Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation) | Maths 4 Physics & more… | Trang 2

Estimated read time 7 min read
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, không thuần nhất hệ số hàm số:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thần nhất, thông số hàm là phương trình có dạng :
y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) (4.1),

trong đó p(x), q(x), f(x) là những hàm số liên tục trên [a;b].

Để giải phương trình này, theo mục 3.5 ở trên ta cần 2 bước :
– Bước 1 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
– Bước 2 : Tììm 1 nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất .
4.1: Giải phương trình thuần nhất: y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 (4.1.1)

Dạng phương trình này cho đến nay vẫn chưa có cách giải tổng quát mà chỉ có thể giải được nếu như ta biết trước 1 nghiệm riêng y_1 Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng y_2 độc lập tuyến tính với bằng công thức Liouville (công thức 3.5.4) ở trên.

Ta có: y_2y_1^{'} - y_1y_2^{'} = e^{- \int p(x) \, dx}

Chia hai vế cho y_1^2   (4.1.2) ta có: \dfrac{y_2y_1^{'} - y_1y_2^{'}}{y_1^2} = \dfrac{e^{- \int p(x) \, dx}}{y_1^2} (4.1.3)

Quan sát vế trái ta thấy vế trái chính là đạo hàm của \dfrac{y_2}{y_1} . Vậy:

\left( \dfrac{y_2}{y_1} \right)^{'} = \dfrac{e^{- \int p(x) \, dx}}{y_1^2} (4.1.4)

Do đó, lấy tích phân hai vế ta có: \dfrac{y_2}{y_1} = \int \dfrac{e^{- \int p(x) \, dx}}{y_1^2} \, dx (4.1.5)

Vậy: {y_2 = y_1{ \int \dfrac{e^{- \int p(x) \, dx}}{y_1^2}} \, dx}  (4.1.6)

Từ (4.1.6) ta dễ dàng nhận thấy y_1, y_2 độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (4.1.1) là \overline{y} = C_1y_1+C_2y_2

4.2 Một số ví dụ:

Ví dụ 1. Cho phương trình: y'' - \dfrac{1}{x}y' = 0 (4.2.1)
Biết phương trình có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc 2. Bạn hãy tìm nghiệm tổng quát của pt ( 4.2.1 ) .

Do pt (4.2.1) có 1 nghiệm riêng dạng đa thức bậc hai nên nghiệm riêng có  dạng: y_1 = ax^2+bx+c Thế vào phương trình ta có:

2a - \dfrac{1}{x} (2ax+b) = 0

Suy ra: b = 0, a, c tùy ý. Vậy nghiệm riêng y_1 = x^2
Bây giờ, ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính với dụa vào công thức ( 4.1.5 )
Ta có: y_2 = y_1 \int \dfrac{e^{- \int p(x) \, dx}}{y_1^2} \, dx

Hay: y_2 = x^2 \int \dfrac{e^{\dfrac{dx}{x} \, }}{x^4} \, dx = x^2 \int \dfrac{e^{lnx}}{x^4} \, dx = x^2 \int \dfrac{dx}{x^3} \, = x^2 \left( \dfrac{-1}{2x^2} \right) = - \dfrac{1}{2}

Vậy nghiệm tổng quát của pt (4.2.1) là: \overline{y} = C_1x^2 + C_2

Ví dụ 2. Cho phương trình (x^2-1)y'' + 4xy' + 2y = 0 (4.2.2)

Biết y = \dfrac{x^2+x+1}{x+1} - x là 1 nghiệm riêng của phương trình (4.2.2). Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (4.2.2)

Trường hợp x^2 -1 = 0 thì từ pt ta có: y^2 =C

Giả sử x^2 -1 \ne 0 : y'' + \dfrac{4x}{x^2-1}y' + \dfrac{2}{x^2-1}y = 0

Do y_1 = \dfrac{x^2+x+1}{x+1} -x = \dfrac{1}{x+1} là 1 nghiệm riêng của (4.2.2)  nên nghiệm riêng độc lập tuyến tính với được xác định bởi:

Hay: y_2 = \dfrac{1}{x+1} \int (x+1)^2 e^{\left(- \int p(x) \, dx \right)} \, dx

trong đó \int p(x) \, dx = \int \dfrac{4x}{x^2 - 1} \, dx = 2ln|x^2 -1| = ln(x^2-1)^2

nên e^{- \int p(x) \, dx} = e^{-ln(x^2-1)^2} = \dfrac{1}{(x^2-1)^2}

Vậy: y_2 = \dfrac{1}{x+1} \int \dfrac{(x+1)^2}{(x^2-1)^2} \, dx = \dfrac{1}{x+1} \int \dfrac{dx}{(x-1)^2} \, = \dfrac{-1}{x^2-1}
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 4.2.2 ) là :
\overline{y} = \dfrac{C_1}{x+1} + \dfrac{C_2}{x^2-1}

4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất (4.1): Phương pháp biến thiên hằng số (method of variation of parameters):
Cho phương trình
và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát: \overline{y} = C_1y_1 + C_2y_2

Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng y^{*} có dạng: y^{*} = u(x)y_1+v(x)y_2
Nói cách khác, ta cần tìm u ( x ), v ( x ) để y * là 1 nghiệm riêng của ( 4.1 )
Ta có: (y^{*})' = u'(x)y_1 + v'(x)y_2 + u(x)y_1^{'} + v(x)y_2^{'} (4.3.1)

Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là u(x), v(x), u'(x), v'(x), u''(x), v''(x) nên không thể giải được.
Do vậy, ta cần tìm u ( x ), v ( x ) sao cho biểu thức ( 4.3.1 ) hoàn toàn có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết .
Vì vậy, ta sẽ chọn u(x), v(x) sao cho:

u'(x)y_1 + v'(x)y_2 = 0  (4.3.2)
Khi đó, từ biểu thức ( 4.3.1 ) ta có :
(y^{*})' = u(x)y_1^{'} + v(x)y_2^{'} (4.3.3)
Lấy đạo hàm biểu thức ( 4.3.3 ) ta có :
(y^{*})'' = u'(x)y_1^{'} + u(x)y_1^{''} + v'(x)y_2^{'} + v(x)y_2^{''} (4.3.4)
Thế ( 4.3.4 ) và ( 4.3.3 ) vào pt ( 4.1 ) và quan tâm là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có :
u'(x)y_1^{'} + v'(x)y_2^{'} = f(x)  (4.3.5)
Từ ( 4.3.2 ) và ( 4.3.5 ) ta có u ( x ), v ( x ) là nghiệm của hpt :
\left\{\begin{array}{c} u'(x)y_1 + v'(x)y_2 = 0 \ u'(x)y_1^{'} + v'(x)y_2^{'} = f(x) \ \end{array} \right.  (I)

Do y_1, y_2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo (3.5) và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt (I) có duy nhất nghiệm u'(x), v'(x).
Vậy ta tìm được u ( x ), v ( x ). Do đó tìm được nghiệm riêng y * .
Vậy bài toán đã được xử lý .
4.4 Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Biết rằng các hàm y_1(x) = \dfrac{cosx}{x} ; y_2(x) = \dfrac{sinx}{x} tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình y'' + \dfrac{2}{x}y' + y = 0 . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: xy'' + 2y' + xy = x (4.4.1)
Giải
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là :
\overline{y} = C_1{ \dfrac{cosx}{x}} + C_2{ \dfrac{sinx}{x}}
Ta tìm nghiệm riêng y * của phương trình không thuần nhất ( 4.4.1 ) bằng chiêu thức biến thiên hằng số .
Muốn vậy, thứ nhất ta phải chuyển phương trình về dạng, nghĩa là phải chia 2 vế cho x .
Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình (4.4.1). Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy.

Cách chính quy: nghiệm riêng y* của (4.4.1) có dạng

y^{*} = u(x){ \dfrac{cosx}{x}} + v(x){ \dfrac{sinx}{x}}
trong đó u ( x ), v ( x ) là nghiệm của hệ phương trình :
\left\{\begin{array}{l}u'(x){ \dfrac{cosx}{x}}+v'(x){ \dfrac{sinx}{x}}=0 \ u'(x){ \dfrac{-xsinx-cosx}{x^2}}+v'(x){ \dfrac{xcosx-sinx}{x^2}} = 0 \ \end{array} \right.

Giải hệ phương trình trên ta được: u'(x) = -xsinx ; v'(x) = xcosx

Bằng cách tích phân từng phần ta có: u(x) = xcosx-sinx ; v(x) = xsinx+cosx
Vậy ta nhận được nghiệm riêng của phương trình ( 4.4.1 ) là :
y^{*} = (xcosx-x){ \dfrac{cosx}{x}}+(xsinx+cosx){ \dfrac{sinx}{x}} = 1
Suy ra, nghiệm tổng quát của phương trình ( 4.4.1 ) có dạng :
y(x) = C_1{ \dfrac{cosx}{x}}+C_2{ \dfrac{sinx}{x}} + 1
Advertisement

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thích bài này:

Thích

Đang tải …

Trang: 1 2 3 4

You May Also Like

More From Author

+ There are no comments

Add yours