1. Lý thuyết
a) Giới hạn của hàm số tại một điểm:
* Giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K chứa điểm x0. Ta nói rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈K\x0 và xn→x0, ta có: f(xn)→L
Kí hiệu : limx → x0f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi x → x0 .
Nhận xét : Nếu f ( x ) là hàm số sơ cấp xác lập tại x0 thì limx → x0fx = fx0 .
* Giới hạn ra vô cực:
Hàm số y = f ( x ) có số lượng giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số ( xn ) : xn → x0 thì f ( xn ) → + ∞ .
Kí hiệu : .
Hàm số y = f ( x ) có số lượng giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số ( xn ) : xn → x0 thì f ( xn ) → − ∞ .
Kí hiệu : limx → x0f ( x ) = − ∞ .
b) Giới hạn của hàm số tại vô cực:
* Giới hạn ra hữu hạn:
– Ta nói hàm số y = f ( x ) xác lập trên ( a ; + ∞ ) có số lượng giới hạn là L khi x → + ∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) : xn > a và xn → + ∞ thì f ( xn ) → L .
Kí hiệu : limx → + ∞ f ( x ) = L .
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là L khi x→−∞ nếu với mọi dãy số (xn):xn
Kí hiệu : limx → − ∞ f ( x ) = L .
* Giới hạn ra vô cực:
– Ta nói hàm số y = f ( x ) xác lập trên ( a ; + ∞ ) có số lượng giới hạn dần tới dương vô cùng ( hoặc âm vô cùng ) khi x → + ∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) : xn > a và xn → + ∞ thì f ( xn ) → + ∞ ( hoặc f ( xn ) → − ∞ ) .
Kí hiệu : limx → + ∞ f ( x ) = + ∞ ( hoặc limx → + ∞ f ( x ) = – ∞ ) .
– Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b) có giới hạn là dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞ nếu với mọi dãy số (xn):xn
Kí hiệu : limx → – ∞ f ( x ) = + ∞ ( hoặc limx → – ∞ f ( x ) = − ∞ ) .
c) Các giới hạn đặc biệt:
d) Một vài định lý về giới hạn hữu hạn:
Chú ý:
– Các định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → + ∞ hoặc x → – ∞ .
– Định lí trên ta chỉ vận dụng cho những hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta không vận dụng cho các số lượng giới hạn dần về vô cực .
* Nguyên lí kẹp:
Cho ba hàm số f ( x ), g ( x ), h ( x ) xác lập trên K chứa điểm x0 ( hoàn toàn có thể các hàm đó không xác lập tại x0 ). Nếu g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ Klimx → x0g ( x ) = limx → x0h ( x ) = L thì .
e) Quy tắc về giới hạn vô cực
Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f ( x ) g ( x )
Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thương f ( x ) g ( x )
f) Giới hạn một bên:
* Giới hạn hữu hạn:
– Định nghĩa 1 : Giả sử hàm số f xác lập trên khoảng chừng x0 ; b, x0 ∈ ℝ. Ta nói rằng hàm số f có số lượng giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến x0 ( hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số bất kỳ ( xn ) những số thuộc khoảng chừng ( x0 ; b ) mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết : limx → x0 + fx = L hoặc fx → L khi x → x0 + .
– Định nghĩa 2 : Giả sử hàm số f xác lập trên khoảng chừng a ; x0, x0 ∈ ℝ. Ta nói rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 ( hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy bất kỳ ( xn ) những số thuộc khoảng chừng ( a ; x0 ) mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết : limx → x0 − fx = L hoặc fx → L khi x → x0 − .
– Nhận xét :
limx → x0fx = L ⇔ limx → x0 − fx = limx → x0 + fx = L
Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0 bởi x → x0 − hoặc x → x0 + .
* Giới hạn vô cực:
– Các định nghĩa limx → x0 − fx = + ∞, limx → x0 − fx = − ∞, limx → x0 + fx = + ∞ và limx → x0 + fx = − ∞ được phát biểu tương tự như như định nghĩa 1 và định nghĩa 2 .
– Nhận xét : Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu thay L bởi + ∞ hoặc – ∞
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Giới hạn tại một điểm
Phương pháp giải :
– Nếu f ( x ) là hàm số sơ cấp xác lập tại x0 thì limx → x0fx = fx0
– Áp dụng quy tắc về số lượng giới hạn tới vô cực :
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 2: Giới hạn tại vô cực
Phương pháp giải :
– Rút lũy thừa có số mũ lớn nhất
– Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a ) limx → + ∞ ( 7×5 + 5×2 − x + 7 )
b ) limx → − ∞ 4×5 − 3×3 + x + 1
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a ) limx → + ∞ x6 + 5 x − 1
b ) limx → − ∞ 2×2 + 1 + x
Lời giải
Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp
Nguyên lí kẹp:
Cho ba hàm số f ( x ), g ( x ), h ( x ) xác lập trên K chứa điểm x0 ( hoàn toàn có thể các hàm đó không xác lập tại x0 ). Nếu g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ Klimx → x0g ( x ) = limx → x0h ( x ) = L thì limx → x0f ( x ) = L .
Phương pháp giải :
Xét tính bị chặn của hàm số f ( x ) bởi hai hàm số g ( x ) và h ( x ) sao cho limx → x0g ( x ) = limx → x0h ( x ) = L
Chú ý tính bị chặn của hàm số lượng giác :
− 1 ≤ sinx ≤ 1 − 1 ≤ cosx ≤ 1
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:
a ) limx → 0x2 cos2nx
b ) limx → − ∞ cos5x2x
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số: limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x
Lời giải
Dạng 4: Giới hạn dạng vô định 00
Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0.
Phương pháp giải :
Để khử dạng vô định này ta nghiên cứu và phân tích f ( x ) và g ( x ) sao cho Open nhân tử chung là ( x – x0 )
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).
* Nếu f ( x ) và g ( x ) là các đa thức thì ta nghiên cứu và phân tích f ( x ) = ( x – x0 ) f1 ( x ) và g ( x ) = ( x – x0 ) g1 ( x ) .
Khi đó limx → x0f ( x ) g ( x ) = limx → x0f1 ( x ) g1 ( x ), nếu số lượng giới hạn này có dạng 00 thì ta liên tục quy trình như trên .
Chú ý : Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ta luôn có sự nghiên cứu và phân tích : ax2 + bx + c = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
* Nếu f ( x ) và g ( x ) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để chuyển về các đa thức, rồi nghiên cứu và phân tích các đa thức như trên .
Các lượng phối hợp :
* Nếu f ( x ) và g ( x ) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng chiêu thức tách, ví dụ điển hình :
Nếu u ( x ) n, v ( x ) m → c thì ta nghiên cứu và phân tích :
u ( x ) n − v ( x ) m = ( u ( x ) n − c ) − ( v ( x ) m − c )
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
a ) limx → 1×3 − 3×2 + 2×2 − 4 x + 3
b ) limx → 22×2 − 5 x + 2×3 − 8
Lời giải
a ) limx → 1×3 − 3×2 + 2×2 − 4 x + 3
= limx → 1 ( x − 1 ) ( x2 − 2 x − 2 ) ( x − 1 ) ( x − 3 ) = limx → 1×2 − 2 x − 2 x − 3 = 32
b ) limx → 22×2 − 5 x + 2×3 − 8
= limx → 2 ( 2 x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) = limx → 22 x − 1×2 + 2 x + 4 = 14
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 5: Giới hạn dạng vô định ∞∞
Nhận biết dạng vô định ∞ ∞
limx → x0uxvx khi limx → x0ux = ± ∞, limx → x0vx = ± ∞
limx → ± ∞ uxvx khi limx → x0ux = ± ∞, limx → x0vx = ± ∞
Phương pháp giải :
– Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu ( Hoặc nghiên cứu và phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước ) .
– Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 6: Giới hạn dạng vô định ∞−∞ và 0.∞
Phương pháp giải :
– Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức phối hợp
– Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a ) limx → 01 x − 1×2
b ) limx → 01×1 x + 1 − 1
Lời giải
Dạng 7: Tính giới hạn một bên
Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Cho hàm số fx=x2+11−x khi x<12x−2 khi x≥1. Tính:
a ) limx → 1 + fx
b ) limx → 1 − fx
Lời giải
a ) limx → 1 + fx = limx → 1 + 2 x − 2 = 2.1 − 2 = 0
b ) limx → 1 − fx = limx → 1 − x2 + 11 − x = + ∞ vì limx → 1 − x2 + 1 = 2 > 0 limx → 1 − 1 − x = 0 x → 1 − ⇒ x < 1 ⇒ 1 − x > 0
Dạng 8: Tìm tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm cho trước
Phương pháp giải :
Sử dụng nhận xét : limx → x0fx = L ⇔ limx → x0 − fx = limx → x0 + fx = L
– Tính số lượng giới hạn limx → x0 − fx ; limx → x0 + fx
– Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx → x0 − fx = limx → x0 + fx. Tìm m .
Khi đó với m vừa tìm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước và số lượng giới hạn đó bằng L = limx → x0 − fx = limx → x0 + fx
Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho hàm số fx=x2−3x+2x−2 x>2a x≤2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho có giới hạn tại điểm x = 2?
Lời giải
Ta có
limx → 2 + fx = limx → 2 + x2 − 3 x + 2 x − 2 = limx → 2 + x − 1 x − 2 x − 2 = limx → 2 + x − 1 = 1
limx → 2 − fx = a .
Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx → 2 + fx = limx → 2 − fx .
⇒ a = 1
Vậy a = 1 .
Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x<12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1 để hàm số để tồn tại limx→1fx.
Lời giải
Ta có limx → 1 − fx = limx → 1 − m − 3 = m − 3 limx → 1 + fx = limx → 1 + 1 − 7×2 + 2 = − 2
Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx → 1 − fx = limx → 1 + fx .
⇒ m − 3 = − 2 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 .
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1 bằng:
A. -1
B. -∞
C. +∞
D. -3
Câu 2. Tính limx→+∞2×2−13−x2 bằng:
A. -2
B. 13
C. 23
D. 2
Câu 3. Tính limx→2×3−8×2−4 bằng:
A. 3
B. 1
C. 4
D. 2
Câu 4. Tính limx→−4×2+3x−4×2+4x bằng:
A. -1
B. 54
C. 1
D. -54
Câu 5. Tính limx→1×3−1x−1 bằng:
A. 13
B. 1
C. 12
D. 2
Câu 6. Tính limx→0x3+1−1×2+x bằng:
A. 4
B. 3
C. 0
D. 1
Câu 7. Tính limx→−∞4×2−x+1x+1 bằng:
A. -2
B. 1
C. 2
D. -1
Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:
A. -∞
B. +∞
C. 0
D. 4
Câu 9. Tính limx→−∞−2×5+x4−33×2−7 là:
A. 0
B. +∞
C. -2
D. -∞
Câu 10. Tính limx→+∞x2−4x−x
A. -2
B. -∞
C. 0
D. +∞
Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:
A. 6
B. 10
C. -10
D. -6
Câu 12. Kết quả đúng của limx→1×3−1×4−1 bằng:
A. 34
B. 4
C. 43
D. 3
Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. limx→−∞x4−x1−2x=0
B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞
C. limx→−∞x4−x1−2x=1
D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞
Câu 14. Cho fx=4−x2 −2≤x≤2×2−4x−2 x>2. Tính limx→−2+fx.
A. 0
B. 4
C. +∞
D. Không tồn tại
Câu 15. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi x<0x2+1khi x≥0 có giới hạn tại x = 0. A. m = – 1
B. m = 2
C. m = -2
D. m = 1
Bảng đáp án
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | A | A | B | A | C | A | C | B | A | C | C | B | A | D |
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Hàm số liên tục và cách giải bài tập
Phép tịnh tiến và cách giải các dạng bài tập
Phép đối xứng tâm và cách giải các dạng bài tập
Phép đối xứng trục và cách giải các dạng bài tập
Phép quay và cách giải các dạng bài tập
Source: https://vietsofa.vn
Category : Góc học tập
+ There are no comments
Add yours