Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng – Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng

advietsofavn
Estimated read time 6 min read
Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Nguyên hàm tích phân là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 12 Open nhiều trong các đề thi. Nhằm giúp các em nắm vững hơn phần kiến thức và kỹ năng này, THPT Sóc Trăng đã san sẻ chiêu thức tích phân từng phần hay nhất và nhiều dạng bài tập vận dụng. Bạn tìm hiểu và khám phá nhé !
I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Tích phân từng phần là gì?
Bạn đang xem : Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng
Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quy trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để đổi khác nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án hoàn toàn có thể được tìm thấy thuận tiện hơn. Quy tắc hoàn toàn có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm .
Nếu u = u ( x ) và du = u ′ ( x ) dx, trong đó v = v ( x ) và dv = v ′ ( x ) dx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng :

{displaystyle {displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}u(x)v'(x),dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-int _{a}^{b}u'(x)v(x),dxend{aligned}}}}

hay gọn hơn :

{displaystyle int u,dv=uv-int v,du.!}

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có quy mô rời rạc tựa như gọi là tổng từng phần .
2. Định lý
Định lý hoàn toàn có thể được suy ra như sau. Giả sử u ( x ) và v ( x ) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng ( theo ký hiệu của Leibniz ) :

{displaystyle {frac {d}{dx}}{Big (}u(x)v(x){Big )}=v(x){frac {d}{dx}}left(u(x)right)+u(x){frac {d}{dx}}left(v(x)right).!}

Tích phân cả hai vế so với x ,

{displaystyle int {frac {d}{dx}}left(u(x)v(x)right),dx=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}

sau đó vận dụng định nghĩa của nguyên hàm ,

{displaystyle u(x)v(x)=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}
{displaystyle int u(x)v'(x),dx=u(x)v(x)-int u'(x)v(x),dx}

cho ta công thức tích phân từng phần .
Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x ,

{displaystyle du=u'(x)dxquad dv=v'(x)dx}
{displaystyle int u(x),dv=u(x)v(x)-int v(x),du}

Tích phân gốc ∫ uv ′ dx chứa v ′ ( đạo hàm của v ) ; để vận dụng định lý, phải tim nguyên hàm v ( của v ′ ), và tính tích phân ∫ vu ′ dx .
II. CÔNG THỨC, CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Các bước tính tích phân từng phần :
+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng I=int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}.

+ Bước 2: Đặt left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right. (chọn v là một nguyên hàm củag(x)).

+ Bước 3: Khi đó I=int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-int_{a}^{b}{vdu}.
Thứ tự ưu tiên đặt u : Thứ tự ưu tiên chọn u : Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ .
Ví dụ:

Cho int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5 và f(0)=1. Tính I=int_{0}^{2}{f(x)dx}.

    A. I=3.                      B. I=-3.                         C.I=-7.                       D. I=7.

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=x-2\dv=f'(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=f(x)end{array} right..

Ta có 5=int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-int_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(1)-I=2-IRightarrow I=-3.

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 

Bài 1: Tính tích phân sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảiCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trên đây THPT Sóc Trăng đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn học sinh phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết ! Xem thêm công thức tính tích phân nữa bạn nhé !
Đăng bởi : trung học phổ thông Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông thành Phố Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận !
Nguồn san sẻ : Trường trung học phổ thông Sóc Trăng ( thptsoctrang.edu.vn )

Avatar for advietsofavn
advietsofavn https://vietsofa.vn

You May Also Like

More From Author

+ There are no comments

Add yours