Phương trình bậc 2 là gì
?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( 1 ). Trong đó :
- x: là ẩn số
- a, b, c: là các số đã biết gắn với biến x sao cho: a ≠ 0.
Cách giải phương trình bậc 2 nhanh chóng
Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình ( 1 ) thì thỏa mãn nhu cầu ax2 + bx + c = 0 .
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2 : So sánh Δ với 0
- Nếu Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm: x1 = (-b + √Δ )/2a và x2 = (-b – √Δ )/2a
- Nếu Δ=0, phương trình có nghiệm kép x= – b/2a
- Nếu Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong trường hợp b = 2 b ’, để đơn thuần ta hoàn toàn có thể tính Δ ’ = b ’ 2 – ac, tựa như như trên :
- Nếu Δ’ < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm.
- Nếu Δ’ = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a.
- Nếu Δ’ > 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm x1 = (-b’ + √Δ’ )/a và x2 = (-b’ – √Δ’ )/a
2. Định lý Viet
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các thông số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau :
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) thì :
- Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
- Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
- P>0, hai nghiệm cùng dương.
- P<0, hai nghiệm cùng âm.
3. Định lý Viet hòn đảo
Nếu x1 + x2 = S và x1. x2 = P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 ( Điều kiện S2 – 4P > 0 )
4. Trường hợp đặc biệt
Nếu phương trình bậc hai có :
- a + b + c = 0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a≠0) thì nghiệm của phương trình là: x1 = 1; x2 = c/a
- a – b + c =0 (với a, b, c là các hệ số của phương trình bậc 2, a≠0) thì nghiệm của phương trình là: x1 = – 1; x2 = – c/a
- Nếu ac < 0 (a, c trái dấu nhau) thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Các dạng bài tập về phương trình bậc 2
1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.
Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ cập nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ ’, rồi vận dụng các điều kiện kèm theo và công thức của nghiệm đã được nêu ở phần công thức nghiệp .
Ví dụ 1 : 2×2 – 7 x + 3 = 0 ( 3 )
Tính Δ = ( – 7 ) 2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0 => ( 3 ) có 2 nghiệm phân biệt :
Ví dụ 2 : Phương trình 2×2 + 6 x + 5 = 0
Ta có : a = 2 ; b = 6 ; c = 5
Biệt thức Δ = b2 − 4 ac = 62 − 4.2.5 = 36 − 40 = − 4
Δ = – 4 < 0 => phương trình vô nghiệm .
Ví dụ 3 : Phương trình x2 − 4 x + 4 = 0
Ta có : a = 1 ; b = – 4 ; c = 4
Biệt thức Δ = b2 − 4 ac = ( − 4 ) 2 − 4.1.4 = 16 − 16 = 0
Vì Δ = 0 => phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b / 2 a = − ( − 4 ) / 2.1 = 4/2 = 2
2. Dạng 2: Phương trình khuyết hạng tử
Khuyết hạng tử bậc nhất : ax2 + c = 0 ( 1 ) .
<=> x2 = – c/a
- Nếu -c/a>0, nghiệm là:
Nếu -c/a=0, nghiệm x=0- Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.
Khuyết hạng tử tự do : ax2 + bx = 0 ( 2 ). thì
Ví dụ : x2 + 9 = 0
<=> x2 = – 9
<=> x1 = 3 hoặc x2 = -3
3. Dạng 3: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích
Nếu phương trình có dạng x2 – ( u + v ) x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v .
Nếu phương trình có dạng x2 + ( u + v ) x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm – u và – v .
Tóm lại :
x2 – ( u + v ) x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v ( 1 )
x2 + ( u + v ) x + uv = 0 => x1 = – u, x2 = – v
Ví dụ : 3×2 – 4 x + 1 = 0
Giải :
Nhận thấy vì a + b + c = 3 + ( – 4 ) + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là : x1 = 1 và x2 = c / a = 1/3 .
Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0
x2 – ( u + v ) x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v ( 1 )
- Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c= u.
- Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu u ≠ 0 và v = 1 / u thì phương trình ( 1 ) có dạng :
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x = u, x = 1 / u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán .
Ví dụ phương trình :
2×2 – 5 x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
3×2 – 10 x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3
4. Dạng 4: Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài
Phương pháp : để nghiệm thỏa nhu yếu đề bài, thứ nhất phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta triển khai theo các bước sau :
- Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
- Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.
Ví dụ : Cho phương trình 3×2 – 2 ( m + 1 ) x + 3 m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó .
Giải :
Ta có : 3×2 – 2 ( m + 1 ) x + 3 m – 5 = 0 ( * )
Theo nhu yếu đề bài : để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ ’ > 0
<=> (m + 1)2 -3.(3m – 5) > 0
<=> m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
<=> m2 -7m + 16 > 0
<=> (m – 7/2)2 + 15/4 > 0
Ta thấy, Δ ’ > 0 với mọi m ∈ R nên phương trình ( * ) luôn có hai nghiệm phân biệt .
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, khi đó theo định lý Vi-ét ta có :
Theo đề bài phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia, nên không tính tổng quát khi giả sử x2 = 3. x1 thay vào ( 1 )
<=> m2 + 2m + 1 = 4(3m – 5)
<=> m2 -10m + 21 = 0
<=> m = 3 hoặc m = 7
+ TH1 : Với m = 3, phương trình ( * ) trở thành 3×2 – 8 x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
+ TH2 : Với m = 7, phương trình ( * ) trở thành 3×2 – 16 x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo .
Kết luận : m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2 ; m = 7 thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4 .
5. Dạng 5: Phân tích thành nhân tử
Phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, khi nào bạn cũng hoàn toàn có thể viết nó về dạng sau :
ax2 + bx + c = a ( x-x1 ) ( x-x2 ) = 0 .
Trở lại với phương trình ( 2 ), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1, x2 bạn hoàn toàn có thể viết nó về dạng : 4 ( x-3 / 2 ) ( x + 1 ) = 0 .
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa san sẻ hoàn toàn có thể giúp bạn giải phương trình bậc 2 với các dạng bài tập khác nhau đơn thuần. Chúc các bạn thành công xuất sắc !
4/5 – ( 1 bầu chọn )
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours