Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thần nhất, thông số hàm là phương trình có dạng :
(4.1),
trong đó là những hàm số liên tục trên [a;b].
Bạn đang đọc: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation) | Maths 4 Physics & more… | Trang 2
Để giải phương trình này, theo mục 3.5 ở trên ta cần 2 bước :
– Bước 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
– Bước 2 : Tììm 1 nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất .
4.1: Giải phương trình thuần nhất: (4.1.1)
Dạng phương trình này cho đến nay vẫn chưa có cách giải tổng quát mà chỉ có thể giải được nếu như ta biết trước 1 nghiệm riêng Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với bằng công thức Liouville (công thức 3.5.4) ở trên.
Ta có:
Chia hai vế cho (4.1.2) ta có: (4.1.3)
Quan sát vế trái ta thấy vế trái chính là đạo hàm của . Vậy:
(4.1.4)
Do đó, lấy tích phân hai vế ta có: (4.1.5)
Vậy: (4.1.6)
Từ (4.1.6) ta dễ dàng nhận thấy độc lập tuyến tính.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.1.1) là
4.2 Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho phương trình: (4.2.1)
Biết phương trình có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc 2. Bạn hãy tìm nghiệm tổng quát của pt ( 4.2.1 ) .
Do pt (4.2.1) có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc hai nên nghiệm riêng có dạng: Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: b = 0, a, c tùy ý. Vậy nghiệm riêng
Bây giờ, ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với dụa vào công thức ( 4.1.5 )
Ta có:
Hay:
Vậy nghiệm tổng quát của pt (4.2.1) là:
Ví dụ 2. Cho phương trình (4.2.2)
Biết là 1 nghiệm riêng của phương trình (4.2.2). Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2)
Trường hợp thì từ pt ta có:
Giả sử :
Do là 1 nghiệm riêng của (4.2.2) nên nghiệm riêng độc lập tuyến tính với được xác định bởi:
Hay:
trong đó
nên
Vậy:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 4.2.2 ) là :
4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất (4.1): Phương pháp biến thiên hằng số (method of variation of parameters):
Cho phương trình
và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát:
Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng có dạng:
Nói cách khác, ta cần tìm u ( x ), v ( x ) để y * là 1 nghiệm riêng của ( 4.1 )
Ta có: (4.3.1)
Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là nên không thể giải được.
Do vậy, ta cần tìm u ( x ), v ( x ) sao cho biểu thức ( 4.3.1 ) hoàn toàn có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết .
Vì vậy, ta sẽ chọn u(x), v(x) sao cho:
(4.3.2)
Khi đó, từ biểu thức ( 4.3.1 ) ta có :
(4.3.3)
Lấy đạo hàm biểu thức ( 4.3.3 ) ta có :
(4.3.4)
Thế ( 4.3.4 ) và ( 4.3.3 ) vào pt ( 4.1 ) và quan tâm là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có :
(4.3.5)
Từ ( 4.3.2 ) và ( 4.3.5 ) ta có u ( x ), v ( x ) là nghiệm của hpt :
(I)
Do là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo (3.5) và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt (I) có duy nhất nghiệm u'(x), v'(x).
Vậy ta tìm được u ( x ), v ( x ). Do đó tìm được nghiệm riêng y * .
Vậy bài toán đã được xử lý .
4.4 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Biết rằng các hàm tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (4.4.1)
Giải
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là :
Ta tìm nghiệm riêng y * của phương trình không thuần nhất ( 4.4.1 ) bằng chiêu thức biến thiên hằng số .
Muốn vậy, thứ nhất ta phải chuyển phương trình về dạng, nghĩa là phải chia 2 vế cho x .
Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình (4.4.1). Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy.
Cách chính quy: nghiệm riêng y* của (4.4.1) có dạng
trong đó u ( x ), v ( x ) là nghiệm của hệ phương trình :
Giải hệ phương trình trên ta được:
Bằng cách tích phân từng phần ta có:
Vậy ta nhận được nghiệm riêng của phương trình ( 4.4.1 ) là :
Suy ra, nghiệm tổng quát của phương trình ( 4.4.1 ) có dạng :
Advertisement
Đánh giá:
Chia sẻ:
Thích bài này:
Đang tải …
Xem thêm: Hướng dẫn cách giải Rubik 4×4 cơ bản
Trang: 1 2 3 4
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours