Các dạng bài tập giải phương trình bậc 2 số phức – Tuyển Sinh

Các dạng bài tập giải phương trình bậc 2 số phức
Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ san sẻ với bạn không chỉ triết lý mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm chiêu thức luôn có ví dụ kèm giải thuật chi tiết cụ thể. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với kỳ vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta khởi đầu

1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai USD a { { x } ^ { 2 } } + bx + c = 0 \, \, \ left ( a, \, b, \, c \ in \ mathbb { R } ; \, a \ ne 0 \ right ) USD. Xét USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac USD, ta có

• ∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-\frac{b}{2a}$.
• ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$.
• ∆ < 0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta |}}{2a}$.

Chú ý .

• Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
• Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( a\ne 0 \right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét $\left\{ \begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} \hfill \\ P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.
Lời giải
Ta có USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac = – 12 USD
Căn bậc hai của ∆ là $ \ pm i \ sqrt { 12 } $
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là $ { { z } _ { 1 } } = \ frac { 2 + i \ sqrt { 12 } } { 2 } $ và $ { { z } _ { 1 } } = \ frac { 2 – i \ sqrt { 12 } } { 2 } $

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
a ) ( 2 − i ) x + ( 2 + y ) i = 2 + 2 i
b ) $ \ frac { { x – 2 } } { { 1 + i } } + \ frac { { y – 3 } } { { 1 – i } } = i USD
Lời giải

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải
Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện kèm theo đã cho để tìm số phức z
Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}\ne 0,$ ${{z}_{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{4}}+{{\left( \frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)}^{4}}$
Lời giải
Chuẩn hóa $ { { z } _ { 1 } } = 1, $ đặt $ { { z } _ { 2 } } = a + bi, \ left ( a, b \ in R \ right ), USD khi đó $ \ left | { { z } _ { 2 } } \ right | = \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } $

Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Phương pháp giải

Các bất đẳng thức cổ xưa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z|
Lời giải

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|
Lời giải

Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải

Ví dụ . Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 – z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2|
Lời giải

Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.
Lời giải

3. Bài tập phương trình số phức

Câu 1. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:
A. $ { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) USD
B. $ { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USD
C. $ { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USD
D. $ { { x } _ { 1 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( 1 + \ sqrt { 7 } i \ right ) ; { { x } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( – 1 – \ sqrt { 7 } i \ right ) USD
Lời giải
Ta có : USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac = { { 1 } ^ { 2 } } – 4.2.1 = – 7 = 7 { { i } ^ { 2 } } < 0 USD nên phương trình có hai nghiệm phức là : USD { { x } _ { 1,2 } } = = \ frac { - 1 \ pm i \ sqrt { 7 } } { 4 } $ Câu 2. Trong $\mathbb{C}$, phương trình $\left| z \right|+z=2+4i$ có nghiệm là:
A. $ z = – 3 + 4 i USD
B. USD z = – 2 + 4 i USD
C. USD z = – 4 + 4 i USD
D. USD z = – 5 + 4 i USD
Lời giải
Đặt USD z = a + bi \, \ left ( a, b \ in \ mathbb { R } \ right ) \ Rightarrow \ left | z \ right | = \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } $ .
Thay vào phương trình : $ \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } + a + bi = 2 + 4 i USD
Suy ra $ \ left \ { \ begin { gathered } \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } } + a = 2 \ hfill \ \ b = 4 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a = – 3 \ hfill \ \ b = 4 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
Ta chọn đáp án A .
Câu 3. Hai giá trị ${{x}_{1}}=a+bi\,;\,{{x}_{2}}=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình:
A. $ { { x } ^ { 2 } } + 2 ax + { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } = 0 USD
B. $ { { x } ^ { 2 } } + 2 ax + { { a } ^ { 2 } } – { { b } ^ { 2 } } = 0 USD
C. $ { { x } ^ { 2 } } – 2 ax + { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } = 0 USD
D. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

Lời giải
Áp dụng định lý hòn đảo Viet : $ \ left \ { \ begin { gathered } S = { x_1 } + { x_2 } = 2 a \ hfill \ \ P = { x_1 }. { x_2 } = { a ^ 2 } + { b ^ 2 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
Do đó $ { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } $ là hai nghiệm của phương trình : $ { { x } ^ { 2 } } – Sx + P = 0 \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } – 2 ax + { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } = 0 USD
Ta chọn đáp án A .
Câu 4. Trong $\mathbb{C}$, nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{5}=0$ là:
A. $ \ left [ \ begin { gathered } z = \ sqrt 5 \ hfill \ \ z = – \ sqrt 5 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
B. $ \ left [ \ begin { gathered } z = \ sqrt [ 4 ] { 5 } i \ hfill \ \ z = – \ sqrt [ 4 ] { 5 } i \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
C. $ \ sqrt { 5 } i USD
D. USD – \ sqrt { 5 } i USD
Lời giải
USD { { z } ^ { 2 } } + \ sqrt { 5 } = 0 \ Leftrightarrow { { z } ^ { 2 } } = – \ sqrt { 5 } \ Leftrightarrow z = \ pm i \ sqrt [ 4 ] { 5 } $
Ta chọn đáp án A .
Câu 5. Trong $\mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-6{{z}^{2}}+25=0$ có nghiệm là:
A. $ \ pm 8 và \, ; \, \ pm 5 i USD
B. $ \ pm 3 \, ; \, \ pm 4 i USD
C. $ \ pm 5 và \, ; \, \ pm 2 i USD
D. $ \ pm \ left ( 2 + i \ right ) và \, ; \, \ pm \ left ( 2 – i \ right ) USD
Lời giải
USD \ begin { gathered } { z ^ 4 } – 6 { z ^ 2 } + 25 = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { { z ^ 2 } – 3 } \ right ) ^ 2 } + 16 = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow { z ^ 2 } – 3 = \ pm 4 i \ hfill \ \ \ Leftrightarrow { z ^ 2 } = 3 \ pm 4 i \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { gathered } z = \ pm \ left ( { 2 + i } \ right ) \ hfill \ \ z = \ pm \ left ( { 2 – i } \ right ) \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } $
Ta chọn đáp án A .
Câu 6. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}=|z{{|}^{2}}+\overline{z}$?
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Lời giải
Gọi USD z = a + bi \, \ left ( a, b \ in \ mathbb { R } \ right ) USD là số phức thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo trên. Ta có :
USD \ begin { gathered } { z ^ 2 } = | z { | ^ 2 } + \ overline z \ Leftrightarrow { \ left ( { a + bi } \ right ) ^ 2 } = { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + a – bi \ hfill \ \ \ Leftrightarrow a + 2 { b ^ 2 } – bi – 2 abi = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { a + 2 { b ^ 2 } } \ right ) + \ left ( { – b – 2 ab } \ right ) i = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a + 2 { b ^ 2 } = 0 \ hfill \ \ b + 2 ab = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } a + 2 { b ^ 2 } = 0 \ hfill \ \ \ left [ \ begin { gathered } b = 0 \ hfill \ \ a = – \ frac { 1 } { 2 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { gathered } a = b = 0 \ hfill \ \ \ left \ { \ begin { gathered } a = – \ frac { 1 } { 2 } \ hfill \ \ b = \ pm \ frac { 1 } { 2 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } $
Vậy có 3 số phức thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Ta chọn đáp án A .
Câu 7. Phương trình $\left( 2+i \right){{z}^{2}}+az+b=0\,\left( a,b\in \mathbb{C} \right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$
A. – 9-2 i
B. 15 + 5 i
C. 9 + 2 i
D. 15-5 i
Lời giải
Theo Viet, ta có :
USD S = { { z } _ { 1 } } + { { z } _ { 2 } } = – \ frac { a } { 2 + i } = 4 – i \ Leftrightarrow a = \ left ( i-4 \ right ) \ left ( i + 2 \ right ) \ Leftrightarrow a = – 9-2 i USD
Ta chọn đáp án A .
Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
A. USD I \ left ( 1 ; 1 \ right ) USD
B. USD I \ left ( – 1 ; 0 \ right ) USD
C. USD I \ left ( 0 ; 1 \ right ) USD
D. USD I \ left ( 1 ; 0 \ right ) USD
Lời giải
USD { { z } ^ { 2 } } – 2 z + 5 = 0 \ Leftrightarrow { { \ left ( z-1 \ right ) } ^ { 2 } } + 4 = 0 \ Leftrightarrow z = 1 \ pm 2 i USD
USD \ Rightarrow A \ left ( 1 ; 2 \ right ) ; \, B \ left ( 1 ; – 2 \ right ) USD
Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là USD I \ left ( 1 ; 0 \ right ) USD .
Ta chọn đáp án A .
Câu 9. Phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:
A. USD 2 \ pm i \ sqrt { 2 } $ hoặc USD – 2 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $
B. USD 2 \ pm i \ sqrt { 2 } $ hoặc USD 1 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $
C. USD 1 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $ hoặc USD – 2 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $
D. USD – 1 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $ hoặc USD – 2 \ pm 2 i \ sqrt { 2 } $
Lời giải
USD \ begin { gathered } { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 } – 24 x + 72 = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } – 4 x + 6 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 12 } \ right ) = 0 \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { gathered } { x ^ 2 } – 4 x + 6 = 0 \ hfill \ \ { x ^ 2 } + 4 x + 12 = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { gathered } { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + 2 = 0 \ hfill \ \ { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 2 } + 8 = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { gathered } x = 2 \ pm \ sqrt 2 i \ hfill \ \ x = – 2 \ pm 2 \ sqrt 2 i \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ hfill \ \ \ end { gathered } $
Ta chọn đáp án A .
Câu 10. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+\sqrt{3}z+7=0$. Khi đó $A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$ có giá trị là:
A. 23
B. $ \ sqrt { 23 } $
C. 13
D. $ \ sqrt { 13 } $
Lời giải
Theo Viet, ta có: $\left\{ \begin{gathered} S = {z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a} = – \sqrt 3 \hfill \\ P = {z_1}.{z_2} = \frac{c}{a} = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

USD \ begin { gathered } A = z_1 ^ 4 + z_2 ^ 4 \ hfill \ \ = { \ left ( { { S ^ 2 } – 2P } \ right ) ^ 2 } – 2 { P ^ 2 } \ hfill \ \ = { \ left ( { 3 – 2.7 } \ right ) ^ 2 } – 2.49 \ hfill \ \ = 23 \ hfill \ \ \ end { gathered } $
Ta chọn đáp án A .

Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập