chú ý : Số nghiệm của pt là số giao điểm của ( d ) và ( P ) .

3.2. Tìm điều kiện kèm theo để ( d ) và ( P ) cắt ; tiếp xúc ; không cắt nhau :

Phương pháp:
Từ phương trình ( # ) ta có : ax2 – ax – b = 0 => Δ = ( – a ) 2 + 4 ab
a ) ( d ) và ( P ) cắt nhau pt có hai nghiệm phân biệt Δ > 0
b ) ( d ) và ( P ) tiếp xúc với nhau pt có nghiệm kép Δ = 0
c ) ( d ) và ( P ) không giao nhau pt vô nghiệm Δ < 0

Bài tập về hàm số:

Bài 1. cho parabol (p): y = 2×2.

1. tìm giá trị của a, b sao cho đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với ( p ) và đi qua A ( 0 ; – 2 ) .
2. tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( p ) tại B ( 1 ; 2 ) .
3. Tìm giao điểm của ( p ) với đường thẳng y = 2 m + 1 .

Bài 2: Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x + m

1. Vẽ ( P )
2. Tìm m để ( P ) tiếp xúc ( d )
3. Tìm tọa độ tiếp điểm .

Dạng III: Phương trình và Hệ phương trình

Giải phương trình và hệ phương trình là dạng toán cơ bản nhất trong các dạng toán thi vào lớp 10. Giải hệ phương trình sẽ dùng 2 phương pháp là thế và cộng đại số, giải pt bậc hai ta dung công thức nghiệm. Ngoài ra, ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số bài toán chứa tham số liên quan đến phương trình

1/ Hệ phương trình bâc nhất một hai ẩn giải và biện luận:

Phương pháp:

• Dạng tổng quát:
• Cách giải :
  Phương pháp thế .
  Phương pháp cộng đại số .

Ví dụ: Giải các HPT sau:

+ Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK : x – 1, y 0 .

2/ PT bậc hai + Hệ thức VI-ET

2.1.Cách giải pt bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

Phương pháp:

2.2.Định lý Vi-ét:

Phương pháp:
Nếu x1, x2 là nghiệm của pt : ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) thì
S = x1 + x2 = – b / a p = x1x2 = c / a .
Đảo lại : Nếu có hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm ( nếu có ) của pt bậc 2 : x2 – Sx + P = 0

3/ Tính giá trị của các biểu thức nghiệm:

Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (x1 + x2) và x1x2
Bài tập :

a) Cho phương trình : x2 – 8x + 15 = 0. Tính

6/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho nó không phụ thuộc vào tham số

Phương pháp:
1 – Đặt điều kiện kèm theo để pt đó cho có hai nghiệm x1 và x2
( thường là a 0 và Δ 0 )
2- Áp dụng hệ thức VI-ET:
3 – Dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó giống hệt các vế .
Ví dụ : Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0 (1) có 2 nghiệm x1;x2. Lập hệ thức liên hệ giữa x1;x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải :
Theo hệ th ức VI – ET ta cú :

7/ Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho:

Phương pháp:
– Đặt điều kiện kèm theo để pt có hai nghiệm x1 và x2 ( thường là a 0 và Δ 0 )
– Từ biểu thức nghiệm đó cho, vận dụng hệ thức VI-ET để giải pt .
– Đối chiếu với ĐKXĐ của tham số để xác lập giá trị cần tìm .
– Thế ( 1 ) vào ( 2 ) ta đưa được về phương trình sau : mét vuông + 127 m – 128 = 0 => m1 = 1 ; mét vuông = – 128
Bài tập

Bài tập 1: Cho pt: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a ) Giải pt với m = – 1 và m = 3
b ) Tìm m để pt có một nghiệm x = 4
c ) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt
d ) Tìm m để pt có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo x1 = x2
Bài tập 2:
Cho pt : ( m + 1 ) x2 + 4 mx + 4 m – 1 = 0
a) Giải pt với m = -2
b) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để pt có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2×2

Dạng IV: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Trong các dạng toán thi vào lớp 10, đây là một dạng toán rất được quan tâm gần đây vì nó chứa yếu tố ứng dụng thực tế ( vật lí, hóa học, kinh tế, ), đòi hỏi các em phải biết suy luận từ thực tế đưa vào công thức toán.

Phương pháp:

Bước 1. Lập PT hoặc hệ PT:
– Chọn ẩn, đơn vị chức năng cho ẩn, điều kiện kèm theo thích hợp cho ẩn .
– Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn ( quan tâm thống nhất đơn vị chức năng ) .
– Dựa vào các dữ kiện, điều kiện kèm theo của bài toán để lập pt hoặc hệ pt .
Bước 2 Giải PT hoặc hệ PT.

Bước 3. Kết luận và có kèm đối chiếu điều kiện đầu bài.

Các công thức cần nhớ:
3. A = N. T ( A Khối lượng việc làm ; N – Năng suất ; T – Thời gian ) .
Ví dụ
( Dạng toán hoạt động )
Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với tốc độ bằng 2/3 tốc độ Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu .
Lời Giải
Gọi thời hạn xe hơi đi từ A đến B là x ( h ). ( x > 0 ) ;
2. ( Dạng toán việc làm chung, việc làm riêng )
Một đội máy kéo dự tính mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực thi mỗi ngày cày được 52 ha, thế cho nên đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích quy hoạnh thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch .
Lời Giải:
Gọi diện tích quy hoạnh mà đội phải cày theo kế hoạch là x, ( ha ), ( x > 0 ) .

Giải PTBN ta được x = 360. Vậy diện tích quy hoạnh mà đội dự tính cày theo kế hoạch là : 360 ha .

Trên đây Chúng Tôi vừa giới thiệu xong các dạng toán thi vào lớp 10 thường gặp. Đây là các dạng toán luôn xuất hiện trong những năm gần đây. Để ôn tập thật tốt các dạng toán này, các em học cần phải học thuộc phương pháp giải, xem cách làm từ những ví dụ mẫu và vận dung giải những bài tập còn lại. Kỳ thi tuyển sinh vào 10, đang vào giai đoạn nước rút, để đạt được số điểm mình mong muốn, tôi hy vọng các em sẽ ôn tập thật chăm chỉ những dạng toán Chúng Tôi vừa nêu trên và tiếp tục theo dõi những tài liệu của Chúng Tôi. Chúc các em ôn thi thật hiệu quả và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.