Phương trình mũ là gì? Phương pháp giải phương trình mũ và logarit

Lý thuyết phương trình mũ và logarit

Phương trình mũ là gì?

Phương trình mũ cơ bản có dạng : \ ( a ^ { x } = b ( a > 0, a \ neq 1 ) \ )
Nghiệm của phương trình mũ

• Nếu \ ( b > 0 \ Rightarrow a ^ { x } = b \ Leftrightarrow x = log_ { a } b \ )
• Nếu \ ( b \ leqslant 0 \ Rightarrow a ^ { x } = b \ ) vô nghiệm

Phương trình logarit là gì?

Phương trình logarit cơ bản có dạng : \ ( log_ { a } x = b ( a > 0, a \ neq 1 ) \ )
Nghiệm của phương trình logarit
\ ( log_ { a } x = b \ Leftrightarrow x = a ^ { b } ( \ forall b ) \ )
Suy ra phương trình : \ ( log_ { a } x = b ( a > 0, a \ neq 1 ) \ ) luôn có nghiệm duy nhất \ ( x = a ^ { b } \ )

Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit cơ bản

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến hóa về lũy thừa và logarit đưa phương trình về 1 trong các dạng sau ( sử dụng phép biến hóa tương tự ) :
\ ( a ^ { f ( x ) } = a ^ { g ( x ) } \ Leftrightarrow a = 1 \ ) hoặc \ ( \ left \ { \ begin { matrix } 0 và < và a \ neq 1 \ \ f ( x ) và = và g ( x ) \ \ \ end { matrix } \ right. \ ) Logarit hóa và đưa về cùng cơ số : Dạng 1 : Phương trình \ ( a ^ { f ( x ) } = b \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } 0 và < và a \ neq 1, b > 0 \ \ f ( x ) và = và log_ { a } b \ \ \ end { matrix } \ right. \ )
Dạng 2 : Phương trình \ ( a ^ { f ( x ) } = b ^ { g ( x ) } \ Leftrightarrow log_ { a } a ^ { f ( x ) } = log_ { a } b ^ { f ( x ) } \ Leftrightarrow f ( x ) = g ( x ). log_ { a } b \ )
Hoặc : \ ( log_ { b } a ^ { f ( x ) } = log_ { b } b ^ { g ( x ) } \ Leftrightarrow f ( x ). log_ { b } a = g ( x ) \ )
Ví dụ : Giải phương trình \ ( 2 ^ { x ^ { 2 } – x + 8 } = 4 ^ { 1-3 x } \ )
Giải : phương trình tương tự \ ( 2 ^ { x ^ { 2 } – x + 8 } = 2 ^ { 2 ( 1-3 x ) } \ )
\ ( \ Leftrightarrow x ^ { 2 } + 5 x + 6 = 0 \ Leftrightarrow x = – 2, x = – 3 \ )
Kết luận : Phương trình có hai nghiệm – 2 và – 3

Phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt một lũy thừa có chứa ẩn ở số mũ hoặc một logarit có chứa ẩn làm ẩn số phụ một cách thích hợp, sau đó sử dụng các đặc thù của lũy thừa, logarit để biến hóa pt về phương trình so với ẩn số mới, đưa bài toán về việc giải phương trình mới nhận được .
\(f[a^{g(x)}]=0 (0 & 0\\ f(t)& = & 0\\ \end{matrix}\right.\)
Dạng 1 : Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là \ ( F ( a ^ { f ( x ) } ) = 0 \ )
Đặt \(t=a^{f(x)} (t>0)\) và chuyển về phương trình F(t)=0, giải phương trình \(\rightarrow\) tìm nghiệm dương t \(\rightarrow\) tìm được x
Dạng thường gặp : \ ( m. a ^ { f ( x ) } + n. b ^ { f ( x ) } + p = 0 \ )
Làm tựa như so với bất phương trình .
Dạng 2 :
\ ( m. a ^ { f ( x ) } + n. b ^ { f ( x ) } + p = 0 \ )
trong đó \ ( ab = 1 \ )
Đặt \ ( t = a ^ { f ( x ) }, t > 0 \ Rightarrow b ^ { f ( x ) } = \ frac { 1 } { t } \ )
Dạng 3 : \ ( m. a ^ { 2 f ( x ) } + n. ( ab ) ^ { f ( x ) } + p. b ^ { 2 f ( x ) } = 0 \ )
Chia 2 vế pt cho \ ( b ^ { 2 f ( x ) } \ ) và đặt \ ( t = ( \ frac { a } { b } ) ^ { f ( x ) }, t > 0 \ )
Ta có pt : \ ( mt ^ { 2 } + nt + p = 0 \ )

Phương pháp logarit hóa

Nếu hai vế phương trình đều phân tích được thành tích các nhân tử dương, có thể logarit hóa 2 vế pt theo cùng một cơ số (phép logarit hóa biến một tích thành một tổng, một thương thành một hiệu). Ta cũng có thể khử logarit bằng cách mũ hóa hai vế pt theo cùng cơ số trên cơ sở dùng tính chất \(alog_{a}b=b\)

Dạng 1: \(a^{g(x)}=f(x) (0 & 0\\ g(x)& = &log_{a} f(x)\\ \end{matrix}\right.\)

Dạng 2: \(a^{f(x)}=b^{g(x)}(0

Phương pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số

Ví dụ : Giải phương trình \ ( 2 x = 2 – log3x \ )
Giải:
Dễ thấy x=1 là 1 nghiệm của phương trình
Ta sẽ đi chứng minh rằng x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Thật vậy:
Điều kiện xác lập của phương trình là x > 0. Trên khoảng chừng này, ta có :
hàm số \ ( y = 2 x \ ) Đồng biến trong khi hàm số \ ( y = 2 – log3x \ )
Nghịch biến
Xét 2 trường hợp :

• Nếu \ ( x > 1 \ Rightarrow log3x > 0 \ ) và \ ( 2 x > 2 \ ) Suy ra \ ( 2 – log3x < 2 < 2 x \ ). Do đó pt vô nghiệm .
• Nếu \ ( 2 – log3x < 2 < 2 x \ ) và \ ( 2 x < 2 \ ) Suy ra \ ( 2 - log3x > 2 > 2 x \ ) Do đó pt vô nghiệm .

Kết luận : phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất x = 1

Giải phương trình mũ chứa tham số

Đây là dạng bài tập phương trình mũ khó trong phần phương trình mũ và logarit. Dưới đây trình diễn khái quát hai chiêu thức dễ hiểu và thông dụng nhất để xử lý dạng bài toán này .

Phương pháp đặt ẩn phụ \(t=a^{f(x)}\)

Chuyển về phương trình bậc 2, sau đó giải Điều kiện phương trình bậc 2

Phương pháp cô lập tham số (m)

• Bước 1 : \ ( m = f ( x ) \ ) ( hay \ ( m = f ( t ) \ ) )
• Bước 2 : Khảo sát hs \ ( y = f ( x ) \ ), lập Bảng biến thiên
• Bước 3 : Kết luận .

Trên đây là những thông tin hữu ích về phương trình mũ, phương trình logarit cũng như các dạng bài tập của hai dạng phương trình này.  Nếu có đóng góp bổ sung kiến thức cũng như có bất cứ câu hỏi nào về phương trình mũ và logarit, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Rate this post

Please follow and like us :

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập